拓?fù)鋵W(xué)江輝有編答案

1、拓?fù)鋵W(xué)第一次作業(yè)參考解答2.1證明：只需驗(yàn)證滿足三條拓?fù)涔恚海?1）由的定義知，(,),(,) .（ 2）對(duì)于的任一子族(, a )，其中每個(gè)a. 如果存在0,a 0，則顯然(,). 否則若a :有上確界 a ，那么(, a)；若 a:沒有上確界，那么( ,). 總之，恒有.（3）設(shè) (, a),( , b)為任意兩個(gè)元素，則如果 a,b中至少有一個(gè)為，則 (,a) (, b).如果 a，則 (, a)(, b)(, b) .如果 a,b都是常數(shù)，不妨設(shè)ab ，則 (, a)(, b)(, a) .因此總有 (, a)(,b)成立 .因此，確實(shí)是上的一個(gè)拓?fù)?.2.2證明：設(shè)1 ,2 是集合

2、 X 上的兩個(gè)拓?fù)?，下面?yàn)證12 滿足三條拓?fù)涔恚海?1）由于1,2 ，故12 .同樣地，由于X1, X2，故 X12 .（2）設(shè) U是 12 的任一子族， 則 U是1 的子族，也是2 的子族 .由于1 ,2 是集合 X 上的兩個(gè)拓?fù)?，故U1 ，且U2 ，從而U12 .（3）設(shè) U ,V12，則 U,V1且U,V2. 由于 1,2 是集合 X 上的兩個(gè)拓?fù)?，故UV1 ，且 U V2，從而 UV12 .可見 12 滿足三條拓?fù)涔?，因此是X 上的一個(gè)拓?fù)?.但是， 12 卻未必是 X 上的一個(gè)拓?fù)?.例如，令 X0,1,2，并設(shè) 1,0 , X, 2,1,X.則不難驗(yàn)證，1 ,2 是集合 X

3、上的兩個(gè)拓?fù)?然而，12,0,1,X卻不是 X 上的一個(gè)拓?fù)?.因?yàn)?, 112 ，但是010,112.故12 不滿足拓?fù)涔恚?），因而不是拓?fù)?！?dāng)然，12 也有可能成為一個(gè)拓?fù)?，比如?dāng)12 時(shí)就可以 .1 / 52.3證明：若 xXB x0 ; ，則 d (x, x 0). 令d ( x, x0 )，則0. 于是為完成證明，只需證明 B(x,)B x0 ; . 事實(shí)上，若存在xB( x,)B x0 ; ，則由距離的三角不等式得22d ( x , x0 )d( x, x0 )d ( x , x)d (x, x0 )d( x, x0 ).2從而知，xB x0 ; ，矛盾！因此B(x,)B x0

4、;.這表明 x 是 XB x0 ; 的內(nèi)點(diǎn)，故由x 的任意性2XB x0 ; 是開集，從而B x0 ; 是閉集 .另一方面，若X，令 d :1 , d (x, x )0, xx，則不難驗(yàn)證 d 是 X 上的一個(gè)度量 .對(duì)于1,xx度量空間 (,d ) 、正數(shù)1 和實(shí)數(shù)0，容易看出有B0;1， B(0;1)0 , B(0;1)0. 可見此時(shí) B(x0 ;)B x0 ; 并不成立 .2.4證明：設(shè)xAB ，則 xA, x B. 由于 A 是開集，故AN ( x). 對(duì)于任一 UN ( x) ，也有UAN (x).故由 xB 及命題 2.4 可知， 必有 (UA)B，也即有 U(A B).由 U 的

5、任意性及命題2.4，可知有 xA B.再由 x 的任意性即知有ABAB.2.5證明：（充分性） 設(shè) X 的每個(gè)非空開子集與A 有非空的交， 則xX , UN ( x) ，都有 UA .由命題 2.4 知， xA. 于是由 x 的任意性知，有XAX，即AX.可見 A 是 X 的稠密子集 .（必要性）若 A 是拓?fù)淇臻g X 的稠密子集，則依定義有AX .于是對(duì)于 X 的每個(gè)非空開子集U ，任取 xU ，則 xA, UN ( x) ，由命題2.4 知，必有 UA.因此 X 的每個(gè)非空開子集與A 有非空的交 .2.6證明：設(shè) A 和 B 都是拓?fù)淇臻gX 的稠密子集，并且A 是開集，又設(shè) U 是 X 的

6、任一非空開集，則由A 的稠密性和習(xí)題2.5 的結(jié)論可知，AU.因?yàn)?A 是開集，故 AU 也是開集，再由B 的稠密性和習(xí)題 2.5的結(jié)論可知， (A U ) B，即 U(AB). 于是由 U 的任意性和習(xí)題 2.5 的結(jié)論可知，A B是 X 的稠密子集 .如果 A 不是開集，結(jié)論就未必正確了.比如，在實(shí)直線1 中，有理數(shù)集 Q 和無理數(shù)集 PQ 都是稠密子集，但是它們的交集PQ顯然不是稠密子集.2.7證明：設(shè)點(diǎn)列 xnx ，記 Axn n，則 A 是一個(gè)可數(shù)集，因此BxnA xnx 也是2 / 5可數(shù)集， 因此 UBN ( x) ，由收斂性定義， 存在正整數(shù) N ，當(dāng) nN 時(shí)， xnU .

