矩陣的初等變換PPT課件

1、矩陣的初等變換矩陣的初等變換矩陣的初等變換是線性代數(shù)中一個重要的工具矩陣的初等變換是線性代數(shù)中一個重要的工具. 以下三種變換分別稱為矩陣的第一、第二、以下三種變換分別稱為矩陣的第一、第二、第三種初等變換：第三種初等變換：)()()(,)(jijiijijccrrcrjii或的位置，記作列兩行對換矩陣中第).(,()(iikckrikii記作列）行乘第用非零常數(shù)).(,)()(jijikcckrrikjiii記作（列）對應元素上去行后加到第乘以常數(shù)列行將矩陣的第41311221222832A2832122122413131rr669044604131131222rrrr2230223041310

2、00022304131連接。或之間用記號與，化為利用初等變換將BABA利用初等變換可以將矩陣化為梯形陣。利用初等變換可以將矩陣化為梯形陣。作用作用矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。例如：例如：301020201A5000202019113123343221B07700111103221000001103221100010001000000100001矩陣的等價矩陣的等價 對矩陣對矩陣A實行有限次初等變換得到矩陣實行有限次初等變換得到矩陣B，則稱矩，則稱矩陣陣A與與B等價，記作等價，記作 A B. 等價矩陣具有自反性、對稱性、傳遞性。即：等價

3、矩陣具有自反性、對稱性、傳遞性。即：CACBBAABBAAA,;nmIA0000000000001000001000001A的標準形的標準形定理：定理：任何一個任何一個矩陣都有標準形。矩陣都有標準形。如上例：如上例：000022304131A00002230000114131243cccccc0000001000013232322423rcccc推論推論:矩陣矩陣 A與與 B 等價的等價的 充要條件是充要條件是A與與 B 有相同的標準形。有相同的標準形。矩陣的秩矩陣的秩. 12階子式的階行列式，稱為矩陣的個元素，按原次序組成行、列相交處的列，位于這些行中任取階子式：在kAkkkkAknm一般地

4、：一般地：個。階子式有的矩陣knkmCCkAnm2.秩的定義秩的定義:矩陣矩陣 A 的所有不等于零的子式的最高的所有不等于零的子式的最高階數(shù)稱為矩陣階數(shù)稱為矩陣 A 的秩的秩.記作記作 r(A) .顯然顯然:r(O)=0;只要只要A不是零陣不是零陣,就有就有 r(A)0.并且并且:;,min)()(nmArinm.)(;)()(rArrrArrii階子式全為零，則若所有的階子式不為零，則若有一個).()()(ArAriiiT例例:求矩陣求矩陣A的秩的秩.00002222111211rnrrnrnraaaaaaaaaA.)(rAr顯然利用初等變換可以求矩陣的秩利用初等變換可以求矩陣的秩. .)0

5、(2211rraaa秩的求法秩的求法定理定理:矩陣經(jīng)初等變換后其秩不變矩陣經(jīng)初等變換后其秩不變.證證:只證行變換的情形只證行變換的情形.);()(BrArBAijr);()(BrArBAikrmnmmjnjjiniinaaaaaaaaaaaaA21212111211jikrr Baaaaaakaakaakaaaaamnmmjnjjjninjijin2121221111211由此可以推出由此可以推出:)()()()(BrArBrAr)()(BrAr例例:求矩陣的秩求矩陣的秩:41311221222832. 1 A2832122122413131rrA66904460413100004460413

6、12)(Ar930012107022204321930053001110432193001210701110432140005300111043214)(Br5021011321014321. 2 B12233.43123119At？為何值時，3)(Art0770011803221tA0118001103221t030001103221t. 3)(, 3Art1 14.11( ).1 1xAxr Ax設三階矩陣，試求解解2| (2)(1)Axx12( )3;xxr A 當且時，1 1 11 1 111 1 10 0 0( )11 1 10 0 0 xAr A當時，；1122110112121(

