歷年西安交通大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題及答案資料

1、西安交通大學考試題課 程概率論與數(shù)理統(tǒng)計(A)一、填空題(6 X4分=24分)1 .設 A、B、C是三個事件，且 P(A P(B) P(C) 0.25RAE) RBQ 0,RAQ 0.125則A, B, C至少有一個發(fā)生的概率為 .。2 .在一副撲克牌(52張)中任取4張，則4張牌花色全不相同的概率 為.3 .設總體X : N(0, 2),(Xi,X2,L X15)是來自X的簡單隨機樣本，則_222(Xi L X5 ) m 統(tǒng)計量Y 2-曾服從的分布是。X62 LX 1524 .設隨機變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，且已知E (X 1)(X 2)1,則 =o5 .設兩個隨機變量X與Y的方差分別為

2、25和36,相關系數(shù)為0.4,則D(X Y) ,D(X Y) o6 .參數(shù)估計是指，包括。兩種估計方式。二、(12分)兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率為0.03,第二臺出現(xiàn)廢品的概率為0.02,加工出來的零件放在一起，現(xiàn)已知第一臺 加工的零件比第二臺加工的零件多一倍。(1)求任意取出一個零件是合格品的概率是多少？(2)如果任取的零件是廢品，求它是由第二臺車床加工的概率。三、(12分)對敵方的防御工事進行100次轟炸，每次命中目標的炸彈數(shù) 是一個隨機變量，其期望值為 2,方差為1.69,求在100次轟炸中有180 到200顆炸彈命中目標的概率。四、（16分）設總體X的密度函數(shù)為、x

3、1,0 x 1f （X；）甘心，其中 0為未知參數(shù)，0, 其他（Xi,L ,Xn）為來自總體X的一個簡單隨機樣本。求（1） 的矩估計；（2） 的極大似然估計。五、（10分）設？是 的無偏估計量，證明：若 ？是 的均方相合估計, 則？一定是的相合估計。六、(12分)設隨機變量(，)的分布密度為3x,0 x 1,0 y xf (x, y)0,其它求的分布函數(shù)和概率密度。七、(14分)新舊兩個水稻品種進行對比試驗， 舊品種共分成25個小區(qū)， 平均產量Z 36.65kg ,樣本標準差G 2.32kg ；新品種共分成20個小 區(qū)，平均產量x2 37.35kg ,樣本標準差S2 1.89kg。問新品種是否

4、優(yōu)于舊品種？(0.05,并假定水稻產量服從正態(tài)分布)注：(1.8) 0.9641(2.0) 0.9772(1.54) 0.9394Fo.025(24,19)=2.45, F0.025(19,24)=2.331, F0.975(24,19)=0.429,F0.05(24,19)=2.11, F0.05(20,25)=2.01, Fo025(20,25)=2.3,k.05(25) 1.7081,t0.05 (20) 1.7247 ,t0.05(43) 1.681西安交通大學本科生課程考試試題標準答案與評分標準課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(A)課時：48考試時間：2007年7月9IF(5,10); 1

5、; 85,37;由樣本對總體中的未知參數(shù)填空題(24分)513或0.1055; 8 £進行估計，點估計，區(qū)間估計.二、設Ai =任意取出一個零件是第I臺機床生產的), (i=1,2)B=任意取出一個零件是2合格品 p(B)P(Ai)P(B|A) -(1 0.03) 1(1 0.02) 0.973 (6 分)i 13310.02 P(A2|B)2P(A2)P(B1A2)2310.25 (6 分)P(Ai)P(B |Ai)0.030.02i133三、令第i次轟炸命中目標的炸彈數(shù)為X , 100次轟炸中命中目標的炸彈數(shù)為100。由XXi 1獨立同分布中心極限定理知，X近似服從N(n ,n