7、因此當(dāng) nN 時(shí)，xnx.這是顯然的，由收斂性定義直接可知.2.8證明：（1） 設(shè) xA， 則n, B(x,)(Ax ).1因此可以取一個(gè)，B( x, 1 ) ( Anxnx ). 這個(gè)點(diǎn)列xn顯然滿足要求；反過來， 如果存在 A 中異于 x 的點(diǎn)列 xnn使得 lim d (x, xn )0.那么對(duì)于任一UN ( x) ，存在0 使得 B( x,)U ，同時(shí)存在自然數(shù)N ，當(dāng)nnN 時(shí)， d( x, xn )，從而 xnB( x, )U . 因此 xnU( Ax ) ，這表明 U( Ax ). 由聚點(diǎn)的定義可知，xA .（ 2）若 xAAA，則當(dāng) xA時(shí)，顯然 d( x, A)0 ；否則 x

8、A ，此時(shí)由（ 1）知，存在 A 中異于 x 的點(diǎn)列xn使得 lim d( x, xn )0.從而n0d (x, A)infd ( x , x): xAinfd( xn , x): n0.必有 d (x, A)0.因此 AxXd (x, A)0 .反 過 來 ， 如 果 xxXd( ,x A) 0 則.d (x, A)0.對(duì)于任一UN ( x)， 存 在0 使 得，而由d (x, A) 0知，存在 xA 使得d ( x, x )，從而 xUA. 故UA .由命題B( x, ) U2.4 知， xA. 因此也有 AxX d ( x, A) 0 .綜上可知， AxX d (x, A)0 . 解：對(duì)

9、于任一，取1，則顯然(0,1)(1,2,3, ) ，2.9y0,1xn2n(n1,2,3,)xnnarcsin y并且容易看出，d (0, y),( xn ,sin1 )( xn0)2(sin 1y) 2xn 0 （當(dāng) n時(shí)）xnxn因此由習(xí)題2.8 知， (0, y) AA. 取點(diǎn)列 xnn，則不難看出， xn(0,1) ，并且容易看出在2 中n1lim ( xn ,sin1 ) (1,sin1). 因此 (1,sin1)A.nxn此外，如果平面2 中的一個(gè)點(diǎn) ( x, y) 滿足下列三個(gè)條件之一：3 / 5 ysin1 x0, y0,1 ； y1(0,1.；sin, xxx則不難找到點(diǎn)(x

10、, y) 的一個(gè)鄰域 U使得 UA.因此最后可得：AA(0, y)1y 1(1,sin1).2.11證明：先證明是上的一個(gè)拓?fù)?，只需?yàn)證它滿足三條拓?fù)涔恚海?1）顯然， ,都滿足上述條件，因此,；（ 2）設(shè) U為的任一子族， 令 UU，若 n U ，則,nU. 由 U所滿足的條件知，n 的每個(gè)因數(shù)都在 U中，從而 n 的每個(gè)因數(shù)都在 U 中，故 U；（ 3）設(shè) U1,U 2，不妨設(shè) U 1U 2.若 nU1U 2 ，則 nU1 ，且 nU2 .由 U1,U2 所滿足的條件知， n 的每個(gè)因數(shù)都在 U1中，同時(shí)也都在 U 2 中，從而 n 的每個(gè)因數(shù)都在 U1U2 中，故 U1U 2.可見，滿

11、足三條拓?fù)涔恚虼耸巧系囊粋€(gè)拓?fù)?.因?yàn)?1是任何一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)，因此U,1U . 因此， 2 不是 中的開集 .由此可知，不是離散拓?fù)?.2.13證明：首先，由于AA總是成立的，故當(dāng)A是閉集時(shí)，必有AA.其 次 ，由于 AA，顯然也有 AA.因此自然地又有AA.故當(dāng)A是閉集時(shí)，AA.然而，下面這個(gè)例子表明，當(dāng)A不是閉集時(shí)，AA未必成立 .比如，在1 中，對(duì)每個(gè) n，令 An1,1 ，則Ann(0,1 0,1，然而An nn(0,1. 因此此時(shí)An nAn n. 2.17證明：（ 1）顯然只需證明兩個(gè)F集的交集還是F集就可以了 .設(shè) AEn , BFn 是任nn意兩個(gè) F集，其中每個(gè) En , Fn ( n) 都是閉集 .則4 / 5A BEnFn( EmFn ).nnm,n由于每個(gè)Fnm n) 都是閉集，故FEmAB 是集 .(,（ 2）顯然只需證明兩個(gè)G集的并集還是 G集就可以了 .設(shè) CU n , DVn是任意兩個(gè) Gnn集，其中每個(gè) U,V (n) 都是開集 .則nnC DU nVn(U mVn