33直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式精編版

1、3.3 3.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式距離公式 主要內(nèi)容 3.3.1 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 3.3.2 兩點(diǎn)間的距離 3.3.3 點(diǎn)到直線的距離 3.3.4兩條平行直線間的距離 3.3.1 3.3.1 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 一般地，若直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交點(diǎn)坐標(biāo)？ 用代數(shù)方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需寫出這兩條直線的方程，然后聯(lián)立求解 . 幾何概念與代數(shù)表示 幾何元素及關(guān)系幾何元素及關(guān)系 點(diǎn)點(diǎn)A A 直線直線l 點(diǎn)點(diǎn)A A在直線在直線l上上 代數(shù)表示代數(shù)表示 A(a,b)l : Ax?By?C?0A A

2、的坐標(biāo)滿足方程的坐標(biāo)滿足方程 l : Aa?Bb?C?0A A的坐標(biāo)是方程組的解的坐標(biāo)是方程組的解 直線直線l1 1與與l2 2的交點(diǎn)是的交點(diǎn)是A A ?A1x?B1y?C1?0?A2x?B2y?C2?0 對于兩條直線 l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0 和 , A1x?B1y?C1?0? 若方程組 ?A2x?B2y?C2?0 有唯一解，有無數(shù)組解，無解，則兩直線的有唯一解，有無數(shù)組解，無解，則兩直線的 位置關(guān)系如何？位置關(guān)系如何？ 兩直線有一個(gè)交點(diǎn)， 重合、平行 例1. 求下列兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) l1: 3x?4y?2?0l2:2x?y?2?0當(dāng)當(dāng)? ?變化時(shí)，方程

3、變化時(shí)，方程 3 x?4 y?2?(2 x?y?2)?0表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？ 表示的直線包括過交點(diǎn)表示的直線包括過交點(diǎn) M M（-2-2，2 2）的一族直線）的一族直線 例例2 2 判斷下列各對直線的位置關(guān)系，如果相交，判斷下列各對直線的位置關(guān)系，如果相交，求出其交點(diǎn)的坐標(biāo)求出其交點(diǎn)的坐標(biāo). l1：x?y?0,（1 1） 3 x?4 y?5?0,（3 3）l 1：l2：3 x?3 y?10?0;l2：6 x?8 y?10?0.l：6 x?2 y?1?0;l：3 x?y?4?0,2（2 2） 1 例例3 3 求經(jīng)過兩直線求經(jīng)過兩直線3x+2y+1=0 3x+2

4、y+1=0 和和 2x-3y+5=0 2x-3y+5=0的交的交點(diǎn)，且斜率為點(diǎn)，且斜率為3 3的直線方程的直線方程. . 例4.設(shè)直線y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交點(diǎn)P在第一象限，求k的取值范圍. y y B B o o P P A A x x 小結(jié) 1.求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 2.任意兩條直線可能只有一個(gè)公共點(diǎn)，也可能沒有公共點(diǎn)（平行） 3.任意給兩個(gè)直線方程，其對應(yīng)的方程組得解有三種可能可能： 1）有惟一解 2）無解 3）無數(shù)多解 4.直線族方程的應(yīng)用 作業(yè) P109 習(xí)題3.3A組：1，3，5. P110 習(xí)題3.3B組：1. 3.3.2 3.3.2 兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的

5、距離 已知平面上兩點(diǎn)已知平面上兩點(diǎn)P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，如何，如何點(diǎn)點(diǎn)P P1 1和和P P2 2的距離的距離|P|P1 1P P2 2| |？ y P2(x2,y2) P1(x1,y1) O x 兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo) y y2 P2(x2, y2) |P2Q|?|y2?y1|y1 P1(x1,y1) x1 Q(x2,y1) x2 x O |PQ|?|x?x |121兩點(diǎn)間距離公式 一般地，已知平面上兩點(diǎn) P1(x1，和P (x ，y )，y )2221利用上述方法求點(diǎn)P1和P2的距離為 |PP1 2|?(x2?x1)?

