高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》素材1 北師大版選修2-2

1、數(shù)學(xué)歸納法概述數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明等式成立和數(shù)列通項公式成立。 基本步驟（一）第一數(shù)學(xué)歸納法： 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟： （1）證明當(dāng)n取第一個值時命題成立，對于一般數(shù)列取值為1，但也有特殊情況； （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。 （二）第二數(shù)學(xué)歸納法： 對于某個與自然數(shù) 有關(guān)的命題 ， （1）驗證 n=n0時 P(n)成立； （2）假設(shè) no<n<k時 P(n)成立，并在此基礎(chǔ)上，推出 P(k)成立。 綜合（1

2、）（2）對一切自然數(shù) n(n0)，命題P(n)都成立； （三）倒推歸納法（反向歸納法）： （1）對于無窮多個自然數(shù)命題 P（n）成立； （2）假設(shè)P(k+1)成立，并在此基礎(chǔ)上推出P(k)成立， 綜合（1）（2），對一切自然數(shù) n(>n0),命題P(n)都成立； （四）螺旋式歸納法 P（n），Q（n）為兩個與自然數(shù) 有關(guān)的命題，假如 （1）P(n0)成立； （2）假設(shè) P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假設(shè) Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 綜合（1）（2）,對于一切自然數(shù)n（>n0），P(n),Q(n)都成立； 應(yīng)用1.確定一個表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)

3、是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。 2.數(shù)理邏輯和計算機(jī)科學(xué)廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達(dá)式是等價表達(dá)式。 3.證明數(shù)列前n項和與通項公式的成立 4.證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式 數(shù)學(xué)歸納法的變體在應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法常常需要采取一些變化來適應(yīng)實際的需求。下面介紹一些常見的數(shù)學(xué)歸納法變體。 從0以外的數(shù)字開始如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數(shù)，而只是針對所有大于等于某個數(shù)字b的自然數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改： 第一步，證明當(dāng)n=b時命題成立。 第二步，證明如果n=m(mb)成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+1也成立。 用這個方法可以證明諸如“當(dāng)n3時，n2>2

4、n”這一類命題。 只針對偶數(shù)或只針對奇數(shù)如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數(shù)，而只是針對所有奇數(shù)或偶數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改： 奇數(shù)方面： 第一步，證明當(dāng)n=1時命題成立。 第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。 偶數(shù)方面： 第一步，證明當(dāng)n=0或2時命題成立。 第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。 遞降歸納法數(shù)學(xué)歸納法并不是只能應(yīng)用于形如“對任意的n”這樣的命題。對于形如“對任意的n=0,1,2,.,m”這樣的命題，如果對一般的n比較復(fù)雜，而n=m比較容易驗證，并且我們可以實現(xiàn)從k到k-1的遞推，k=1,.,m的話，我們就能應(yīng)用歸納法

5、得到對于任意的n=0,1,2,.,m，原命題均成立。 數(shù)學(xué)歸納法的合理性數(shù)學(xué)歸納法的原理作為自然數(shù)公理，通常是被規(guī)定了的(參見皮亞諾公理)。但是他可以用一些邏輯方法證明；比如，如果下面的公理： 自然數(shù)集是良序的。 注意到有些其他的公理確實的是數(shù)學(xué)歸納法原理中的二者擇一的公式化。更確切地說,兩個都是等價的。 歷史已知最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 利用遞推關(guān)系巧妙的證明出證明了前 n 個奇數(shù)的總和是 n2，由此揭開了數(shù)學(xué)歸納法之謎。 最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當(dāng)n屬于所有自然數(shù)時一個表達(dá)式成立，這種方法是由下面兩步組成: 遞推的基礎(chǔ): 證明當(dāng)n = 1時表達(dá)式成立。 遞推的依據(jù): 證明如果當(dāng)n = m時成立，那么當(dāng)n = m + 1時同樣成立。 這種方法的原理在于第一步證明起始值在表達(dá)式中是成立的，然后證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那么任何一個值的證明都可以被包含在重復(fù)不斷進(jìn)行的過程中。 或許想成多米諾效應(yīng)更容易理解一些，如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那么如果你可以確定： 第一張骨牌將要倒下，只要某一個骨牌倒了，與他相鄰的下一個骨牌也要倒，那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。 這樣就確定出一種遞推關(guān)