第一講數(shù)列極限

1、精品文檔第一講數(shù)列極限一、上、下確界1、定義：1)設(shè)S= R,若三M w R:VxwS,x WM ,則稱 M是數(shù)集 S的一個(gè)上界，這時(shí)稱 S上有界；若3L= R: Vx = S,x >L ,則稱L是數(shù)集S的一個(gè)下界，這時(shí)稱 S下有界；當(dāng)S既有上界又有下界時(shí)就稱S為有界數(shù)集。2)設(shè)SuR,若三M wR:VxWS, xMM ,且Vw0,三xS:xaM -s ,則稱M是數(shù)集S的上確界，記M =supS ;若三L w R: Vxw S, xX L ,且V e a 0, ：3xw S: x < L +，則稱L是數(shù)集S的下確界，記L =inf So2、性質(zhì)：1)(確界原理)設(shè) SuR, S#0

2、 ,若S有上界，則S有上確界；若S有下界，則S有下確界。2)當(dāng)S無(wú)上界時(shí)，記supS =；當(dāng)S無(wú)下界時(shí)，記inf S = -i。3) sup(A UB) =maxsup A,sup B;inf( AU B) = mininf A,inf B。4) supS =inf(S);inf S = sup(S)。5) sup(A + B) =sup A+supB;inf( A + B) = inf A+inf B。6) sup(AB) =sup A inf B。(武大 93)7)設(shè)f (x), g(x)是D上的有界函數(shù)，則inf f (D) inf g(D) < inf f(x) g(x)三sup

3、f (D) inf g(D)Msupf(x) g(x) supf(D) supg(D)x=D3、應(yīng)用研究1)設(shè)xn為一個(gè)正無(wú)窮大數(shù)列，E為xn的一切項(xiàng)組成的數(shù)集，試證必存在自然數(shù)p,使得xp =inf E。(武大94)二、數(shù)列極限1、定義：1) lim an =au V名 >0,mN = N() :n a N,| an a|< 名，稱an為收斂數(shù)列； n.2) liman ="仁 VM >0,三 N :n >N,an >M ,稱an為代數(shù)列； n.3) lim 3VM >0,三 N :n >N,an < M ,稱an為血數(shù)列；精品文檔精

4、品文檔4) lim 4 =的=VM >0,EN ：n>N,|an|>M ,稱aj 為比數(shù)列； n_,:二5) lim an = 0 ,稱an為無(wú)窮小數(shù)列； n_.2、性質(zhì)1)唯一性：若 lim an =a,lim an =b= a = b。 n- -n 二2)有界性：若an為收斂數(shù)列，則an為有界數(shù)列。3)保號(hào)性：lim an =a 0= N,n N,an 0. n 一4)保不等式性：若 lim an=a,limbn=b, an_bn(nN0)=a _ b.n ； ： n n，1nn n5)迫斂性：若 an <Cn < bn(n No),lim an =lim b

5、n 二c= lim Cn 二c.n 工; ng：n_；二6)四則運(yùn)算：若lim an =a,lim bn =b，則n_l 二222精品文檔n :ana7) Stolz定理：設(shè)yn為嚴(yán)格增的 代0數(shù)列，若lim xn - xn/存在，則lim 二=lim xn - xn。n = yn -ynn = yn n ?： yn - ynbnb ，lim( an ±bn) = a ±b;lim( an bn) =a b;lim = - (a / 0)。證明：(1)Sn=%12, IM,?,bk >0,k =1,2j“,n ,則 minSnWa1a2anW max Sn。(用歸納法

6、證b1 b2bnb1b2 1H bn明)a caacc一 < ,b >0,d >0= a(b + d) <b(a +c),( a +c)d<(b +d)c=<<一，<：a IIIan , an 1b1 HI bn bn1 'bi - H I bnbn 1b dbbdd min Sn 1 =min 0 叨 < “鼻羋n1nbn 1blbnbn1an 1 a1 - IH - an an 1max Sn 1 : max Sn bn 1b1 - I H - bn bn IXnXk - ryk .yk” xn- xk、- -r 二十(1 -

