最優(yōu)控制理論P(yáng)PT課件

1、第六章 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法page: 2現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory第六章 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法 6-1 一般概念 6-2 最優(yōu)控制中的變分法 6-3 無約束條件的泛函極值問題 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題 6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題 6-6 極小值原理 6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制page: 3現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory 最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的核心，20世紀(jì)50年代發(fā)展起來的，已形成系統(tǒng)的理論。 所謂最優(yōu)控制系統(tǒng)，是在一定的具體條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)達(dá)

2、到最優(yōu)。本章重點(diǎn)討論了最優(yōu)控制系統(tǒng)常用的方法：變分法、極小值原理和線性二次型優(yōu)化三種方法及在典型系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。6-1 一般概念最優(yōu)控制：在系統(tǒng)的狀態(tài)方程和約束給定的情況下，尋找最優(yōu)控制律，使 系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。一、概述一、概述page: 4現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-1 一般概念一般概念2.2.初態(tài)和終態(tài)：初態(tài)和終態(tài)： ,nttttr，為狀態(tài)向量，xfxux 0,pftrtt t為控制向量，且在上分段連續(xù)；uu nrt為連續(xù)向量函數(shù)，連續(xù)可微fx最優(yōu)控制的四個(gè)要素：最優(yōu)控制的四個(gè)要素：1.1.狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：3.3.容許控制容許控制 ：

3、 t指控制矢量應(yīng)滿足的約束條件u t 控制域u 0ftts，xx目標(biāo)集目標(biāo)集二、問題的提出page: 5現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theoryl l為狀態(tài)控制過程中對(duì)工作品質(zhì)的要為狀態(tài)控制過程中對(duì)工作品質(zhì)的要求求 0,dftftjtltu tttxx一般表示一般表示:對(duì)終端狀態(tài)的要求對(duì)終端狀態(tài)的要求4.性能指標(biāo)性能指標(biāo) ：6-1 一般概念一般概念三三. .性能指標(biāo)的類型性能指標(biāo)的類型積分型性能指標(biāo)積分型性能指標(biāo): 0,dfttjlttttxu末值型性能指標(biāo)末值型性能指標(biāo): ( ), ffjttxft自 由固 定page: 6現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern

4、control theory復(fù)合型性能指標(biāo)： 0,dftfftjttlttttxxu四四. .主要數(shù)學(xué)方法主要數(shù)學(xué)方法 解析法規(guī)劃采用極小值原理，動(dòng)態(tài)控制有約束采用變分法控制無約束 數(shù)值法 梯度型法6-1 一般概念page: 7現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-2 最優(yōu)控制中的變分法 ,tttjjtjt如果對(duì)于自變量 存在一類函數(shù)對(duì)于每個(gè)函數(shù)有一 值與之對(duì)應(yīng)，則變量 稱為依賴于函數(shù)的泛函數(shù)，簡(jiǎn)稱泛函，記作xxxx一一. .泛函與變分的基本概念泛函與變分的基本概念1.泛函與變分的基本概念 ( (1)泛函(2)2)函數(shù)的變分函數(shù)的變分 00:,jtttttt泛

5、函的變量變分它表示與之間的差xxxxxxxxpage: 8現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory(3)泛函的連續(xù)性： 處處是是連連續(xù)續(xù)的的。在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)存存在在對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的000,0, 0 xxjxjxjxx (4)(4)線性泛函：線性泛函： xajaxj :滿足滿足實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a jjjxyxy j則稱為線性泛函x6-2 6-2 最優(yōu)控制中的變分法最優(yōu)控制中的變分法page: 9現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory txjxtxjxtxjxj ,的的增增量量：泛泛函函 xtxrxtxl , 的的線線性

6、性函函數(shù)數(shù)其其中中jxtxl , 的的高高階階無無窮窮小小jxtxr , jtxjxtxl 的的一一階階變變分分，記記為為為為泛泛函函則則稱稱,(5)泛函的變分6-2 6-2 最優(yōu)控制中的變分法最優(yōu)控制中的變分法線性主部泛函變分是泛函增量的page: 10現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory泛函變分的求法定理：定理： ) 10(|0 ，的的變變分分xxjjxj性質(zhì)：性質(zhì)： 2121. 1ffff 122121.2ffffff 003.,ddffttttfttf tx xd4.dddttxx6-2 6-2 最優(yōu)控制中的變分法最優(yōu)控制中的變分法page: 11現(xiàn)代控

7、制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory0dftlljxxttxx0( , )dfttjlttj求x x5.例例02( )dfttjttx?j120 ( )djt txx10dfjtxx102dx xx解解:6-2 6-2 最優(yōu)控制中的變分法最優(yōu)控制中的變分法page: 12現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory *jtt在上達(dá)到極小值的必要條件：xx( )0jtx6-2 6-2 最優(yōu)控制中的變分法最優(yōu)控制中的變分法二、泛函的極值page: 13現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-3 無約束條件的泛函極值問

