三角形邊角關(guān)系

1、三角形的角平分線的定義三角形的角平分線的定義 以前所學(xué)的以前所學(xué)的“角平分線角平分線”是一條射線，是一條射線，“三角形的三角形的角平分線角平分線”還是射線還是射線 嗎嗎? B A 1 2 D 1 = =2 C 三角形的角平分線三角形的角平分線 三角形中，一個三角形中，一個 角的平分線與這個角的對邊相交，角的平分線與這個角的對邊相交， 頂點與交點之間的線段頂點與交點之間的線段 , , 叫做三角形的角平分線。叫做三角形的角平分線。 注意注意 ! ! A “ 三角形的角平分線三角形的角平分線”是一條線段是一條線段。 AD是是 ABC的角平分線的角平分線 B BAC BAD = CAD = 1 2 D

2、 C 思考：思考： 一個三角形有幾條角平分線？一個三角形有幾條角平分線？ 三角形的角平分線的畫法三角形的角平分線的畫法 在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設(shè)法畫在一張薄紙上任意畫一個三角形，你能設(shè)法畫出它的一個內(nèi)角的平分線嗎出它的一個內(nèi)角的平分線嗎 ? A 1、利用利用量角器量角器可以畫出三角形可以畫出三角形的角平分線的角平分線. 2 、用、用圓規(guī)圓規(guī)畫。畫。 B 3 、通過折紙的方法得到它。、通過折紙的方法得到它。 C C D 在一張紙上畫出一個三角在一張紙上畫出一個三角形并剪下，將它的一個角對形并剪下，將它的一個角對折，使其兩邊重合折，使其兩邊重合 A 折痕折痕AD即為三角形的即為三角形的

3、A的角平分線。的角平分線。 B 三角形的角平分線三角形的角平分線 每人準(zhǔn)備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形每人準(zhǔn)備銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形紙片各一個。紙片各一個。 (1) 分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎分別畫出這三個三角形的三條角平分線嗎 ? (2) 在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣在每個三角形中，這三條角平分線之間有怎樣的的位置關(guān)系位置關(guān)系? 三角形的三條角平分線交于同一點三角形的三條角平分線交于同一點 . 練習(xí)：練習(xí)： BE是是ABC的角平分線的角平分線 A 1ABC ABE CBE _=_= _ 2CF是是ABC的角平分線的角平分線 F O D E B ACF

4、BCF ACB=2_=2_ C ? 三角形的角平分線與角三角形的角平分線與角的平分線有什么區(qū)別的平分線有什么區(qū)別？ 三角形的角平分線是一條線段三角形的角平分線是一條線段 , , 角角的平分線是一條射線的平分線是一條射線 . . 思思考考 三角形的中線三角形的中線 叫做這個三角形這邊的中線叫做這個三角形這邊的中線. . A F O 頂點與它對邊中點的線段頂點與它對邊中點的線段, ,在在三角形中三角形中, ,連接一個連接一個 三角形中線的理解三角形中線的理解 AD是是 ABC的中線的中線 1 BD=CD= BC 2 E C B D “ 三角形的中線三角形的中線”也是一條線段。也是一條線段。 任意畫

5、一個三角形任意畫一個三角形,然后利用然后利用刻度尺刻度尺畫出畫出 這個三角形三條邊的中線這個三角形三條邊的中線. 三角形的重心三角形的重心 三角形的三條中線的交點三角形的三條中線的交點 . . (1)(1) 銳角三角形的三條中線交于一點銳角三角形的三條中線交于一點 . . (2) (2) 鈍角三角形和直角三角形的三條中線也交于鈍角三角形和直角三角形的三條中線也交于一點。一點。 觀察這些交點的位置，你發(fā)現(xiàn)了什么？觀察這些交點的位置，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 三角形的三條中線交于一點，且交點都在三三角形的三條中線交于一點，且交點都在三角形內(nèi)部角形內(nèi)部. . 練習(xí)：練習(xí)： 如圖，如圖，AD、BE 為為ABC的

6、中線且交于點的中線且交于點O。 1 1、若、若AB=5cm=5cm，BC=6cm,=6cm,AC=4cm,=4cm,則則BD= =（ ）AE= =（ ） 2 2、若、若SABCABC=12c=12cA F E O D C ，則，則SABEABE= =（ ） 由（由（2）你發(fā)現(xiàn)了什么？）你發(fā)現(xiàn)了什么？ 三角形的一條中線將這個三角形的一條中線將這個三角形分成面積相等的兩個三角形分成面積相等的兩個三角形三角形 一塊三角形的煎餅，要把一塊三角形的煎餅，要把它分成大小相同的它分成大小相同的6塊應(yīng)怎樣分塊應(yīng)怎樣分?你有多少種分法你有多少種分法?如果限定只能如果限定只能切三刀呢切三刀呢? B 三角形的高三角

