高等數(shù)學(xué)課件：1 n維歐氏空間中的點(diǎn)集

1、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1N維歐氏空間點(diǎn)集的初步知識(shí)度量空間與n維歐氏空間度量空間中的各類點(diǎn)集2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2n本章將研究一種特殊的集合空間中的點(diǎn)集。n所謂空間，是一類具有某種結(jié)構(gòu)的集合，往往成為數(shù)學(xué)研究的載體和對象。n分析學(xué)科所關(guān)心的空間的結(jié)構(gòu)包括度量、范數(shù)、開集、閉集等。n本章的主要內(nèi)容為度量空間，特別是n維歐氏空間中的各類點(diǎn)集，這將為我們研究新的積分奠定基礎(chǔ)。2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31. 度量空間與n維歐氏空間度量，也稱距離，是空間理論的基本概念，下面給出它的定義：度量，也稱距離，是空間理論的基本概念，下面給出

2、它的定義：定義：定義：設(shè)設(shè)X是一個(gè)集合，若對于是一個(gè)集合，若對于X中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素x,y，都有唯一確定的實(shí)，都有唯一確定的實(shí)數(shù)數(shù)d(x,y)與之對應(yīng)，而且這一對應(yīng)關(guān)系滿足：與之對應(yīng)，而且這一對應(yīng)關(guān)系滿足：（1）正定性：）正定性：（2）三點(diǎn)不等式：）三點(diǎn)不等式：yxyxdyxd0),(, 0),(并且),(),(),(,zydzxdyxdXz稱稱d(x,y)是是x,y之間的之間的距離距離，稱，稱(X,d)為為度量空間度量空間或或距離空間距離空間。由性質(zhì)由性質(zhì)(2)立刻可以得到度量的立刻可以得到度量的對稱性對稱性，即，即d(x,y)=d(y,x).若若(X,d)為度量空間，為度量空間，

3、Y是是X的一個(gè)非空子集，則的一個(gè)非空子集，則(Y,d)也是一個(gè)度量空間，也是一個(gè)度量空間，稱為稱為(X,d)的的子空間子空間。例例1 歐氏空間歐氏空間n例例2 連續(xù)函數(shù)空間連續(xù)函數(shù)空間,baC2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4度量空間中點(diǎn)集的一些基本概念度量空間中點(diǎn)集的一些基本概念鄰域鄰域定義定義(鄰域鄰域)：),(|0PPdP0P0P距離空間距離空間(X,d)中所有和定點(diǎn)中所有和定點(diǎn)的距離小于定數(shù)的距離小于定數(shù)全體，即集合全體，即集合稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) 的的鄰域，鄰域，記作記作)(),(00PUPU或顯然，在顯然，在,321分別是以分別是以 為中心以為為中心以為 半徑的開區(qū)間、半徑的

4、開區(qū)間、),(0PU0P開圓和開球。開圓和開球。 鄰域具有如下的基本性質(zhì)：鄰域具有如下的基本性質(zhì)：的點(diǎn)的的點(diǎn)的(1)(PUP(2) 對于對于P的兩個(gè)鄰域的兩個(gè)鄰域),(),(21PUPU存在鄰域存在鄰域)()()(213PUPUPU(3) 對于對于),(PUQ存在存在Q的鄰域的鄰域)()(PUQU(4) 對于對于,QP 存在存在P和和Q的鄰域的鄰域),(),(QUPU使得使得)()(QUPU2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5點(diǎn)列的極限點(diǎn)列的極限(I) 式定義式定義：N 1nnP為度量空間為度量空間(X,d)中一點(diǎn)列，若對于任意的中一點(diǎn)列，若對于任意的, 0存在自然數(shù)存在自然數(shù)N，

5、使得，使得nN時(shí)有時(shí)有,),(0PPdn則稱該點(diǎn)列收斂于則稱該點(diǎn)列收斂于,0P記作記作.lim0PPnn(II) 鄰域式定義鄰域式定義： 若對于若對于0P的任意鄰域的任意鄰域),(0PU存在存在N，使，使nN時(shí)有時(shí)有),(0PUPn則稱該點(diǎn)列收斂于則稱該點(diǎn)列收斂于.0P性質(zhì)：性質(zhì)：1. 點(diǎn)列的極限是唯一的；點(diǎn)列的極限是唯一的；2. N維歐氏空間點(diǎn)列的收斂是按坐標(biāo)收斂；維歐氏空間點(diǎn)列的收斂是按坐標(biāo)收斂；3. 點(diǎn)列的收斂滿足線性；點(diǎn)列的收斂滿足線性；4. N維歐氏空間中的收斂點(diǎn)列等價(jià)于維歐氏空間中的收斂點(diǎn)列等價(jià)于Cauchy點(diǎn)列點(diǎn)列2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6點(diǎn)集的直徑點(diǎn)集的直