7、)(-r ),ynynyn y n-y k(2)設(shè) lim Xn -4 =1= Vs>0,Ek,n>k:|Xn-Xn-r|< ，由(1)得 l2n r|<§ ,又 n'-yn- yn1yn yn 42yn yk2所 以|區(qū)r骨干一r ky | -1nx-r X,為因?yàn)?yny n y %ykxk -rykxk -ryk； xnlim =0=二N >k, n > N :|一 ,從而 | 一 -r |< (n > N)n ：-ynyn2yn1) (Cauchy 收斂準(zhǔn)則)an收斂的充要條件是 V& >0, 5N : n

8、,m > N => | an - am |< S ；2)(單調(diào)有界收斂原理)若an單調(diào)增上有界，則an收斂，且lim an =supan ；若an單調(diào)減下有界, n-'n則an收斂，且 lim an = inf an； n_n3)(致密性定理)有界數(shù)列必有收斂子列。4) an收斂的充要條件是lim sup(am-ak)=0n 二-m.k n4、子列：ni < n2 <111,ank稱為an的子列:1) an收斂的充要條件是an的任何子列都收斂;2) liman存在 u lima2n,lima2n都存在，且lima2n= lima2n；n -n l ： ni

9、：-n : ：n_j :一3) liman = Au寸君>0,滿足an a A +6至多有限項(xiàng)，滿足 an a A - w有無(wú)窮多項(xiàng)，稱 A為an的上極 n-.限；ljman = Bu V名>0,滿足an < B 名至多有限項(xiàng), n一 .限；lim an存在 y liman =lim an。滿足an < A十名有無(wú)窮多項(xiàng)，稱B為an的下極(1) liman =lim supXk； lim an =lim supXk；n < n n < k,n k n n ik_n k，(2) an <bn(n >n0) = lim an <lim bn,l

10、im an < lim bn ； n 二 n 二 nnT：(3) liman = lim( an)：n 承-n-i 二lim an lim bn - lim( anbn) - lim anlim bn(4)n L ：n L ：n L ：n L ：n5 -anbn) - lim anlim bnn i ： n .三、應(yīng)用研究lim an存在。 n" n1、設(shè) an =1 + +IH 1 -ln n ,證明2 n -1n-十n- nckdX_,n從而lim an.n-ccc -3,0), Xi =-,xn 1 =-22X2+£，n=1,2,認(rèn)證明段人存在并求其值。一c X

11、2c |c| c<| C |廣，Xn+ = -<= 0 ,.2證明：顯然 xn > , x, < 0。若 xn <0 ,則 | Xn |W 回,二 X2 W 9-224精品文檔122122X2k 1 - X2k 1 - 2 ( X2k - X2k 2 ), X2k 2 - X2k 一 2 ( X2k 1 - X2k).X2k 1 - X2k J, X2k .2 ：. X2kcx2lX2k_ 與ak X k =b，由 X2n 1m2n,X2nk -k222”等,nr川得”c b2十 ,b = +, 2222精品文檔122從而 ab=(b a ),(ab)(a+b+2

12、) =0 , 2c a 一 2一.一右 a+b+2=0,由b=一十一，得a +2a+4+c = 0,則 c = 3,總之有 a = b = 1 ,即 lim Xn = 1.3、yn + = yn(2 yn),0 < y0 <1 ,求證：lim Vn =1。(武大 00)n 舉二證明：f (x) =x(2 x) <1(0 wx <1),，y0 < y = y°(2 y°) <1,若 y0 < yn <1,則 1 a yn+ a yn > y0,從而 lim yn（ = a）存在，在 yn+= yn（2yn）取極限，得 a

13、=a（2a）,0 < y° Ma M1 ,所以 a = 1。 n 一444、設(shè)a1 =3,a2 =3+ ,a =3 +-Jib如果數(shù)列an收斂，計(jì)算其極限，并證明數(shù)列an收斂于上3433 -3,_1證明：由an書(shū)=3十一, an述極限。（武大99）J 111、a2n 書(shū)a2n=4( 一)，a2n 七 一 a2n = 4( 一 ),可歸納 證得：令 lim a2n = a,lim a2n由=b , n i ：n i-a2na2n _2a2n 1 a2n3 can <5,a2n書(shū) >a2n，a2n攵 <a2n,從而 l i ma2n , l iaB+1 都存 在