6、2)。 (5分)代入已知數(shù)據(jù)，即 x : N (200,169)，所求概率為2013180 200 X 200 220 20020 X 200P 180 X 200 P . P 169169.1691313(1.54)( 1,54) = 0.9394- ( 1-0.9394) = 0.8764 (7 分)四、(1) EX xf(x)dx 一 x 1dx. x dx 二00,1_2令EX X ,即 X，得/ ，故 的矩估計為$X_(6分)n(2)似然函數(shù)為L( )f(xk;)k 1n_- xk ,0xk 1(k 1,L ,n),k 10,其它n n21八xk,0k 1人 1(k 1，L，n)，當

7、 0xk1(k 1,L ,n)0,其它時，ln L()dln L()dn nln (1 1) In xk,求導得似然方程2k 10其唯一解為，故的極大似然估優(yōu)于(InxQ2舊品種。(7分)2計為$ (10分)2(In xk) k 10 (5 分)五、由題知 E(7)，且？ L2，故 D(?) E(? e(3)2 E(? )2 P由切比雪夫不等式得,六、F (z) P(p ? e(3D(今20(5分)當 z<0 時，F(xiàn) (z)z)xf (x, y)dxdyy z0,當03xdxdy11 時，F(xiàn) (z)0 3xdxx0dy3 z213x2dx1 (8分)32f (z) F (z)(4分)-(

8、1 z2),0 z 10,其它七、兩個總體方差未知，先檢驗它們是否相等，令2 ,選取檢驗統(tǒng)計量FS2在Ho成立前提下,F ： F(n1 1,n2 1), n=25, n2=20,查表得Fo.025(24,19)=2.45, F 0.975(24,19)=0.429,F的觀察值2.3221.892221.507 (0.429,2.45),故接受 h0,即認為；的條件下，進一步檢驗假設:Hi：2。選取檢驗統(tǒng)計量TX1 X2(7分)(n1 1)S12 (n2 1)S2 .1 11n1 n2 1必 n2在Ho成立前提下，T : t(n1 n2 2)。查表得t (n1 n2 2)35.65 37.352

9、.1411 1 25 20to.05 (43)1.681，而T的樣本觀察值為2 6471 681，故拒絕Ho，即認為新品種西安交通大學考試題課 程概率論與數(shù)理統(tǒng)計（A）卷題 號一二三四五六七八得分、填空：（4*8=32分）（注：答案寫在答題紙上）1、已知 PA 0.3, PB 0.4 , P A B 0.5,PBAUB5 2、設 XB2, p,YB3, p,若 PX 1,則 PY 1 93、10個人在第一層進入十八層樓的電梯，假如每個人以相同的概率從任 一層走出電梯（從第二層開始），則此10個人在不同樓層走出電梯的概4、設隨機變量X服從參數(shù)為 2的指數(shù)分布，Y 1e 2X的概率密度設二維隨機變

10、量（X,Y）的聯(lián)合度函數(shù)為：f (x, y)4xy, 0 x 1,0 y 10,其它則P(XY)6、已知 r.v.X,Y,Z 有 E(X) E(Y) 1, E(Z)1,_2_2_2_1E(X ) E(Y ) E(Z ) 2, x,y 0; x,z 2Y,Z貝 UCov(2XY,3Z X)7、設(Xi,X2 ,，Xn ）為來自正態(tài)總體XN0, 2的一個樣本,則12nnXii 18、寫出兩個正態(tài)總體在均值1, 2未知時的方差比得置信度為1 的置信區(qū)間。二、（12分）某工廠有四條流水線生產同一種產品，該四條流水線的產量分 別占總產量的15%、20%、30%、35%,又這四條流水線的不合格品率依次為

