概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之1ppt課件

1、第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 分布函數(shù)能完好地描畫隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性, 但實(shí)踐運(yùn)用中, 有時(shí)并不需求知道分布函數(shù)而只需知道隨機(jī)變量的某些特征. 判別棉花質(zhì)量時(shí), 既看纖維的平均長(zhǎng)度 平均長(zhǎng)度越長(zhǎng),偏離程度越小, 質(zhì)量就越好; 又要看 纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度例如：例如： 調(diào)查一射手的程度, 既要看他的平均環(huán)數(shù)能否高, 還要看他彈著點(diǎn)的范圍能否小, 即數(shù)據(jù)的動(dòng)搖能否小. 由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完好地描畫隨機(jī)變量，但能明晰地描畫隨機(jī)變量在某些方面的重要特征 , 這些數(shù)字特征在實(shí)際和實(shí)際上都具有重要意義.q r.v.的平均取值 數(shù)學(xué)期望q q r.

2、v.取值平均偏離平均值的情況q 方差q 描畫兩個(gè) r.v.之間的某種關(guān)系的q 數(shù) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本本章章內(nèi)內(nèi)容容隨機(jī)變量某一方面的概率特性 都可用數(shù)字來(lái)描寫4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望加 權(quán) 平 均初賽復(fù)賽決賽總成績(jī)算術(shù)平均甲乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75勝者 甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙引例引例 學(xué)生甲乙參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)生甲乙參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽, , 察看其勝負(fù)察看其勝負(fù)0 .70為這 3 個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均5 . 0533 . 0852 . 09031iii

3、px稱數(shù)學(xué)期望的概念源于此設(shè) X 為離散 r.v. 其分布為, 2 , 1,)(kpxXPkk假設(shè)無(wú)窮級(jí)數(shù)1kkkpx其和為 X 的數(shù)學(xué)期望 記作 E( X ), 即1)(kkkpxXE數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義絕對(duì)收斂, 那么稱設(shè)延續(xù) r.v. X 的 d.f. 為)(xf假設(shè)廣義積分dxxxf)(那么稱此積分為 X 的數(shù)學(xué)期望;記作 E( X ), 即dxxxfXE)()( 數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)數(shù)學(xué)期望的本質(zhì) 加權(quán)平均加權(quán)平均 它是一個(gè)數(shù)不再是它是一個(gè)數(shù)不再是 r.v. r.v.定義定義絕對(duì)收斂,例例1 X B ( n , p ), 1 X B ( n , p ), 求求 E( X ) . E

4、( X ) .解解nkknkknppkCXE0)1 ()(nkknkppknknnp1)1()1(1)1 ()!()!1()!1(10) 1(1)1 (nkknkknppCnpnp特例 假設(shè)Y B ( 1 , p ), 那么 E(Y) p例例2 X N ( 2 X N ( , , 2 ), 2 ), 求求 E ( X ) . E ( X ) .解解dxexXEx222)(21)(dueuuux2221）（令例例3 3 設(shè)設(shè) X X 參數(shù)為參數(shù)為 p p 的幾何分布，求的幾何分布，求E ( X ).E ( X ).解解11)1 ()(kkpkpXEpxkkkxp111pxkkxp11pxppx1

5、)1 (112常見(jiàn)常見(jiàn) r.v. 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望P159分布期望概率分布參數(shù)為p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPk分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布其它, 0,1)(bxaabxf2ba E()其它, 0, 0,)(xexfx1N(, 2)222)(21)(xexf留意留意 不是一切的不是一切的 r.v.都有數(shù)學(xué)期望都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為xxxf,)1 (1)(2dxxxdxxfx)1 (|)(|2但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期

6、望不存在!q 設(shè)離散 r.v. X 的概率分布為, 2 , 1,)(ipxXPii 假設(shè)無(wú)窮級(jí)數(shù)1)(iiipxg絕對(duì)收斂，那么1)()(iiipxgYEq 設(shè)延續(xù) r.v. 的 d.f. 為f (x)dxxfxg)()(絕對(duì)收斂, 那么dxxfxgYE)()()(假設(shè)廣義積分 r.v.函數(shù)函數(shù) Y = g(X ) 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望q 設(shè)離散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布為, 2 , 1,),(jipyYxXPijjiZ = g(X ,Y ),1,),(jiijjipyxg絕對(duì)收斂 , 那么1,),()(jiijjipyxgZE假設(shè)級(jí)數(shù)q 設(shè)延續(xù) r.v. (X ,Y )的結(jié)合 d

7、.f. 為f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), dxdyyxfyxg),(),(絕對(duì)收斂, 那么 dxdyyxfyxgZE),(),()(假設(shè)廣義積分例例3 3 設(shè)設(shè) (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求求22YXZ的數(shù)學(xué)期望.解解dxdyyxfyxZE),()(22 dxdyeyxyx2222221 2002221drdrerr2解解 (1) 設(shè)整機(jī)壽命為設(shè)整機(jī)壽命為 N ,min5, 2, 1kkXN,)(1 (1)(51kkNxFxF其它，, 0, 0,15xex 五個(gè)獨(dú)立元件,壽命分別為,521XXX都服從參數(shù)為 的指

8、數(shù)分布，假設(shè)將它們 (1) 串聯(lián)； (2) 并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值. P.142 例6例例4 4其它，, 0, 0,5)(5xexfxN即 N E( 5), 51)(NE(2) 設(shè)整機(jī)壽命為 max5,2, 1kkXM51)()(kkMxFxF其它，, 0, 0,)1 (5xex其它，, 0, 0,)1 (5)(4xeexfxxMdxxxfMEM)()(04)1 (5dxexexx6013711)()(5160137NEME 可見(jiàn), 并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命長(zhǎng)11倍之多.q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) =

9、E (X ) + E (Y ) CXEaCXaEniiiniii11)(q 當(dāng)X ,Y 獨(dú)立時(shí)，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)性質(zhì) 4 的逆命題不成立，即假設(shè)E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定獨(dú)立注注例例6 6 將將 4 4 個(gè)不同色的球隨機(jī)放入個(gè)不同色的球隨機(jī)放入 4 4 個(gè)盒子個(gè)盒子 中中, , 每盒包容球數(shù)無(wú)限每盒包容球數(shù)無(wú)限, , 求空盒子數(shù)的求空盒子數(shù)的 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望. . 解一解一 設(shè)設(shè) X 為空盒子數(shù)為空盒子數(shù), 那么那么 X 的概率分布為的概率分布為X P0 1 2 344! 442413144PCC4341224244)(CCCC4144C6481)(XE解二解二 再引入再引入 X i ,i = 1,2,3,4其它，盒空，第, 0, 1iXi4321XXXXXXi P 1 04434431443)(iXE6481434)(4XE例例7 7 設(shè)二維設(shè)二維 r.v. (X ,Y ) r.v. (X ,Y ) 的的 d.f. d.f. 為為其它, 0, 10 , 20),31 (41),(2yxyxyxf求E(X), E