河南省鄭州市一中2021屆高三上學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

1、20202021學(xué)年上期中考21屆高三理科數(shù)學(xué)試題說明：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題），滿分150分，考試時間 120分鐘.2.將第I卷的答案代表字母和第n卷的答案填在答題表（笞題卡）中 第I卷（選擇題，共60分）一、選擇JS：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小JS給出的四個選項中, 只有一項是符合鹿目要求的1 .已知集合力=卜|丁二五二1, 5=x|o<x<2,則（q/）n=（）D.(f 2)D-iD. sin2a<0A. (0,1) B. 1,2) C. (0,+CO)A. 11C. i3 .若a為第三象限角，貝M)A. cos2a >

2、0 B. cos2a <0 C. sin2a >04 .命題“ Vx > 0,1 -14 Inx ”的否定是() XA. Vx > 0,1 > InxxB.3x0 >0,1->lnx0X。C.玉0>0,1win/工。D. 3x0 < 0,1< ln(-x0)%高三 理科數(shù)學(xué) 試題卷 第3頁(共6頁)5. H輕是中國古代用來測定時間的儀器，利用與獸面垂直的劈針投射到唇面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為。），地球上 一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角， 點4處的水平面是指過點4且與。4垂直的平面.在 點N處放置一個日

3、唇，若晝面與赤道所在平面平行，點Z處的緯度為北緯4（r，則器針與點力處的水平面所成角為（）D. 90,A. 20b. 4(rc. 5(r7.已知數(shù)列4滿足2+4=%”(加且q=l,若以表示不超過X的最大 整數(shù)，則數(shù)列等)的前10項和為()113A. 12B. C. 24D. 408,P是邊長為2的正六邊形/BCDE廠內(nèi)的一點，則方.布 的取值范圍是()A. (-2,6)B. (-6,2)C. (-2,4)D. (-4,6)9. 2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孳生素數(shù)猜想的一個弱化形式.季生素數(shù)猜想是希 爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)P,使得 p+2是素

4、數(shù)，素數(shù)對(p,p + 2)稱為李生素數(shù).在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其中能夠組成李生素數(shù)的概率是()A. -B. C. -D.1515454510.己知圓/+/=16與拋物線丁 =2px(p>0)的準線/交于4 8兩點，且 AB = 2V15 , P為該拋物線上一點，P0U于點0,點尸為該拋物線的焦點,若暫是等邊三角形，則APOF的面積為()A. 4打B. 4C. 2耶D. 211 .己函數(shù)X）=</4，函數(shù)y = /（x）-a四個不同的零點，從小到大依1 x+3,x>0次為后 ,工2，工3，七，則一演了2 十七十七的取值范圍為（）A. （3,3 +

5、63;）B. 3,3 + c） C. （3, + co）D.（3,3 + e12 .如圖是一個由正四棱錐尸一46GA和正四棱柱hbcd 44GA構(gòu)成的組合體，正四棱錐的惻棱長為6, 8片為正四棱錐高的4 倍.當該組合體的體積最大時，點尸到正四樓柱 43CD 4月G°i外接球表面的最小距離是（）A. 6五-46B. 6（百-近）C, 1） D. 6（石-1）第口卷（非選擇題，共90分）二、填空題；本大題共4小座，每小鹿5分，共20分x y 1 < 013 .已知實數(shù)x, y滿足x-3y + 6、0,則z = 2x+y的最大值為.x+y-1>014 .圓工2+>2一2%

6、一87 + 13 = 0的圓心到直線方+x一1 = °的距離為1，則°=15 .已知函數(shù)八%）=而（3： +令（0>0）在0,2句有且僅有5個零點.下述四個結(jié)論： /（x）在（0,2©上有且僅有3個極大值點；/（x）在（0,2©上有且僅有2個極小值 點;/（%）在（0,2©上單調(diào)遞增；0的取值范圍是號，75）-其中結(jié)論正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）.16 .已知正項數(shù)列q,滿足G0+iq=2"GgN）,且。1+。2+/+%020 <3（22必-1）,則首項q的取值范圍是.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

7、或演算步歌.第1721題為必考 題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（-）必考題：共60分，17 .（本小題滿分12分）在A4BC中，內(nèi)角48,C的對邊分別為a,b,c,且滿足0cosc-a） = csin5,a+c = 4, 6 = 2石,（1）求角5的大??；（2）求ZU8C的面積.18 .（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，底面Z5CD是矩形，平面瓶4D工平面4BC。，平面 切8平面欣力=柄，AM4D是邊長為4的等邊三角形，CD = 2MN = 2.（1）求證：兒W_LMD；19.（本小題滿分12分）（2）求二面角M-BD-N的余弦值.己知橢圓C:+