11、0.05、0.04、0.03及0.02 ,現(xiàn)在從該廠產品中任取一件，問恰好抽到不合格 品的概率為多少？該不合格品是由第四條流水線上產的概率為多少？三、（10分）設顧客在某銀行窗口等待服務的時間 X （以分計）服從指數(shù)分1 x布，其概率密度為：fx（x） 5e5 x 0,某顧客在窗口等待服務，若超過0 其它10分鐘他就離開，他一個月要到銀行 5次，以Y表示他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布，并求P Y 1 0四、（10分）在一個有n個人參加的晚會上，每個人帶了一件禮物，且假定 各人帶的禮物都不相同，晚會期間各人從放在一起的n件禮物中隨機抽取一件，試求選中自己禮物的人數(shù) X的均值與方差。

12、五、（8分）五個獨立元件，壽命分別為XX2,L ,X5,都服從參數(shù)為 的指數(shù) 分布，若將它們串聯(lián)成整機，求整機壽命的分布密度。六、（8分）某汽車銷售點每天出售的汽車數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布。若一年365天都經營汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨立的， 求一年中 售出700輛以上汽車的概率。1 0£1，又時的矩估計量和極大似r、七、（10分）設總體X的密度函數(shù)為f x; ' x0X2 ,，Xn）是取自總體X的一個樣本，求未知參數(shù)然估計量。八、（10分）某校為評估教學改革后教學質量情況， 分別在2005年，2008 年舉行兩次高數(shù)考試，考生是從該校大一學生中隨機抽取， 每次10

13、0個。兩次 考試的平均得分分別為 63.5、67.0。假定兩次高數(shù)考試成績服從正態(tài)分布0.05檢驗該校高N( 1, i2)、N( 2, f),12.1,22.2;對顯著水平數(shù)成績有無提高。附表：(1.11) 0.8665;(1.64) 0.95。(答案可寫在背面)西安交通大學本科生課程考試試題標準答案與評分標準課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計（A） 課時：48考試時間：2008年7月9日、填空:1、(每空4分)192、7、8、27S123、PC。1710S2 F /2 (n1 1,n2S12U(0,1)5、6、二、設 Ai p(A)第i條流水線生產的產品，0.15； p(A2) 0.20; p(A3

14、)1)'S2 F1 /2(ni1,n2 1)i 1,2,3,4 ； B抽到不合格品0.30; p(A4)0.35p(B|A) 0.05;p(B|A2) 0.04;p(B|Q) 0.03;p(B| A4) 0.024(4分)(1)p(B)p(A)P(BA) 0.0315(8分)三、Q故丫 ：四、設_ 2E(X )P(A4 B)1p(A4)p(B A)4p(A)p(B|A)i 1、，1、X ： exp(), 5P(X 10)B(5,eXi2)，1E(X)n1 一, nP(Y 1) 10.222210 f(x)dxP(Y 0)101oe 5dx e5(1 e2)5 0.5167X101/ n

15、1 1/ n1第i人取到自己的禮物 第i人沒取到自己的禮物i1,2 ,.,nnE(X)E(XiXj)(12 分)(5分(10 分)(3分)E(Xi)；i, j1,2,L(6分)XiXj10P1 n(n 1)1 . n(n 1),nn(n 1)_ 2E(Xi )2 nn2E Xi E X；n2 XiXj1 i j ni 1i 1nE(X2) 2E(XiXj)i 11 i j n12 n 1n 1 i j n n(n 1)n 1 2 C； 12n n(n 1)D(X) E(X2) E2(X) 1五、設整機壽命為 N , Nmin Xkk 1,2,L ,5"5Fn(x) 1(1k 1fN(

16、x)5 xFk(x；0,5 e 5 x, x 0,0, 其它，x 0,其它，即 N : exp(5 )六、設Xi為第i天出售的汽車數(shù)，i 1,L ,365, 365一年銷售汽車為X Xi i 1E(Xi)2;D(Xi) 2;P(X700) 1 F (700)nXi & N (365 2,365 2)i 1700 365 2()1( 1.11)、,365 2七、QL()ln L(d ln L(dE(X)xf (x)dx1)n ln2n n 2(n1)i 1n極大似然估計量 _ 1X)1ln xiln xi02nn2ln Xii 1八、要檢驗的假設為H0: 120, Hi： 120 X 丫