8、題 給定的泛函極值問題給定的泛函極值問題一、一、ftt ,0-橫截條件橫截條件000ftttftllttxxxx定理：設(shè)設(shè)0*( , , )min( )?fttjltjt求的x xx*( ) t 滿足以下條件：xd()0dlltxx- 歐拉方程page: 14現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-3 無約束條件的泛函極值問題 00fftttt當(dāng) 和給定時(shí)，和是否定還是自由，可分四種情況：xx(1) 固定始端和終端固定始端和終端000,0fftttt即和給 定xxxx則橫截橫截條件為： 00,fftttxxxxtx( (t) )tft0page: 15現(xiàn)代控制理

9、論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-3 無約束條件的泛函極值問題 (4)自由始端和自由終端自由始端和自由終端0, 00 fttxlxl(3)自由始端和固定終端自由始端和固定終端 00,ftftltxxx橫截橫截條件為：橫截橫截條件為：(2)固定始端和自由終端固定始端和自由終端 00,0fttltxxx則橫截橫截條件為：tx( (t) )tft0tx( (t) )tft0page: 16現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-3 無約束條件的泛函極值問題 (4)自由始端和自由終端自由始端和自由終端0, 00 fttxlxl橫截橫截條件為：

10、tx( (t) )tft0page: 17現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory例例 已知已知解：解： 22,00 xxminj xt 22,xxxxf xxf2 d2dtfxx0 xx tctctxsincos21* 12:0,2cc由 邊 界 條 件 2220djtttxxx求求ttxsin2)(* 6-3 無約束條件的泛函極值問題 page: 18現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory 6-4 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題有約束條件下的泛函數(shù)極值問題0.ftt一 起始時(shí)刻 和終端時(shí)刻 固定的泛函極值問題定理：設(shè) 0min

11、, , dfttjgttxx x. .ts0,txxf min jt滿足在約束條件下，使取極值的必要條件，滿足：xxd0dltlxx歐拉方程歐拉方程page: 19現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory000ftttftlttlxxxx橫截條件橫截條件 ,0tltgttft其 中x xx xx x待待定定拉拉格格朗朗日日等等式式向向量量nr 例已知: : 2201d2jutt txtx21 tutx 21)0(1 x0)2(2 x1)0(2 x0)2(1 x).(min*tuj的的求求使使 6-4 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題有約束條件下的泛函數(shù)極值問題p

12、age: 20現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory ttt21 uxxxugflt22121221 uxxxu 22211221 111d0dllxtx設(shè)設(shè)解解: : 6-4 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題有約束條件下的泛函數(shù)極值問題則：則：1222d0dllxtx page: 21現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory2d0dlluutu 11a 12 212ata 21atau 21aa、為常數(shù)為常數(shù) 6-4 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題有約束條件下的泛函數(shù)極值問題解得：解得：這里這里2dxu t由由 322122

13、1atatatx 得：得：page: 22現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory12dxxt 43223112161atatatatx 31 a272 a13 a14 a由邊界條件：由邊界條件： 6-4 6-4 有約束條件下的泛函數(shù)極值問題有約束條件下的泛函數(shù)極值問題由由得：得： 1472123*1 ttttx 127232*2 tttx 273*3 ttx即：即：page: 23現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題設(shè)狀態(tài)方程 , ,tt xfx u 00txx 0, ,dftfftjttlttxx u

14、其中,nprrxu，求maxmin*ju構(gòu)造構(gòu)造harmilton函數(shù)：函數(shù)： ,thtlttftx ux ux u式中：式中：nr拉格朗日乘子分量拉格朗日乘子分量page: 24現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題下面分兩種情況進(jìn)行討論:對(duì)于最優(yōu)控制問題對(duì)于最優(yōu)控制問題 0min, ,d. .ftftjtlttstxx u 00, ,ttt xf x uxxft一、末端時(shí)刻一、末端時(shí)刻固定固定, ftx任意任意(終端自由終端自由)求最優(yōu)解的必要條件求最優(yōu)解的必要條件. .下面分兩種情況進(jìn)行討論:page: 25現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制

15、理論 modern control theory定理定理: :對(duì)于最優(yōu)控制問題對(duì)于最優(yōu)控制問題 0min, ,d. .ftftjtlttstxx u 00, ,ttt xf x uxxft一、末端時(shí)刻一、末端時(shí)刻固定固定, ftx任意任意(終端自由終端自由)最優(yōu)解的必要條件最優(yōu)解的必要條件: :正則方程滿足1. ttx6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題 t hxnr( ) thxpage: 26現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題 , , , ,ttttthx ul x ufx u其中：harmilton函數(shù)函數(shù) 00txx橫截條件橫截

16、條件 ffftttxx3.3.極值條件0hupage: 27現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題證明證明:構(gòu)造增廣泛函0,dfttaftjtltttxxufxux0,dfttftthttxx ux0fftttattthjxxxxd0tttthht uxxupage: 28現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory000ddfffttttttttttt xxxx000ddffftttttttttx tt xx0dfftttttt xx0fftttattthjxxxx6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題d0tthht