6、徑：一個(gè)非空點(diǎn)集一個(gè)非空點(diǎn)集E的直徑定義為的直徑定義為).,(sup)(,QPdEEQP有界點(diǎn)集有界點(diǎn)集：一個(gè)非空點(diǎn)集一個(gè)非空點(diǎn)集E稱為有界集合，若稱為有界集合，若.)(E直徑及有界點(diǎn)集直徑及有界點(diǎn)集點(diǎn)集的距離點(diǎn)集的距離兩個(gè)非空點(diǎn)集兩個(gè)非空點(diǎn)集A, B的距離定義為的距離定義為).,(inf),(QPdBAdBQAP注注：若：若A=P*，即，即A為單點(diǎn)集，則可記為單點(diǎn)集，則可記)*,(),(BPdBAd注注. . 收斂點(diǎn)列必為有界點(diǎn)集，收斂點(diǎn)列必為有界點(diǎn)集，n n維歐氏空間的有界點(diǎn)列必有收斂子列維歐氏空間的有界點(diǎn)列必有收斂子列2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7度量空間中點(diǎn)集的一些基

7、本概念度量空間中點(diǎn)集的一些基本概念區(qū)間區(qū)間定義：定義：n中的點(diǎn)集中的點(diǎn)集nibxaxxxiiin, 1,|,21稱為一個(gè)稱為一個(gè)開區(qū)間開區(qū)間； 若將其中的不等式全部換成若將其中的不等式全部換成,iiibxa,iiibxa,iiibxa則上述點(diǎn)集分別稱為閉區(qū)間、則上述點(diǎn)集分別稱為閉區(qū)間、左開右閉區(qū)間、左閉右開區(qū)間，統(tǒng)稱為區(qū)間，記作左開右閉區(qū)間、左閉右開區(qū)間，統(tǒng)稱為區(qū)間，記作I。iiab 稱為稱為I的第的第I個(gè)邊長；個(gè)邊長；niiiab1)(稱為稱為I的體積，記作的體積，記作|I|.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系82. 度量空間中的各類點(diǎn)集首先，我們考慮度量空間首先，我們考慮度量空

8、間(X,d)中的點(diǎn)與給定點(diǎn)集之間的關(guān)系。設(shè)中的點(diǎn)與給定點(diǎn)集之間的關(guān)系。設(shè)E為為X中的一個(gè)點(diǎn)集，中的一個(gè)點(diǎn)集，P為為X中的點(diǎn)，則中的點(diǎn)，則P和和E的關(guān)系具有如下幾種：的關(guān)系具有如下幾種：(1) P附近全是附近全是E的點(diǎn)，即存在的點(diǎn)，即存在P的某鄰域的某鄰域此時(shí)稱此時(shí)稱P為為E的的內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)；,)(EPU(2) P附近全不是附近全不是E的點(diǎn)，即存在的點(diǎn)，即存在P的某鄰域的某鄰域,)(EPU此時(shí)稱此時(shí)稱P為為E的的外點(diǎn)；外點(diǎn)；(3) P附近既有附近既有E的點(diǎn)，又有不屬于的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，即對的點(diǎn)，即對P的任意鄰域的任意鄰域U(P),)()(EPUEPU且此時(shí)稱此時(shí)稱P為為E的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)，簡

9、稱，簡稱界點(diǎn)；界點(diǎn)；(4) P附近有附近有E的無窮多個(gè)點(diǎn)，即對的無窮多個(gè)點(diǎn)，即對P的任意鄰域的任意鄰域U(P),EPU)(為無限集合，為無限集合，此時(shí)稱此時(shí)稱P為為E的的聚點(diǎn)；聚點(diǎn)；(5) P附近除附近除P外沒有外沒有E的點(diǎn)，即存在的點(diǎn)，即存在P的鄰域的鄰域U(P), PEPU)(此時(shí)稱此時(shí)稱P為為E的的孤立點(diǎn)。孤立點(diǎn)。2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9點(diǎn)集間的關(guān)系點(diǎn)集間的關(guān)系顯然，空間中任意的點(diǎn)顯然，空間中任意的點(diǎn)P是且只能是上述是且只能是上述(1)(2)(3)中的一個(gè)，或者是中的一個(gè)，或者是且只能是上述且只能是上述(2)(4)(5)中的一個(gè)，即中的一個(gè)，即外點(diǎn)孤立點(diǎn)聚點(diǎn)或外點(diǎn)

