因式分解的多種方法初中版

1、因式分解的方法(初中版)因式分解是初中一個(gè)重點(diǎn)，它牽涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要學(xué)會(huì)一 些基本的因式分解的方法。下面列舉了九種方法，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)能有所幫助。1】提取公因式這種方法比較常規(guī)、簡(jiǎn)單，必須掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：2x2-3x=0解：x(2x-3)=0x1=0, x2=3/2這是一類利用因式分解的方程。總結(jié)：要發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律就是：當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=a時(shí)，該式分解后必有一個(gè)(x-a)因式這對(duì)我們后面的學(xué)習(xí)有幫助。2】公式法將式子利用公式來分解，也是比較簡(jiǎn)單的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建議先提取公因式。例

2、二：x2-4分解因式分析：此題較為簡(jiǎn)單，可以看出4=2 2,適用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做競(jìng)賽題的基本方法，做平時(shí)的題目掌握了這個(gè)也會(huì)很輕松。注意：它不難。這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1.a2的積ai-a2,把常數(shù)項(xiàng) c分解成兩個(gè)因數(shù) Sa的積Sc2,并使aiC2 a2Ci正好是一次項(xiàng) b,那么可以直接寫成結(jié)果例三： 把2x2-7x+3分解因式.分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù) 項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一 次項(xiàng)系數(shù)

3、.分解二次項(xiàng)系數(shù) (只取正因數(shù))：2 = 1X2 = 2X1 ;分解常數(shù)項(xiàng)：3=1X3=3X 1=(-3) X(-1)=(-1) X-3). 用畫十字交叉線方法表示下列四種情況： 1 1 X 2 3 1 X3+2X 1 =5 1 3 X 2 1 1 X1+2X 3 =7 1 -1 X 2 -3 1 (-3)+2 (-1) =-5 1 -3 X 2 -1 1 (-1)+2 (-3) =-7經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因?yàn)榻徊嫦喑撕?，兩?xiàng)代數(shù)和恰等于一次 項(xiàng)系數(shù)7.解原式=(x-3)(2x-1).總結(jié)：對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a W0),如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即a=

4、即比，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即 c= GQ,把a(bǔ)1,a2,c1,c2 ,排列如 下：a1c1Xa2 c2a1c2a2c1按斜線交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1,若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù) b,即aiC2 a2Ci=b,那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式ax+c1與a2x c2之積，即2ax +bx+c=( ai x+ c1)( a2 x+ c?).這種方法要多實(shí)驗(yàn)，多做，多練。它可以包括前兩者方法。4】分組分解法也是比較常規(guī)的方法。一般是把式子里的各個(gè)部分分開分解，再合起來需要可持續(xù)性！例四：x2 4x 4 y2可以看出，前面三項(xiàng)可以組成平方，結(jié)合后

5、面的負(fù)平方，可以用平方差公式22斛：原式=(x 2) y=(x+2+y)(x+2-y)總結(jié)：分組分解法需要前面的方法作基礎(chǔ)，可見前面方法的重要性。5】換元法整體代入，免去繁瑣的麻煩，亦是建立的之前的基礎(chǔ)上2例五：(x y) 2(x y) 1分解因式考慮到x+y是以整體出現(xiàn)，展開是十分繁瑣的，用 a代替x+y那么原式=a2-2a+1=(a 1)2回代原式=(x y 1)26】主元法這種方法要難一些，多練即可即把一個(gè)字母作為主要的未知數(shù)，另一個(gè)作為常數(shù)例六：16y 2x2( y 1)2 (y 1)2x4分析：本題尚且屬于簡(jiǎn)單例用，只是稍加難度，以y為主元會(huì)使原式極其煩瑣,而以x為主元的話，原式的難

6、度就大大降低了。原式=(y 1)2x4 2(y 1)2x2 16y 【主元法】,2 2222=(x y 2x y x 8y)(x 2) 【十子相乘法】可見，十字相乘十分重要。7】雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多。是用來分解形如ax2 bxy cy2 dx ey f的二次六項(xiàng)式在草稿紙上，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果 mq + np = b , pk + qj = e , mk + nj = d,即第1,2列 和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則原式=(mx + py + j)( nx + qy + k)要訣：把缺少的一項(xiàng)當(dāng)作系數(shù)為

7、0, 0乘任何數(shù)得 0,例七：ab b2 a b 2分解因式解：原式= 0X1Xa2+ab + b2 + a b2=(0Xa+b+1) (a+b 2)=(b+ 1) ( a+ b 2)8】待定系數(shù)法將式子看成方程，將方程的解代入這時(shí)就要用到1】中提到的知識(shí)點(diǎn)了當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解 x=a時(shí)，該式分解后必有一個(gè) （x-a）因式廣2例八：x +x-2該題可以用十字相乘來做，這里介紹一種待定系數(shù)法我們可以把它當(dāng)方程做，x2 +x-2=0一眼看出，該方程有一根為x=1那么必有一因式為 （x-1）結(jié)合多項(xiàng)式展開原理，另一因式的常數(shù)必為2 （因?yàn)槌?1要為-2）一次項(xiàng)系數(shù)必為1 （因?yàn)榕c1相乘要為1）所以另

8、一因式為（x+2）分解為（x-1）（x+2）9列豎式讓人拍案叫絕的方法。原理和小學(xué)的除法差不多。要建立在待定系數(shù)法的方程法上不足的項(xiàng)要用0補(bǔ)除的時(shí)候，一定要讓第一項(xiàng)抵消例九：3x3 5x2 2分解因式提示：x=-1可以使該式=0,有因式（x+1 ）3ka2+Ek-2741.3k 3+5x2- 23«rt 343k2k 2-Z-2x26-'那么該式分解為(x+1) ( 3x2 +2x-2)因式分解還有許多方法，只是不太常見，就不在此列舉了?？紤]到每種方法只有一個(gè)例題，下面提供一些題目，供大家練習(xí)。2 2(ab b) (a b)(a2 x2)2 4ax(x a)23 , 2 c

9、2, 2 22 33a b c 6a b c 9ab cxy+ 6- 2x- 3y 22(3a b)2 4(3a b)(a 3b) 4(a 3b)2(x+2)(x-3) + (x+2)(x+4)12xA2 -29x +15x(y + 2) x y 1,22,八 八4x 4xy y 4x 2y 34322x 13x20x11x 22x2 7xy 22y2 5x 35 y 3224m 8mn 3n24 n4n 155ax+5bx+3ay+3by212a b(x y) 4ab(y x)(x -1)2(3x -2) +(2 -3x)x2 11x+24y2 12y 28x2+4x 5y 3y 28y蚊子與牛一樣重從前有一只驕傲的蚊子，總認(rèn)為自己的體重和牛是一樣重。 有一天，它找到 了牛，并說出了體重一樣的理由。它認(rèn)為，可以設(shè)自己的體重為a,牛的體重為b, 則有：a2-2