8、 % = 1 （a >6>0）的離心率為晟，過N（%0）（0 < n v2）的直線 1與橢圓C相交于P,。兩點,當 =1, 口x軸時，儼。=百.（1）求橢圓C的標準方程：（2）若/不垂直于坐標軸，且在'軸上存在一點3（m,0）,使得/曲=/0射成 立，求加的取值范圍.高三理科數(shù)字試題卷第4頁（共6負）20 .(本小題滿分12分)2020年I月10日，引發(fā)新冠肺炎疫情的COVID- 19病毒基因序列公布后，科學(xué)家們 便開始了病毒疫苗的研究過程.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程，不是一 朝一夕能完成的，其中有一步就是做動物試驗.已知一個科研團隊用小白鼠做接種試驗，

9、 檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗設(shè)計是：每天接種一次，3天為一個接種周期.已知_1小白鼠接種后當天出現(xiàn)抗體的概率為5,假設(shè)每次接種后當天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān).(1)求一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)上的分布列；(2)已知每天接種一次花費100元，現(xiàn)有以下兩種試驗方案：若在-一個接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗，進行下一接種周期， 試驗持續(xù)三個接種周期，設(shè)此種試驗方式的花費為*元；若在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體.該周期結(jié)束后終止試驗，已知試驗至 多持續(xù)三個接種周期，設(shè)此種試驗方式的花費為丫元.比較隨機變量x和y的數(shù)學(xué)期望的大小.21 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x) =

10、e2x-ainx,函數(shù)g(x)二竺巫+的圖象在點(1, g(l)處 X的切線方程為y-3 = 0.(I)討論的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的零點的個數(shù)；(2)若且/(x)在e,T8)上的最小值為e”,證明：當工>0時， /(x)>g(x).高三 理科數(shù)學(xué) 試題卷 第6頁(共6頁)（二）選考題：共10分請考生在第22, 23題中任選一題作答.在答題卷上將所選JK 號涂黑，如果多做，則按所做的第一題計分.22 .選修43：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）x-21,在直角坐標系X吵中，直線，的參數(shù)方程為2Q為參數(shù)），以坐標原戶-】+爭點為極點，以X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C

11、的極坐標方程為 夕 sin? 8 = cos 6.（1）求直線/的普通方程及曲線C的直角坐標方程；（2）若直線/與曲線C交于4 8兩點，P（2,-l）,求|以卜|尸5|23 .選修4-5：不等式選講(本小題滿分10分)設(shè)a,6,C£R, a+A+c = 0, abc = 1.(1)證明：ah-hbc + ca<0；(2)用 maxa,6,c表示 °, b, c 中的最大值，證明：mmatb9c>4 .高三 理科數(shù)學(xué) 試題卷 第7頁（共6頁）2020-2021學(xué)年上期中考21屆高三理科數(shù)學(xué)參考答案第I卷(選擇題，共60分)一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分.

12、題號123456789101112答案ADCBBCCADADB第II卷(非選擇題，共90分)二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.13. y 14. 一； 15. ©16. (1,2)三.解答題：本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17.(本小題滿分12分)解：(1)由正弦定理，-73(sin cos Csin A) =sin Csin B2分由 sin 力=sin(?+Q = sin flcosC + cos ZJsinC ,得-石cos Asin C = sin Csin B ,由OvCvtc,得sin。=0.所以一cosd = sin8 .又8sw0,

13、所以 tan6 = -/J4 分又0v8vtt,得E =6分3(2)由余弦定理及8 = 2用 J9(2>/3)2 =2+c2-2(76,cos8 分3即12 =(。十。)2。. 將十3=4代入，解得c = 410分所以S&ec =!acsin8 =-!-x4x =y/312 分222高三理科數(shù)學(xué)答案第1頁(共6頁)18.（本小題滿分12分）解：（1）證明：由底面為矩形，得 平面MAD JL平面4SC。，平面MAD n平面H8CD = AD,八AB cini ABCDt AB lYlfll MAD,v AB/CD, CD u平面 MCD, AB U平面 MCD,K水、48平面 MC

14、D,/ ! V 平面M/8 n平面MCO = MN, A MN/AB, ,MN 1平面W4O,/ By,”。：平面0, a MN 1 MD6 分 X（2）解：如圖，設(shè)力。的中點為O,過O作OH 乩 交BC于H,由題宜知04 OH, 0W兩兩垂直，以。為原點，分別以。4 OH, OM為x, y, z軸，建立空間直角坐標系，則8（2,2,0）, £>（2,0,0）, M（0,0,2>/3）, N（0,l,2g）,設(shè)平面MBD的法向量7 = （3/）,則g 巴二一以- 2y = 0,1。> （n-BM = -2x -2y + 2y/3z = 0取x = 3,得 =（3,-

