高中數(shù)學知識點掃描 九 排列、組合、二項式、概率練習題

1、九、排列、組合、二項式、概率：一、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理：分類計數(shù)原理：如果完成某事有幾種不同的方法，這些方法間是彼此獨立的，任選其中一種方法都能達到完成此事的目的，那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的和。分步計數(shù)原理：如果完成某事，必須分成幾個步驟，每個步驟都有不同的方法，而個步驟中的任何一種方法與下一步驟中的每一個方法都可以連接，只有依次完成所有各步，才能達到完成此事的目的，那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的積。區(qū)別：如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事，則選用分類計數(shù)原理，即類與類之間是相互獨立的，即“分類完成”；如果只有當個步驟都做完，這件事才能完成，則選用分步

2、計數(shù)原理，即步與步之間是相互依存的，連續(xù)的，即“分步完成”。二、排列與組合：（1）排列與組合的區(qū)別和聯(lián)系：都是研究從一些不同的元素中取出個元素的問題；區(qū)別：前者有順序，后者無順序。（2）排列數(shù)、組合數(shù)：排列數(shù)的公式：注意：全排列：；記住下列幾個階乘數(shù)，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列數(shù)的性質(zhì)：（將從個不同的元素中取出個元素，分兩步完成：第一步從個元素中選出1個排在指定的一個位置上；第二步從余下個元素中選出個排在余下的個位置上）（將從個不同的元素中取出個元素，分兩類完成：第一類：個元素中含有，分兩步完成：第一步將排在某一位置上，有不同的方法。第二步從余下

3、個元素中選出個排在余下的個位置上）即有種不同的方法。第二類：個元素中不含有，從個元素中取出個元素排在個位置上，有種方法。組合數(shù)的公式：組合數(shù)的性質(zhì)：（從個不同的元素中取出個元素后，剩下個元素，也就是說，從個不同的元素中取出個元素的每一個組合，都對應(yīng)于從個不同的元素中取出個元素的唯一的一個組合。）（分兩類完成：第一類：含，有種方法；第二類：不含，有種方法；）（第一步：先選出1個元素，第二步：再從余下個元素中選出個，但有重復(fù)，如先選出，再選出組成一個組合，與先選出，再選出組成一個組合是相同的，且重復(fù)了次）（分類：第一類：含，為；第二類：不含，含，為；第三類：不含，不含，含，為；）（將元素分成分成兩

4、個部分，第一部分含個元素，第二部分含個元素：在第一部分中取個元素，在第二部分不取元素，有；在第一部分中取個元素，在第二部分取1個元素，有；）（3）排列、組合的應(yīng)用：解排列組合應(yīng)用題時主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步切記：排組分清(有序排列、無序組合)，分類分步明確排列組合應(yīng)用問題主要有三類：不帶限制條件的排列或組合題；帶限制條件的排列或組合題；排列組合綜合題；解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：以元素為主，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素特殊元素法以位置為主，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置特殊位置法先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減不合要

5、求的排列數(shù)或組合數(shù)間接法（4）對解組合問題，應(yīng)注意以下三點：對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎悖墙饨M合題的常用方法。是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”。命題設(shè)計“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。（3）解排列、組合題的基本策略與方法：去雜法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。分類處理：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。這是解排列組合問題的基本策略之。注意的是：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常

6、常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。插入法（插空法）：某些元素不能相鄰采用插入法。即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間?！袄墶狈ǎ阂竽承┰叵噜彛严噜彽娜舾商厥庠亍袄墶睘橐粋€大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列，即是“捆綁法”。窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一排列出來。消序處理：對均勻分組問題在解決時，一定要區(qū)分開是“有序分組”還是“無序分組”，若是“無序分組”，一定要清除同均勻分組無形中產(chǎn)生的有序因素。三、二項式定

7、理：（1）通項：（2）二項式系數(shù)的性質(zhì)：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即：二項展開式中，中間的一項或兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，即當為偶數(shù)時，第項的二項式系數(shù)最大，為；當為奇數(shù)時，第項及項的二項式系數(shù)最大，為；二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和等于，即；二項展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，即；（3）、展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為（4）二項式定理的應(yīng)用：求展開式中的指定的項或特定項： 如：若，展開式中含有常數(shù)項，則的最小值是 ；求的展開式中的常數(shù)項。注意：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結(jié)合為一項，利用二項式