7、形的高 “ 三角形的高三角形的高”也是一條線段也是一條線段。 從三角形的一個頂點從三角形的一個頂點 A 向它的對邊向它的對邊 所在直線作垂線，所在直線作垂線， 0 1 2 3 4 5 B 如右圖如右圖, 線段線段AD是是BC邊上的高邊上的高. 注意注意 ! ! 你還能畫出一條高來嗎？你還能畫出一條高來嗎？ 標(biāo)明垂直的記號標(biāo)明垂直的記號 當(dāng)然可以，一個三角形有當(dāng)然可以，一個三角形有和垂足的字母和垂足的字母 三個頂點，應(yīng)該有三個頂點，應(yīng)該有三條高三條高 0 1 2 3 4 5 頂點頂點 和和垂足垂足 之間的線段之間的線段 叫做叫做三角形的高線三角形的高線， 簡稱簡稱三角形的高。三角形的高。 D C

8、 銳角三角形的三條高銳角三角形的三條高 對這三條高的位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？對這三條高的位置，你有什么發(fā)現(xiàn)？將你的發(fā)現(xiàn)與同伴進行交流將你的發(fā)現(xiàn)與同伴進行交流 . . 銳角三角形的三條高銳角三角形的三條高 都在三角形的內(nèi)部都在三角形的內(nèi)部 銳角三角形的三條高交于同一點銳角三角形的三條高交于同一點 你能用其他辦法得到它們嗎你能用其他辦法得到它們嗎 ? 使折痕過頂點，頂使折痕過頂點，頂點的對邊邊緣重合點的對邊邊緣重合 做一做做一做 每人準(zhǔn)備一個銳角三角形紙片，畫出這個三角形的高每人準(zhǔn)備一個銳角三角形紙片，畫出這個三角形的高 O 直角三角形的三條高直角三角形的三條高 做一做做一做 在紙上畫出一個直角三角形

9、，畫出直角三角形的高在紙上畫出一個直角三角形，畫出直角三角形的高 對這三條高，你又有什么發(fā)現(xiàn)？將你對這三條高，你又有什么發(fā)現(xiàn)？將你A 的發(fā)現(xiàn)與同伴進行交流的發(fā)現(xiàn)與同伴進行交流 . . 直角三角形的三條高直角三角形的三條高交于直角頂點交于直角頂點. B 直角邊直角邊BC邊上的高是邊上的高是 ; AB邊邊 直角邊直角邊AB邊上的高是邊上的高是 ; BC邊邊 D C 鈍角三角形的三條高鈍角三角形的三條高 作作BC邊上的高，邊上的高， BC邊不邊不夠長怎么辦？夠長怎么辦？ 把把CB延長延長 為了便于畫出為了便于畫出AB邊上的高，邊上的高，需要把需要把AB延長延長 A 做一做做一做 在紙上畫出一個鈍角三

10、角形，畫出鈍角三角形的高在紙上畫出一個鈍角三角形，畫出鈍角三角形的高 F C E D B BC邊上的高是在三角形的內(nèi)邊上的高是在三角形的內(nèi)部還是外部部還是外部? AB邊上的高呢？邊上的高呢？ 外部外部 議一議議一議 鈍角三角形的三條高鈍角三角形的三條高 A F C 鈍角三角形的三條高鈍角三角形的三條高交于一點嗎？交于一點嗎？ 鈍角三角形的三條高：鈍角三角形的三條高：“誰誰說我們不交于一點，我們以說我們不交于一點，我們以自己的方式相交自己的方式相交” D B 鈍鈍 角三角形的三條角三角形的三條高不相交于一點高不相交于一點 O E 鈍角三角形的三條高所在直線鈍角三角形的三條高所在直線交于一點，交于