15、6,打），設(shè)平面NBD的法向航=3瓦C），則信嚅:二;二篇汽=0,一/一 一| m n 15V15取Q = l,得加=（-2,。），,叫孫）卜邨=訪石=丁,由圖可知二面角M-BD-N的平面角為銳角，所以二面角M-/W - N的余弦值為巫.12分419.（本小題滿分12分）£ _立a 213解：（1）橢圓的半焦距為C根據(jù)題意，得戶=1，解得=4,=1.a?所以橢圓C的標準方程為寸+ >2 = 1.4尸4分高三 理科數(shù)學(xué)答案 第2頁（共6頁）（2）由/不垂宜于坐標軸知，宜線/的斜率存在，且不為0,設(shè)直線/的方程為 y =左（工一）,4 0 0.土+ 2印聯(lián)立4，消去了可得（1+4公

16、）工2 &%2加44左4 = 0 .y = kx-ii）設(shè)（?！北兀?。（工2，）2）,易知王聲馬/團，由根與系數(shù)的關(guān)系，得芭x, = 4后7、4,也2-1 + 4公1，1 + 4A由/尸射=/。創(chuàng)，得左心+力迎=0,所以2 +上=08分上x,-）n x2-ni所以凹（一山）+乃（%加）=0 o 2xjX2 （m + n）（Xj +丸2） + 2加 =0,所以2x竺上一2一（相十#-上+2? = 0整理"J得= 4,即z =3 .1 + 4/ '0 + 4/n因為0vv2,所以歷w（2,+oo）.12分20.（本小題滿分12分）解：（1）由題意可知，隨機變量k服從二項

17、分布8（3,今，故P（k）=酸氣33f（& =0,1,2,3）.則k的分布列為k0123P183838184分（H）設(shè)一個接種周期的接種費用為f元，則f可能的取值為200, 300,因為尸（J = 200）= ；,尸（歲= 300）= :,所以£(/ =13200x- + 300x- = 275.44所以三個接種周期的平均花費為E（X）=32?（4=3 x 275=825.高三 理科數(shù)學(xué)答案 第3頁（共6頁）7分高三理科數(shù)學(xué)答案第4頁(共6頁)由(1)知，P(J)= - + - = -' '8 8 2隨機變量y可能的取值為300, 600, 900,設(shè)事件力為

18、“在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體”, 所以尸(y=3oo)=p(z)=；,p(y=6oo)=i-?(4)xp()=；,P(y = 900)= l-P()xl-Pj)xl = l,所以 E(y) = 300x； + 600x： + 900xg = 52511 分所以E(X)>E(y).12分 21.(本小題滿分12分)解：解：(1)/的定義域為(0，+8), /(x) = 2e2x-. X顯然當G$o時，/(%) > 0恒成立，r(x)無零點.2分當a>0時，取z(x) = /'(x) = 2e2:3,則f'(x) = 4/-4>0,即廣單調(diào)遞增, X

19、X又尸(a) > 0,= 2e-2ea<0,所以導(dǎo)函數(shù)尸(均存在唯一零點.4分故當。>0時，(。)存在唯一零點，當0時，/,Q)無零點.5分(22證明:由(1)知,當。工0時，f(x)單調(diào)遞增，所以“x)Mn = /(e) = e2e-a = e2e, 所以G = 0.因為g'(x)一'"”'，函數(shù)。(為的圖象在點處的切線方程為7一3 = 0,所以g'(x) =-ni=0r 所以 HI = L又g(D =號"+n=3所以九=2,所以g(= = ">'+2.根據(jù)題意，要證/*(*)*(%),印證匕也/-

20、2,只需證工(小-2)-Inx之1. X令(x) = #2* - 2)- In %,則力'=(2工 +1)目 一 1± =(2x + l)f /令下(同二瞪一，(工>0),則廠'卜)=222'+±>0,所以F(”)在(0,+8)上單調(diào)遞增. XX又" (4=&-4<0,6(；)=。-20,所以F(x)有唯一的零點七e?" -2)-lnx0.當xw(O,Xo)時,尸(x) vO,即/(x) vO,力(x)單調(diào)遞減,當入£(知+ 8)時，F(xiàn)(x)>0,即(x)>0, (x)單調(diào)遞增,所以“到二=(%)=凡又因為夕(x