14、n > ： n i-3 a2n111,a龍+亍3+，取極限得a =3+,b = 3+,3 a；n 1ba三a,b三5,：a_b=4 a*ab所以數(shù)列an收斂，且liman=4 n二二5、設(shè)數(shù)列an有一子列ank收斂，且ankPla2n及ankDa2n書(shū)都有無(wú)窮個(gè)元，而a2n及a2n書(shū)都 為單調(diào)數(shù)列，問(wèn)an上否收斂？為什么？（武大 98）證明：1）單調(diào)數(shù)列若有收斂子列，則本身收斂：2）由1）知a2n及a2n+都收斂，又因?yàn)閘im a2 n =后Hnk =Ma2n+，故an收斂。 n工.k工. k n .6、設(shè)an>0,且an，f證明數(shù)列an中存在一子序列ank是收斂的子序列。（武大9

15、7）7、設(shè) an t a（nT 叩,令 aj-= maxan,0, a+=maxa,0,證明 a：T a+（n-» °°）。（武大 96）8、設(shè)an無(wú)上界，證明存在子序列 ank,使得ank t +（k->）。（武大95）9、設(shè)a -。，為=,2 +a,xn書(shū)=-2 +xn,n =1,2,III,證明極限lim xn存在并求極限.（北大02）證明：易知 J2ea w2+a,當(dāng) >a時(shí)，%單調(diào)增；當(dāng)xwa時(shí)，2單調(diào)減，從而極限lim %存 n一二在，令 lim xn = x,在 xn4 =R+x 兩邊取極限得 x2=2+x= x = 2x/x = -1,

16、再由 J2wxnw2 + a得 n-lim xn =2。n_,：二10、求極限lim2n an-T a而.（北大01）解:當(dāng)a2<1 時(shí)，0W2n a2n1 aM(a2)n t 0 ,.lim2n an- T a2n=0 ;當(dāng) a2 =1 時(shí)，lim2n a2n1.2時(shí),lim2n an-T a2n=limn l :+ 1。2n a1 f(a -)11、設(shè)f （x）在點(diǎn)a右導(dǎo)，f （a） #0 ,求極限limn ：,：n f(a).(北大01)解:12、lim W 十a(chǎn)n,(a>0).(北大 98) n一 .13、證明：1(1) ，(1+一)為遞減數(shù)列：(用 b >a (n

17、+1)b -na, b > a >0 )n一 1，- 1、1 一 ，一(2) <ln(1+) <一,n =1,2 (華東師大 00)n 1 n n14、設(shè) R 中數(shù)列an , bn滿足 an=bn qan,n =1,2，其中 0Mq<1,證明:(1)若bn有界，則為有界;(2)(3)若bn收斂，則an收斂。（清華01）證明：（1）2- nq kn設(shè) |bn|EM,| a/WM ,由于 an+ =tn qan =0 q=+q an=£ k=0(-q) bn* +(-q) a1,n 4 k n1從而 |an + |ME k q M +q M <M 。1

18、 -qbn 1 kn:k設(shè) 11m bn =b, |an+ - - HZ kq（q） bnj< +（q） ai -Z k43（-q） b| n <1 q k-k-；：（Y）k（bb） +（q）n（aib）|+|£ 臺(tái)中（力）舊n：q（-q）k（bn* -b） I k： 1（-q）k（bn上-b） （-q）n（ai -b）|b|_1 _qmn二川（y）n"也一b）|十三2M +三 1b|1 - q 1 - q一1，15、(1)用z B語(yǔ)言證明：lim 一 =1。x 1 x(2)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)a可導(dǎo)，且f(a)#0。求:f（a 1）nmf(3)求極限1p lim 一 n ）二，其中p >0O (清華0