17、uxupage: 29現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory hx xh 0 uh ffftxtxt 6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題page: 30現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory例設(shè)系統(tǒng)試求使 tux 6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題00,fctt 022*11d22ftftjctutut為極小時(shí)x其中 00 xtx 給定，求maxmin*ju解：解：uuflh 2210 uuh uxu u page: 31現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題0 xh c fffft

18、cxtxtxt* 00 xtx fftcxtt* ftcxu* auttx attcxxauttxf 0*000page: 32現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題 0*0ttcxxaf ttcxttcxxtxff*0*0* ftt ffffttcxttcxxtx*0*0* 00*1ttcxtxff 00*1ttccxtuf 當(dāng)page: 33現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theoryft二、末端時(shí)刻二、末端時(shí)刻固定固定, ftx受約束受約束定理：對(duì)于min 0, ,dftftjtlttxx u（終端受約束

19、）（終端受約束）. t . s 0,. 2,. 100 ffttxxtxtuxftx 其中,()nprrrrrnxum正則方程 ht xnr1.滿足 ttx( )ht x , , , ,thtltttx ux ufx u其中：6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題page: 34現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory2.邊界條件： 00txx,0ffttx橫截條件： ftfftxtxt 3.極值條件：0uh6-5 變分法求解最優(yōu)控制問題page: 35現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-6 極小值原理 例一階系統(tǒng) ,01,1x tx t

20、u txu t 其中 10,du tjx tt試求使有極小值。 極小值原理由前蘇聯(lián)學(xué)者龐德里亞金于極小值原理由前蘇聯(lián)學(xué)者龐德里亞金于19561956年提出，它年提出，它由變分法引申而來。由變分法引申而來。ft定理：設(shè)定常系統(tǒng), ,ft xx u 00txx 0, ,dftfftjttlu ttxx u t 有界閉集（容許控制域）只要求：固定時(shí)，求的必要條件：*minujpage: 36現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory1.正則方程正則方程,hh xx其中其中 , , , , ,thutlu tt fu txxx定理：設(shè)定常系統(tǒng)tuxfx, 00txx 0, ,

21、dftfftjttlttxx u u t 有界閉集（容許控制域）ft只要求：固定時(shí)，求的必要條件：*minuj6-6 極小值原理 page: 37現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory2.橫截條件橫截條件ffftttxx3.極小值條件極小值條件 *,min,u thttuthttu txx 00txx邊界條件邊界條件6-6 極小值原理 已知系統(tǒng) ,05,0.5( )1xxu xu t *min,( )uttjx求： 10djx tu tt例page: 38現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory解：線性定常系統(tǒng)， 固定， 自由， 受約束

22、ftftxu uxuxuxh11 5.01*tu116-6 極小值原理 由協(xié)態(tài)方程 1xht e1ttc 11e10c ec 1e1tt使hmin得：得：page: 39現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-6 極小值原理 5 . 01*tu00.307t 1307. 0 t 5 . 01txtxtx 00.307t 1307. 0 t 12e1e0.5ttcx tc00.307t 1307. 0 t解得：page: 40現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory由由當(dāng)當(dāng) 求出求出 時(shí)時(shí) 的初態(tài)的初態(tài) 50 x41c *14e12tx

23、t 00.307t 1307. 0 t tx307. 0st44. 6307. 0 x37. 42c*4e14.37e0.5ttx00.307t 1307. 0 t6-6 極小值原理page: 41現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制一一.問題的提出問題的提出設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng) tttttttt xaxbuycx其中其中 ,npqtrtrtrxuy mintj求：u 011d22fttttfftjtttttttxfxxqxurutrrtnntnnrrrqqqfff , 0, 0, 0其中page: 42現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 mode

24、rn control theory6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制 011d22fttttfftjtttttttxfxxqxuru二次型指標(biāo)中各項(xiàng)的物理含義：二次型指標(biāo)中各項(xiàng)的物理含義： 12tttxqx表示對(duì)過程的要求，對(duì)每個(gè)狀態(tài)分量的要求由q陣來控制(0)q 12ttturu表示對(duì)控制能力的要求，即在整個(gè)控制過程中，消耗能量最少12tffttxfx表示對(duì)終點(diǎn)狀態(tài)的要求，對(duì)每個(gè)狀態(tài)分量的要求由f陣來控制)0( r)0( fpage: 43現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論 modern control theory6-7 線性二次型問題的最優(yōu)控制 線性二次型最優(yōu)控制問題指：線性系統(tǒng)，性能指標(biāo)為狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分及二次型末值項(xiàng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器：狀態(tài)調(diào)節(jié)器： 011d22fttttfftjtttttttxfxxqxuru輸出調(diào)節(jié)器：輸出調(diào)節(jié)器： 01