10、邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)中的點(diǎn)來說，對某點(diǎn)集nE(1) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，外點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，外點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)；(2) 聚點(diǎn)可以是內(nèi)點(diǎn)，也可以是界點(diǎn)，但不能是外點(diǎn)；聚點(diǎn)可以是內(nèi)點(diǎn)，也可以是界點(diǎn)，但不能是外點(diǎn)；(3) 孤立點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)或外點(diǎn)，一定是界點(diǎn)；孤立點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)或外點(diǎn)，一定是界點(diǎn)；(4) E中的點(diǎn)要么是聚點(diǎn)，要么是孤立點(diǎn)；中的點(diǎn)要么是聚點(diǎn)，要么是孤立點(diǎn)；(5) 界點(diǎn)要么是聚點(diǎn)，要么是孤立點(diǎn)。界點(diǎn)要么是聚點(diǎn)，要么是孤立點(diǎn)。2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10聚點(diǎn)聚點(diǎn)關(guān)于聚點(diǎn)，下面三條是等價(jià)的：關(guān)于聚點(diǎn)，下面三條是等價(jià)的：(1)P是是E的聚點(diǎn)；的聚點(diǎn)；(2)P的任

11、意鄰域內(nèi)，至少含有一個(gè)屬于的任意鄰域內(nèi)，至少含有一個(gè)屬于E而異于而異于P點(diǎn)；點(diǎn)；(3)存在存在E中互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列中互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列 ,nPPPnnlim2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11開核、邊界、導(dǎo)集、閉包開核、邊界、導(dǎo)集、閉包定義定義：(1) E的全體內(nèi)點(diǎn)所成的集合，稱為的全體內(nèi)點(diǎn)所成的集合，稱為E的的開核開核，記作，記作E(2) E的全體邊界點(diǎn)所成的集合，稱為的全體邊界點(diǎn)所成的集合，稱為E的的邊界邊界，記作，記作E(3) E的全體聚點(diǎn)所成的集合，稱為的全體聚點(diǎn)所成的集合，稱為E的的導(dǎo)集導(dǎo)集，記作，記作E(4) E與與E的導(dǎo)集的并集，稱為的導(dǎo)集的并集，稱為E的的閉包閉

12、包，記作，記作) (EEE閉包是一個(gè)非常重要的概念，我們有如下結(jié)論：閉包是一個(gè)非常重要的概念，我們有如下結(jié)論：EPUPUPPEn)(),(|有的鄰域這樣可知：這樣可知：的全體孤立點(diǎn)EEEEEEE2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12重要性質(zhì)重要性質(zhì)前面介紹的一些點(diǎn)集在分析學(xué)科中是非常重要的，具有以下的性質(zhì)：前面介紹的一些點(diǎn)集在分析學(xué)科中是非常重要的，具有以下的性質(zhì)：(1) ,;ccccEEEE(2);, ,BABABABA則若(3)BABA(4) (Bolzano-Weierstrass定理定理)若若E為有界的無限集合，則為有界的無限集合，則;E(5).,EEEn則設(shè)2007年8月

13、南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13開集和閉集開集和閉集定義：定義：若集合若集合E的每一點(diǎn)都是的每一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，則稱的內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集；為開集； 若集合若集合E的每一個(gè)聚點(diǎn)都屬于的每一個(gè)聚點(diǎn)都屬于E，則稱，則稱E為閉集。為閉集。開集和閉集是最重要的兩類點(diǎn)集，它們具有以下的性質(zhì)：開集和閉集是最重要的兩類點(diǎn)集，它們具有以下的性質(zhì)：(1) 對任意的點(diǎn)集對任意的點(diǎn)集E，;,是閉集是閉集和和是開集是開集EEE(2) 點(diǎn)集點(diǎn)集E是開集當(dāng)且僅當(dāng)是開集當(dāng)且僅當(dāng);EE E是閉集當(dāng)且僅當(dāng)是閉集當(dāng)且僅當(dāng);EEEE或或(3);,的最小閉集的最小閉集是包含是包含的最大開子集的最大開子集是包含于是包含于EEEE(4

