數(shù)列求和常見的種方法

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7 種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和）利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位 . 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個歷屆高考數(shù)學和數(shù)學競賽試題來談談數(shù)列求和的基本方法和技巧 .一、利用常用求和公式求和利用下列常

2、用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1、 等差數(shù)列求和公式：Snn(a1an )na1n(n1) d22na1( q1)2、等比數(shù)列求和公式：Sna1 (1qn )a1an q(q1)1q1qn1n(nn1n(n 1)( 2n3、 Snk1)4、 Snk21)k12k 16例1 已知 log3x1，求 xx2x3xn的前 n 項和 .log 2 3解：由 log 3 x1log3 xlog 3 21xlog 2 32由等比數(shù)列求和公式得Snxx2x 3x n（利用常用公式）11x(1xn ) 2(12 n ) 1 11x112n2例 2Sn 1+2+3+ +n n N* , f (n

3、)(nSn.32)Sn 1Sn1n(n1)Sn1 (n1)(n 2)（利用常用公22式）f (n)Snn(n32) Sn 134n64n211164850n34( n)250nnn8n 8f (n)max1850na n· bnn a n b n .例 3Sn13x5x27x3(2n1) xn1(2n1)x n1 2n 1 xn1 xSn1x3x25x 37x 4(2n1) xn .（設制錯位）(1x) Sn12x2x 22x32x 42xn1(2n1) xn（錯位相減(1x) Sn12x1x n1(2n 1) xn1xSn(2n 1) xn 1(2n 1)xn(1 x)(1x) 2

4、246,2n,例 4,22 ,23 ,2nn.22n12n2n2nSn2462n222232n12462n（設制錯Sn2223242n 12位）(11 )Sn222222n（錯位相22 2223242 n2n 1減Snn242n1nn (a1an ) .例 5Cn03C n15C n2(2n 1)C nn(n 1) 2nSnCn03C n15C n2(2n1)C nn.S(2n1)C n(2n1)C n 13C 1C 0（反nnnnn序）CnmCnnmS(2n1)C0(2n1)C13C n1C n.nnnnn+2Sn(2n2)(C n0C n1C nn1C nn ) 2(n1)2n（反序相加）

5、S(n1)2nn例 6sin2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 .Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1.（反序）sin xcos(90x), sin 2 x cos2 x 1+（反序相加）2S(sin 2 1cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89S 44.5題 1已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值 .解：（ 1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（ 2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結(jié)

6、論可知，兩式相加得：所以.練習、求值：四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.n 項和： 114,17,13n2 ，例 7求數(shù)列的前1,2,n 1aaa解：設 Sn(11)( 14)( 127)(1n 13n2)aaa將其每一項拆開再重新組合得Sn(1111473n2)aa2an 1 ) (1（分組）當 a 1時， Snn(3n1)n(3n1)n22和）11(3n1) naa1 n(3n 1)n當 a1 時， Sna n11212aa例 8求數(shù)列 n(n+1)(2n+1) 的前 n 項和 .

7、解：設 akk(k1)(2k1)2k 33k2knn Snk (k1)( 2k1)(2k 33k 2k )k 1k1將其每一項拆開再重新組合得nk 3nk 2nkSn 23k1k1k 1（分組求（分組） 2(1323n3 ) 3(1222n2 ) (1 2n)n2 (n 1)2n( n 1)(2n1)n(n 1)（分組求222和）n( n1)2 (n2)2五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解 （裂項） 如：（ 1） anf (n1)f (n)（ 2）sin 1tan(n

8、1)tan ncos(n1)cosn（ 3） an11)11（ 4） an(2n( 2n) 211 (11)n(nnn 11)( 2n1)2 2n 12n1（ 5） ann(n12)1 1(n12)1)(n2n( n1)1)( n(6) ann 212(n 1) n 111, 則 Sn11n(n 1) 2nn(n 1)2nn 2 n 1(n 1)2 n(n 1)2n（ 7） an1111)( AnB)( AnC )CB(BAnAnC（ 8） a1n1nnnn1例 9 求數(shù)列1,1,1,的前 n 項和 .12n 123n解：設 an1n1n（裂nn1項）則 Sn111（裂項求223nn11和）

9、( 21) (32)( n 1n)n11例 10在數(shù)列 a n 中， an12n，又 bn2，求數(shù)列 b n 的前 n 項的n 1 n 1n 1anan 1和.解： an12nnn1n1n 12 bn211n n18(n)（裂n122項）數(shù)列 b n 的前 n 項和Sn8(11 )( 11)( 11 )( 11)（裂項求22334nn 1和） 8(11)8nn1n1例 11求證：111cos1cos0cos1cos1 cos2cos88cos89sin 2 1解：設 S111cos0cos1cos1 cos2cos88cos89sin1tan(n 1)tan n（裂cos(n1)cos n項）

10、 S111（裂項cos0cos1cos1 cos2cos88 cos89求和）1(tan 1tan 0 )(tan 2tan 1 )(tan 3tan 2) tan 89tan 88 sin 111cot 1cos1(tan 89tan 0 ) 2 1sin1sin 1sin原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 12求 cos1° + cos2° + cos3° + ··· + cos178 °

11、 + cos179°的值 .解：設Sn cos1° + cos2° + cos3°+ ··· + cos178 ° + cos179 °cosncos(180n )（找特殊性質(zhì)項） Sn （ cos1° + cos179 °） +（ cos2° + cos178 °） + （ cos3° + cos177 °） +···+（ cos89° + cos91°）+ cos90 °（合并求和）

12、 0例 13數(shù)列 a n ： a1 1, a23, a32, an 2an 1an ，求 S2002.解：設 S2002 a1a2a3a2002由 a11, a23, a32, an 2an 1an 可得 a6 k 1a6k2a6k 3a6k 4a6 k 5a6 k 6 0（找特殊性質(zhì)項）S2002 a1a2a3a2002（合并求和）(a1a2 a3a6 ) ( a7 a8a12 )(a6k 1 a6k 2a6k 6 ) a1999a2000 a2001 a2002 a6k 1a6k 2 a6k 3 a6 k 45例 14在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5 a69, 求 log 3 a1log

13、 3 a2log 3 a10 的值 .解：設 Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì)mnpqam anap aq（找特殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì)log a Mlog a Nlog a MN得Sn(log 3 a1log 3 a10 )(log 3 a2log 3 a9 )(log 3 a5log 3 a6 )（合并求和） (log 3 a1 a10 )(log 3 a2a9 )(log 3 a5 a6 ) log 3 9log 3 9log 3 9 10七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來

14、求數(shù)列的前n 項和，是一個重要的方法.例 15求 111 1111111之和 .n個1解：由于 1111199991 (10k1)（找通項及特k個19k個19征） 111 1111111n個1 1 (1011)1 (1021)1 (1031)1 (10n1)（分組求9999和） 1 (10110210310 n )1 (11 11)99n個1110(10n1)n101991n 1(10109n)例 16 已知數(shù)列 a n ： an8,求(n1)(anan 1 ) 的值 .1)(n(n3)n 1解：(n1)(anan 1 )8(n1)11（找通項及特(n 1)(n3)(n2)(n 4)征） 8 11（設制分( n2)( n4)(n3)(n4)組） 4(11)8 (11（裂2nn3n)n44項）(n1)(anan 1 )4(11)8(11)（分組、裂項求n 1n 1 n2 n 4n 1 n3 n 4和） 4(11 )81133443提高練習 ：1 已知數(shù)列 an中， Sn 是其前 n 項和，并且Sn 14an2(n1,2,), a