8、定理解決。求展開式中的某一項的系數(shù)：如：在的展開式中，的系數(shù)是 ；求展開式中的系數(shù)和：如：的所有各項的系數(shù)和是（賦值法：令）；（令）求二項式展開式的系數(shù)最大項的問題：求展開式中系數(shù)最大的項，通常設(shè)展開式各項系數(shù)分別為；設(shè)第項系數(shù)最大，則；然后求出不等式組的整數(shù)解。如：求展開式中系數(shù)最大的項。利用二項式定理證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證：能被64整除（）證明有關(guān)的不等式問題：有些不等式，可應(yīng)用二項式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當刪去(縮小)，或把某些負項刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進行證明。；（）如：求證：進行近似計算：求數(shù)的次冪的近似值時

9、，把底數(shù)化為最靠近它的那個整數(shù)加一個小數(shù)(或減一個小數(shù))的形式。當充分小時，我們常用下列公式估計近似值：；如：求的近似值，使結(jié)果精確到0.01；四、概率：（1）隨機事件的概率：必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件； 不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件；隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；事件的概率：在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它的附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率；記作；范圍：；特例：必然事件，不可能事件；（2）等可能事件的概率： 基本條件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件。等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的

10、結(jié)果有個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是，如果某個事件包含的結(jié)果有個，那么事件的概率；從集合角度看概率：在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的個結(jié)果組成一個集合，這個結(jié)果就是集合的個元素；各基本事件均對應(yīng)于集合的含有1個元素的子集，包含個結(jié)果的事件對應(yīng)于的含有個元素的子集；因此，從集合的角度看，事件的概率是子集的元素個數(shù)（記作與集合的元素個數(shù)的比值，即；（3）互斥事件有一個發(fā)生的概率： 互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件。互斥事件的概率：如果事件互斥，那么事件發(fā)生的概率，等于事件分別發(fā)生的概率的和，即：；如果事件彼此互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這 個事件分別發(fā)生的

11、概率的和，即對立事件：如果表示事件發(fā)生，表示事件不發(fā)生，那么事件與中必有一個發(fā)生，這種其中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件；對立事件的概率：對立事件概率的和等于1，即：；（4）相互獨立事件同時發(fā)生的概率： 相互獨立事件：事件 (或)是否發(fā)生對事件(或)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件；注意：如果事件互相獨立，那么與，與，與都是互相獨立事件。相互獨立事件同時發(fā)生的概率：兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即如果事件相互獨立，那么這個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即；（5）獨立重復(fù)試驗：獨立重復(fù)試驗：若次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都

12、不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，則稱這次試驗是獨立的。獨立重復(fù)試驗的概率：如果在一次試驗中，某事件發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，這個事件恰好發(fā)生次的概率：；五、統(tǒng)計：（1）抽樣方法： 簡單隨機抽樣：一般地，設(shè)一個總體的個體數(shù)為，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。注意：如果用簡單隨機抽樣從個體數(shù)為的總體中抽取一個容量為的樣本，那么每個個體被抽到的概率都等于；、抽簽法：先將總體中的所有個體（共有個）編號（號碼可以從1到），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上，然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌；抽簽時，每次從中抽

13、出1個號簽，連續(xù)抽取次，就得到一個容量為的樣本。注意：抽簽法簡便易行，當總體的個體數(shù)不多時，適宜采用這種方法。、隨機數(shù)表法：先將件產(chǎn)品編號，可以編為00，0l，02，然后在附表l隨機數(shù)表中任選一個數(shù)作為開始。得到一系列的兩位數(shù)字號碼，若大于或前面已有此號碼將它去掉，這樣可以得到一個容量為的樣本。系統(tǒng)抽樣的概念：可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣。系統(tǒng)抽樣的步驟：、采用隨機的方式將總體中的個體編號；、將整個的編號分段(即分成幾個部分)，要確定分段的間隔；當（N為總體中的個體數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時，；當不是整數(shù)時，運用簡單的隨機抽樣，從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體個數(shù)N能被n整除，這時；、在第1段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；、按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔，得到第2個編號，再將加上，得到第3個編號，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本）。分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣；其中所分成的各部分叫做層。類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)