14、) 若若E為開集，則為開集，則E的余集為閉集，若的余集為閉集，若E為閉集，則為閉集，則E的余集為開集的余集為開集；(5) 任意多個(gè)開集的并集以及有限多個(gè)開集的交集仍為開集；任意多任意多個(gè)開集的并集以及有限多個(gè)開集的交集仍為開集；任意多個(gè)閉集的交集以及有限多個(gè)閉集的并集仍為閉集個(gè)閉集的交集以及有限多個(gè)閉集的并集仍為閉集；(6) 對于任意兩個(gè)互不相交的閉集，一定存在兩個(gè)互不相交的開集對于任意兩個(gè)互不相交的閉集，一定存在兩個(gè)互不相交的開集分別包含這兩個(gè)閉集。分別包含這兩個(gè)閉集。2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14有界閉集和緊集有界閉集和緊集 iIiIiiUFU,有限覆蓋定理有限覆蓋定理

15、：設(shè)：設(shè)F為為n維歐氏空間有界閉集，則對任意的覆蓋維歐氏空間有界閉集，則對任意的覆蓋F的開集族：的開集族：存在有限個(gè)開集同樣覆蓋存在有限個(gè)開集同樣覆蓋F。iniUF1定義：定義：設(shè)設(shè)M為度量空間為度量空間X的子集，若對于的子集，若對于X的任意一族覆蓋的任意一族覆蓋M的開集，的開集，一定存在其中有限個(gè)開集仍然覆蓋一定存在其中有限個(gè)開集仍然覆蓋M，則稱，則稱M為為X的的緊集緊集。定理：度量空間的緊集一定是有界閉集。定理：度量空間的緊集一定是有界閉集。思考：判斷下面說法的正確與否，思考：判斷下面說法的正確與否，(1) 設(shè)設(shè)E,F為兩個(gè)不相交的閉集，則一定有為兩個(gè)不相交的閉集，則一定有d(E,F)0；

16、(2) 設(shè)設(shè)E,F為兩個(gè)不相交的閉集，其中為兩個(gè)不相交的閉集，其中E為緊集，則一定有為緊集，則一定有d(E,F)0.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15開域、閉域、區(qū)域開域、閉域、區(qū)域開域開域若非空開集若非空開集 E 具有連通性具有連通性, 即即 E 中任意兩中任意兩 點(diǎn)之間都可用一條完全含于點(diǎn)之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接的有限折線相連接, 則稱則稱 E 為開域?yàn)殚_域. 簡單地說簡單地說, 開域就是非空連通開集開域就是非空連通開集. 閉域閉域 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域開域連同其邊界所成的集合稱為閉域. 區(qū)域區(qū)域 開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所開域、閉域

17、、開域連同其一部分界點(diǎn)所成的集合成的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域. 不難證明不難證明: 閉域必為閉集閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域而閉集不一定為閉域. 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16*自密集、完備集、稠密集、疏朗集自密集、完備集、稠密集、疏朗集定義：設(shè)定義：設(shè)E為度量空間為度量空間(X,d)中的點(diǎn)集，中的點(diǎn)集，(1) 若若E中的每一個(gè)點(diǎn)均為其聚點(diǎn)，即中的每一個(gè)點(diǎn)均為其聚點(diǎn)，即, EE 則稱則稱E為為自密集自密集；(2) 若若E與其導(dǎo)集相等，即與其導(dǎo)集相等，即, EE 則稱則稱E為為完備集完備集；(3) 若若E的閉包為全空間，即的閉包為全空間，即,XE 則稱則稱E為為稠密

18、集稠密集；(4) 若若E的閉包沒有內(nèi)點(diǎn)，即的閉包沒有內(nèi)點(diǎn)，即,E則稱則稱E為為疏朗集，疏朗集，或稱為或稱為無處稠密集。無處稠密集。注意：完備集為沒有孤立點(diǎn)的閉集；注意：完備集為沒有孤立點(diǎn)的閉集； 疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集。疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集。2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17 舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例例1 證明證明: 對任何對任何2R ,S S 恒為閉集恒為閉集. 證證 如圖所示如圖所示, 設(shè)設(shè)0 xS 為為的任一聚點(diǎn)，欲證的任一聚點(diǎn)，欲證（即（即 亦為亦為S0 xS 的界的界 0 x點(diǎn)）點(diǎn)）.