17、檢驗用的統(tǒng)計量U , N (0,1),2212 n1n2拒絕域為 U uU0.951.64.U63.5 67.011.511.64,落在拒絕域內,2.122.22100 100故拒絕原假設H 0 ,該校高數(shù)成績有提高（10 分）（3分）（6分）（8分）（2分）（4分）0.8665（8 分）（2分）（4分）（6分）（8分）（10 分）（2分）（4分）（6分）（8分）（10 分）成績西安交通大學考試題課 程概率論與數(shù)理統(tǒng)計(A)卷學 院專業(yè)班號 考試日期 2009年1月7日姓 名 學號 期末題 號一二三四五六七八得分一、填空題(每小題3分，共24分)1.設事件 A,B互不相容，且 P(A) 0.3

18、, P(B) 0.6,則 P(B| A) 1 “2,若在區(qū)間(0, 1)內任取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于- ”的概率為2-3 .設隨機變量X服從均值為2、方差為2的正態(tài)分布，且P(2 X 4) 0.3, 則 P(X 0) 4 .隨機變量X,Y相互獨立且服從同一分布，P(X k) P(Y k) (k 1)/3, k 0, 1 ,則 P(X Y) 5 .設隨機變量X的密度函數(shù)為fX(x)，則Y=eX的密度函數(shù)是 6 .設隨機變量 X ,Y的相關系數(shù) xy 0.5, E(X) E(Y) 0,E(X2) E(Y2) 2, 則 E( X Y)2X X.7 .設(X1,X2,X3,X4)為總體X: N

19、(0,1)的樣本，則 | 34 - ,；x2 x28 .設(Xi,X2L L ,X9)是來自正態(tài)總體N( ,0.92)的樣本，已知x 5,則 的置 信度為0.95的置信區(qū)間為 二、（10分）某卡車為鄉(xiāng)村小學運送書籍，共裝有 10個紙箱，其中5箱英語 書、2箱數(shù)學書、3箱語文書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn) 從剩下9箱中任意打開兩箱，結果都是英語書，求丟失的一箱也是英語書的概 率.三、（12分）某設備由n個部件構成。在設備運轉中第i個部件需要調整的概 率為Pi（0 Pi 1）, i 1,2,L ,n.設各部件的狀態(tài)相互獨立，以 X表示在設備運 轉中同時需要調整的部件數(shù)，求 E（X

20、）和D（X）.四、（12分）設二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)求（1）常數(shù)c ;cx, 0 x y 1f（X，y） 0,其他'X,Y的邊緣密度函數(shù);(3) P(X Y 1).五、（10分）某種商品各周的需求量是相互獨立的隨機變量。已知該商品第一周的需求量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，第二周的需求量服從參數(shù)為的指數(shù)分布（）,試求兩周總需求量的分布函數(shù)和密度函數(shù).六、（10分）某供電站供應本地區(qū)一萬戶居民用電，已知每戶每天用電量（單位：度）均勻分布于區(qū)間0, 12上?，F(xiàn)要求以99%的概率保證本地區(qū)居民 的正常用電，問供電站每天至少要向居民供應多少度電？（用中心極限定理近似 計算，已知（2.33

21、） 0.99.）七、(12分)已知總體X的分布函數(shù)為1 e (x ) x F(x)( R),0x其中 為未知參數(shù).(Xi,XzL L ,Xn)是來自總體的一組樣本.(1)求 的矩估計量？，它是否是 的無偏估計？(2)求 的極大似然估計量，它是否是 的無偏估計?八、(10分)機器自動包裝食鹽，設每袋鹽的凈重服從正態(tài)分布，規(guī)定每袋鹽的標準重量為500克，標準差不能超過10克.某大開工后，為了檢驗機 器是否正常工作，從已經包裝好的食鹽中隨機取9袋，測得 x 499, s2 16.032.問這天自動包裝機工作是否正常.(0.05) ?(附表:t0.05(8)1.8595, t0.025(8)2.306