11、一點，交點在三角形外交點在三角形外 三角形的三條高的特性：三角形的三條高的特性： 銳角三角形銳角三角形 直角三角形直角三角形 鈍角三角形鈍角三角形 3 1 1 高在三角形內(nèi)部的數(shù)量高在三角形內(nèi)部的數(shù)量 相交相交相交相交不相交不相交高之間是否相交高之間是否相交 相交相交相交相交相交相交高所在的直線是否相交高所在的直線是否相交 三條高所在直線的三條高所在直線的 交點的位置交點的位置 三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部 直角頂點直角頂點 三角形外部三角形外部 三角形的三條高所三角形的三條高所在直線交于一點在直線交于一點 練習(xí)：練習(xí)： 1、如圖，、如圖，AD為為ABC的高，則的高，則ADB= 。 B A D C 2

12、、若一個三角形有高在它的外部，則、若一個三角形有高在它的外部，則這個三角形為（這個三角形為（ ） 3、下圖作三角形中的高正確的是（、下圖作三角形中的高正確的是（ ） A A C （1） B （2） A E F B C B （3） C D （4） 4.分別指出圖中分別指出圖中ABC 的三條高。的三條高。 A D B C 直角邊直角邊BC邊上的邊上的 高是高是 ; AB邊邊 直角邊直角邊AB邊上的邊上的 高是高是 ; CB邊邊 斜邊斜邊AC邊上的邊上的高是高是 ; BD A F D B C E AB邊上的高是邊上的高是 ; CE BC邊上的高是邊上的高是 ; AD CA邊上的高是邊上的高是 ; B

13、F 拓展練習(xí) 拓展練習(xí)拓展練習(xí)1 、下列各組圖形中，哪一組圖形中下列各組圖形中，哪一組圖形中 AD是是ABC 的高的高( ) D C A D C B (A) C B C A D (C) D (D) A D A (B) B B 2 、 如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是頂點，那么這個三角形是 （ B ） A.銳角三角形銳角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.鈍角三角形鈍角三角形 D.銳角三角形銳角三角形 3 、三角形的三條高相交于一點，此一點定在三角形的三條高相交于一點，此一點定在 （ D ） A. 三角形的內(nèi)部三角形

14、的內(nèi)部 B.三角形的外部三角形的外部 C.三角形的一條邊上三角形的一條邊上 D. 不能確定不能確定 4.4.如圖如圖, ,在在ABCABC中中, 1=2,G, 1=2,G為為ADAD中點中點, ,延長延長BGBG交交ACAC于于E,FE,F為為ABAB上一點上一點,CFAD,CFAD于于H,H,判斷下列判斷下列說法那些是正確的說法那些是正確的, ,哪些是錯誤的哪些是錯誤的. . A ADAD是是ABEABE的角平分線的角平分線( ) ( ) 2 1 BEBE是是ABDABD邊邊ADAD上的中線上的中線( ) ( ) E BEBE是是ABCABC邊邊ACAC上的中線上的中線( ) ( ) F H

15、 G CHCH是是ACDACD邊邊ADAD上的高上的高( ) ( ) B D C 三角形的高、中線與角平分線都是線段三角形的高、中線與角平分線都是線段 如圖，在如圖，在ABC中，中，BP、CP分別是分別是B、 C的平的平1分線，求證：分線，求證： BPC= 90? + A。 A 2證明：證明： BP、CP分別是分別是B、 C 的平分線的平分線(已知已知) P 1ABC 1 = 22 1 B C 1ACB ( )角平分線定義角平分線定義 2 = 2 BPC +1 + 2 = 180? ( 三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 ) A +ABC +ACB=180? ( 三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理

16、 ) 11ABC ACB ) BPC=180? (1 +2 = ) 180? ( + 221= 180? (ABC +ACB 211) = 180? (180? ?A = 90? + A. 思考題思考題(選做選做)： 王大爺有一塊三角形的王大爺有一塊三角形的菜地菜地, ,現(xiàn)在要將它們平均分給現(xiàn)在要將它們平均分給四個兒子四個兒子, ,在菜地的一角在菜地的一角A處處有一口池塘有一口池塘, ,為了使分開后的為了使分開后的四塊菜地都就近取水四塊菜地都就近取水 , ,王大爺王大爺為此很傷腦筋。你能想出什么為此很傷腦筋。你能想出什么辦法幫幫王大爺嗎？辦法幫幫王大爺嗎？ 如果不考慮水源如果不考慮水源, ,你認(rèn)為你認(rèn)為還可以怎樣分還可以怎樣分? ? A 與三角形有關(guān)的線段與三角形有關(guān)的線段 從三角形的一個頂點從三角形的一個頂點向它的對邊向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的所在直線作垂線