19、 為此為此0, 由聚點(diǎn)定義，存在由聚點(diǎn)定義，存在 0(;).yUxS SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y yy0( ;)(; ),U yU x 再由再由為界點(diǎn)的定義為界點(diǎn)的定義, 在在 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18的點(diǎn)的點(diǎn). 由此推知由此推知在在 內(nèi)既有內(nèi)既有SS( ;)U y 的點(diǎn)的點(diǎn), 又有非又有非 S0 x0 xS 的任意性的任意性, 為為的界點(diǎn)的界點(diǎn), 即即, 也就證也就證得得 S 為閉集為閉集 注注 類似地可以證明類似地可以證明: 對任何點(diǎn)集對任何點(diǎn)集2R ,SS 導(dǎo)導(dǎo)集集 亦恒為閉集亦恒為閉集. ( 留作習(xí)題留作習(xí)題 ) 2R .E 例例2 2 設(shè)設(shè)

20、 試證試證 E 為閉集的充要條件是：為閉集的充要條件是： cint().cEEEEE 或或SS0(; )U x 內(nèi)既有內(nèi)既有的點(diǎn)的點(diǎn), 又有非又有非 的點(diǎn)的點(diǎn). 所以所以, 由由 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19證證 下面按循環(huán)流程圖下面按循環(huán)流程圖 來分別作出證明來分別作出證明. . dEEE 已知已知為閉集為閉集( ( 即即 ),),欲證欲證E.EEE ,pE pEE為為此此或或是是的的聚聚點(diǎn)點(diǎn) 或或是是的的孤孤立立點(diǎn)點(diǎn). . ,pEEEpE若若， 則則由由得得； 而而孤孤立立點(diǎn)點(diǎn)必必屬屬.EEE EEE于； 從而， 故于； 從而， 故 反之顯然有反之顯然有 ccint(

21、)EEEEEEEE 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20.EEE 綜合起來綜合起來, , 便證得便證得 int.EEE EEE ，cint().cEE 已知已知 欲證欲證 為此為此 c,pEpEEEpE則則而而由由故故必必為為的的 外點(diǎn)外點(diǎn), , ,0,( ; ).U pE 按按定定義義使使從從而而cccc( ; ),int().U pEpEEE 故故是是的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn) 即即 ccccint().int().EEEE有這就證得有這就證得反之顯然反之顯然 ccint(),.EEEEEp 已已知知欲欲證證為為此此c(,pEpE據(jù)條件可證若不然從而由據(jù)條件可證若不然從而由,E ccint

22、(), 0,( ; ),pEU pE條件推知故使條件推知故使2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21),.pEEE 與與為為的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)相相矛矛盾盾故故這這就就證證得得注注 此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論此例指出了如下兩個(gè)重要結(jié)論: (i) 閉集也可用閉集也可用 “EEE ”來定義來定義 ( 只是使用只是使用 起來一般不如起來一般不如 “EEE ”方便方便, 因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn)因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn) 有許多便于應(yīng)用的性質(zhì)有許多便于應(yīng)用的性質(zhì) ).EEE (ii) 閉集與開集具有對偶性質(zhì)閉集與開集具有對偶性質(zhì)閉集的余集為開閉集的余集為開 集集; 開集的余集為閉集開集的余集為閉集. 利用此性質(zhì)利用此性質(zhì),

23、有時(shí)可以通有時(shí)可以通 過討論過討論 來認(rèn)識(shí)來認(rèn)識(shí) E. cE2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22例例3 以下兩種說法在一般情形下為什么是以下兩種說法在一般情形下為什么是錯(cuò)錯(cuò)的的? (i) 既然說開域是既然說開域是“非空連通開集非空連通開集”，那么閉域就是，那么閉域就是 “非空連通閉集非空連通閉集”；D(ii) 要判別一個(gè)點(diǎn)集要判別一個(gè)點(diǎn)集是否是閉域是否是閉域, 只要看其去除只要看其去除 邊界后所得的是否為一開域邊界后所得的是否為一開域, 即即 DDD“若若為為開開域域, ,則則必必為為閉閉域域” . . 答答 (i) 例如取例如取( ,)|0 ,Sx yxy 這是一個(gè)非空連這是一個(gè)非空連 通閉集通閉集. 但因它是第一和第三象限的集合但因它是第一和第三象限的集合 G 與其邊與其邊 SGG 界界