22、 ,0.05 (8) 15.507,0.0252(8) 17.535 )西安交通大學本科生課程考試試題標準答案與評分標準(A)課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計課時：48考試時間：2009年1月7日、1.2.6. 6 ;7. t(2) ;8.二、解5.八、1八3. 0.2 ;4. 一 ；5. f (ln y) , y 0 ;9y(5 0.3u0.025,5 0.3U0.025)亶(4.815,5.585)用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用Bk表示丟失的一箱為第 k箱,1,2,3分別表示英語書，數(shù)學書，語文書 .31 CP(A)P(Bk)P(A Bk) 一一k 12 CP(Bi A) P(B)P(A

23、 Bi)/P(A)2392101 C：2 C92/P(A)C；C9336836(5分)三、解引入隨機變量xi第i個部件需調整第i個部件不需調整Xi,X2,L ,Xn相互獨立,E(X)nE(i 1 nE(Xi)nXi)四、解:(1)(2)0 xP(X五、解D(X)Pi ,E(Xi)D(Xi) Pi(1 nPii 1 nD( Xi)i 1f (x, y)dxdy1 時 fx(x)1 時，fY(y)D(Xi)11Pi(1Pi)1cxdx dyx16xdy xy6xdx06x(1 x)，故fx(x)3y2,故 fY(y)8336 8(5分)i 1,2,L n ,則c=63y2 01/ 21 x1/2Y

24、 1)0 6xdx * dy 0 6x(1 2x)dx設第一周和第二周的需求量分別是f (x, y)Xii 1,2,L(6分)(6分)(3分)當 z 0時，F(xiàn)z(z) 0,當 z 0時,6x(1 0x)其他14其他(3分)(3分)(3分)X,Y ,則(X,Y)聯(lián)合密度函數(shù)是y)x 0, y 0其它z(z x)Fz(z)P(X Y z) ° e xdx ° e ydy 1(7分)所以兩周需求量的分布密度為fZ(z) FZ(z)z _ zx(e e ),(3分)0,六、解 設Xi為第i戶居民每天的用電量，X1,X2,L ,X10000獨立同分布,Xi -U(0,12),E(Xi

25、) 6, D(Xi) 12 , i 1,2, L ,10000 .10000設供電站每天要向居民供電的量為N,居民每天用電量為 Y X則由題意有(5分)P(Y N) 0.99由獨立同分布的中心極限定理，所求概率為P(Y N) PY 10000 6 N 10000 6100 12N 10000 6 =0.99100、12100.12N 10000 6N 10000 6100.12七、解總體X的密度函數(shù)為 f(x)100. 12e (x)2.33.故 N=60403.6 (度)R)(5分)(1) EX(x xe)dx的矩估計量為因 E(?)E(X1),所以？是的無偏估計.(4分)(2)似然函數(shù)為L

26、(f(Xi;)n(Xi 1Xi1,2,L n因0,所以1( d)單調增加，注意到Xi1,2,L n ,因此當 取(Xi,X2L L ,Xn)中最小值時，L()取最大，所以* _ _min Xi,X2L L ,Xn的極大似然估計量為(4分)Z minX1,XzL L , Xn分布函數(shù)是 F(z)1 (1 FX(z)n,分布密度是fZ(z)n(xneR)因EZn (xnxe)dxminX1,X2L L, Xn不是的無偏估計(4分)八、解:(1) Ho：500 H1:500.若Ho成立，統(tǒng)計量T X 500S/3 t(8).4 X 500為| t (8)S/32to.025(8)2.306 .代入數(shù)