7、 )2.0001120 0 0 xAr A 當時，. 2)(21)(1; 3)(21ArxArxArxx時，當；時，當時，且當1 1111 1xxx1 1111 1xxx211011011xxxxx1101100(2)(1)xxxxx利用初等變換求秩：利用初等變換求秩：抽象矩陣求秩抽象矩陣求秩,0( )( )AmnBnsABr Ar Bn結論3：設為矩陣為矩陣，若， 則；,( )()()()AmnPQmnr Ar PAr AQr PAQ結論1：設為矩陣、分別為階、階滿秩矩陣，則；,( )( )()min( ), ( )AmnBnsr Ar Bnr ABr A r B結論2：設為矩陣為矩陣，則；

8、,()( )( ).AmnBmnr ABr Ar B結論4：設為矩陣為矩陣，則2.應填1 0 21.43( )20 2 01 0 3()_.Ar ABr AB設 是矩陣，且，而，則1 0 20 2 0100.1 0 3BB因為即矩陣 滿秩()( )2r ABr A解解,( )()()()AmnPQmnr Ar PAr AQr PAQ結論1：設為矩陣、分別為階、階滿秩矩陣，則；1( )( ).r Ar Brr故，即解解111112.(A)(B)(C)(D)AmnCnArBACrrrrrrrrrC設 是矩陣， 是 階可逆矩陣，矩陣 的秩為 ，矩陣的秩為 ，則與 的關系依 而定( )( )BACr

9、Br A一方面，由知：；1( )( ).ABCr Ar B另一方面，由知：(C).選解解1 11 212 1222123.0,0 (1,2, )( )_.nniinnnna ba ba ba ba ba bAabina ba ba bAr A 設，其中，則矩陣 的秩1212,nnaaAb bbGHa( )()1r Gr H ，( )min ( ), ()1r Ar G r H所以，00( ,1,2, )0( )1.iabi jnAr A由于，故，所以( )1r A 從而解解4.,0.mn AmnBnmCABC設為矩陣為矩陣，證明：( )( )mnr Anr Bn當時，由秩的定義知，()min(

10、 ), ( ).r ABr A r Bnm()0.ABmr ABmABAB又為 階方程，當時，為降秩陣，此時( )( )()min ( ), ( ).()0.Cmnr Anr Bnr ABr A r BnmABmr ABmABAB當時，由秩的定義知，而又知為 階方陣，當時，為降秩陣，此時選解解5.(A),0(B),0(C),0(D),0AmnBnmmnABmnABnmABnmAB設 是矩陣， 是矩陣，則當時 必有行列式當時 必有行列式當時 必有行列式當時 必有行列式解：解：C6.(A)0(B)0(C)0(D)0TTTTAmnmnA AA AAAAA設 是矩陣，則解解7.2*_.AA設四階矩陣

11、的秩為 ，則其伴隨矩陣的秩為( )( *)1( )10( )1nr Anr Ar Anr An，若，若，若( )20*0r AAA ，故 的所有三階代數(shù)余子式全為 ，故4( )2(*)0.nr ArA，則顯然，若兩個矩陣有相同的秩，則這兩個矩顯然，若兩個矩陣有相同的秩，則這兩個矩陣有相同的標準形，從而等價；反之，若兩個陣有相同的標準形，從而等價；反之，若兩個矩陣等價，則它們的秩相同。即有：矩陣等價，則它們的秩相同。即有：定理：矩陣定理：矩陣A與與B等價的充要條件是等價的充要條件是r(A)=r(B).! 請記住：矩陣是否等價只須看矩陣的秩是否相同。請記住：矩陣是否等價只須看矩陣的秩是否相同。滿秩矩陣滿秩矩陣定義：若方陣定義：若方陣A的秩與其階數(shù)相等，則稱的秩與其階數(shù)相等，則稱A為滿秩矩陣；為滿秩矩陣； 否則稱為降秩矩陣。否則稱為降秩矩陣。( 滿秩滿秩非奇異非奇異 降秩降秩奇異）奇異）E-滿秩陣滿秩陣 O-降秩陣降秩陣定理：設定理：設A為滿秩陣，則為滿秩陣，則A的標準形為同階單位陣的標準形為同階單位陣 E .即即EA 矩陣的秩是矩陣的一個重要的數(shù)字特征。矩陣的秩是矩陣的一個重要的數(shù)字特征。推論推論1：以下命題等價：以下