27、據(jù)觀察值To(5分)2(2) Ho： 2 100, Hi : 2 100.由 Hi 知，拒絕域為91002.由8S222(8)知,2取2.05(8) 15.507,代入數(shù)據(jù)得 .-20.56,故應拒絕100(或先做(2),則(1)可不必做。)Ho(5分)3一0.187故接受Ho.16.03西安交通大學考試題課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計(A)成績考試日期 2009 年7月 17日系別專業(yè)班號姓名、填空：(4*8=32分)(注：答案寫在答題紙上)1,111、已知 P(A) P(B A) - , P(A B),則 P(AB) 5432 i2、設隨機變量X的分布律為P X i c - , 1,2,3。則常數(shù)c

28、33、設隨機變量 X具有概率密度fX(x),則Y X2的概率密度fY(x)4、設二維隨機變量(X , Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為:x 0 x 1,0 y 2 ,f (x,y)3'',則 P(X Y 1) 。0其它5、設隨機變量X : P(),且已知E (X 2)(X 3)2,則 。6、設(X,Y)服從G (x,y)0 x 2,0 y 1上的均勻分布，則 X和Y的邊緣密度 函數(shù) fX(x) , fY(x) 。7、設(Xi,X2，Xn)為來自總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布的樣本，則 X的數(shù)學期望與方差, 。8、設總體X服從以 (0)為參數(shù)的指數(shù)分布，(Xi, X2,，Xn)為其一個樣本，求該樣

29、本的聯(lián)合密度函數(shù) 。 1二、（10分）設甲、乙、丙三個地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個地區(qū)感染此病的比例分別為 、7111、lo現(xiàn)從這三個地區(qū)任抽取一個人，54（1）求此人感染此病的概率。（2）若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率。三、（10分）設隨機變量 X與Y的在以點（0,1）、（1,0）、（1,1）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求U X Y的密度函數(shù)。四、（10分）設隨機變量 X的密度函數(shù)為：f（x） -eH, x 。2（1）求Cov（XX|）,并問X,|X|是否不相關； X,|X|是否相互獨立，為什么?五、（10分）、設X1,X2,L ,X5是獨立同分布的隨機變量，其共同密度函數(shù)為:2

30、x 0 x 1f （x）甘，試求Y max（Xi,X2,L ,X5）的數(shù)學期望和方差。0 其它六、（10分）銀行為支付某日即將到期的債券須準備一筆現(xiàn)金，已知這批債券共發(fā)放了500張，每張須付本息1000元，設持券人（1人1券）到期日到銀行領取本息的概率為0.4 ,問銀行于該日應準備多少現(xiàn)金才能以99.9%的把握滿足客戶的兌換。（3.01） 0.9990,七、（10分）設（X1,X2,L ,Xn）為取自總體X的樣本?？傮w X的密度函數(shù)為f （x；） 2nX 2（1）試證 Qn）；（2）試求的1 a置信區(qū)間。八、（8分）某超市為增加銷售，對營銷方式、管理人員等進行了一系列調整，調整后隨機2抽查了

31、9天的日銷售額（單位：萬兀），經計算知X 54.5,S 11.13。據(jù)統(tǒng)計調整前的日平均銷售額為51.2萬元，假定日銷售額服從正態(tài)分布。試問調整措施的效果是否顯著？（0.05）附表：t0.05（8） 1.8595, t0.025（8） 2.3060。西安交通大學本科生課程考試試題標準答案與評分標準（A）課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計 課時：48考試時間：2009年7月17日、填空：（每空4分）1、3、5、72、10 fx( y) fx(y) y 0fY(y)2 y40y 01 0x2,、26、fx(x)2fy(y)0 其它273865721 0 y 10 其它7、1E(X) 1D(X)8、f(X1,X2L ,Xn)ne (X1 x2 L %) Xi0,i 1,2,L ,n0其它、設A 第i個地區(qū)，i 1,2,3； B 感染此病111P(A).;p(A2) &p(A3)&333P(B|A) 1；p(b|a2) 1；p(b|a3) 1754383(1) p(B) P(A)P(BA) 0.198 i 1420(2) p(A2|B) 3P(A2)p(bA2)28 0.337 p(A)p(b|a) 83i 1（