6、(y2?y1)22特別地，點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)（0，0）的距離為 |OP|?x?y22 例例1 1 已知點(diǎn)已知點(diǎn) B(2, 7)在在x x軸上軸上A(?1,2)和和 , , 求一點(diǎn)求一點(diǎn)P P，使，使|PA|=|PB|PA|=|PB|，并求，并求|PA|PA|的值的值. . 例例2 2 證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和角線的平方和. . 證明：以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系 . 則四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c) y D (b,c) D (b,c) C C (a+b,c) (a+b,c) x

7、建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量。 A(0,0) A(0,0) B(a,0) B(a,0) 例2題解 y |CD|?a222222|AD|?b?c|BC|?b?c|AB|?a22222(a+b,c)D (b,c) C |AC|?(a?b)?c|BD|?(b?a)?c22222222222A (0,0) 22B (a,0) 2x |AB|?|CD|?|AD|?|BC|?2( a?b?c )|AC|?|BD|?2( a?b?c )|AB|?|CD|?|AD|?|BC|?|AC|?|BD|222222222 因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和

8、線的平方和. . 用用“坐標(biāo)法坐標(biāo)法”解決有關(guān)幾何問題的基本步驟：解決有關(guān)幾何問題的基本步驟： 第一步；建立坐標(biāo)系， 用坐標(biāo)系表示有關(guān)的量 第二步：進(jìn)行 有關(guān)代數(shù)運(yùn)算 第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果 “翻譯”成幾何關(guān)系 小結(jié) 1.兩點(diǎn)間距離公式 2.坐標(biāo)法 第一步:建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量 第二步:進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算 |PP1 2|?(x2?x1)?(y2?y1)22第三步:把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系 拓展 已知平面上兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直線P1P2的斜率為k，則 y2-y1可怎樣表示？從而點(diǎn) P1和P2的距離公式可作怎樣的變形？ y2?y1?k(x2?x1)|P1P2|

9、?|x2?x1| 1?k21?|y2?y1| 1?2k 例3 設(shè)直線2x-y+1=0與拋物線 y?x?3 x?4 相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的值. 2作業(yè)作業(yè) P106練習(xí)：1，2. P110習(xí)題3.3 A組：6，7，8. 3.3.3 點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離 已知點(diǎn)已知點(diǎn)P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )和直線和直線l：Ax +By +C=0Ax +By +C=0，如，如何求點(diǎn)何求點(diǎn)P P到直線到直線 l 的距離？的距離？ 點(diǎn)點(diǎn)P P到直線到直線 l 的距離，是指從點(diǎn)的距離，是指從點(diǎn)P P0 0到直線到直線 l 的的垂線段垂線段P P0 0Q Q的長度，其中的長度，其中Q

10、Q是垂足是垂足 y y Q Q P P0 0 o o l x x 分析思路一：直接法分析思路一：直接法 y y Q直線直線 l的方程的方程 直線直線 l的斜率的斜率 O O P0lx x l?P0Q點(diǎn)點(diǎn) P0的坐標(biāo)的坐標(biāo) 直線直線 P0Q的斜率的斜率 直線直線 l的方程的方程 點(diǎn)點(diǎn) P0的坐標(biāo)的坐標(biāo) 0直線直線 P0Q的方程的方程 Q的坐標(biāo)的坐標(biāo) 點(diǎn)點(diǎn) 點(diǎn)點(diǎn)P P0Q（點(diǎn)（點(diǎn) P0到到 、Q之間的距離之間的距離 l的距離）的距離） 分析思路二：用直角三角形的面積間接求法 求出點(diǎn)求出點(diǎn)R 的坐標(biāo)的坐標(biāo) 求出點(diǎn)求出點(diǎn)S 的坐標(biāo)的坐標(biāo) P0Q?P0S?P0RSRy 求出求出P0R 求出求出P0S S

11、 利用勾股定理求出利用勾股定理求出SR d QR P0面積法求出面積法求出P0Q lx O y Ax0?C?S ?x0,?B?Q l : Ax?By?C?0y0 O d P0 (x0,y0) ?By0?C?R ?A, y0?x0 x 1|P0S|P0R|2?1d|SR|2點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離公式 點(diǎn)點(diǎn)P(xP(x0 0，y y0 0) )到直線到直線 l ：Ax +By +C=0Ax +By +C=0的距離為：的距離為： |Ax0?By0?C |d?22A?B特別地，當(dāng)A=0，B?0時(shí)， 直線By+C=0 |By0?C |Cd?|y0?|B|B特別地，當(dāng)B=0，A?0時(shí)， 直線Ax

12、+C=0 |Ax0?C |Cd?|x0?|A|Ay |y1-y0| y?y1y1 y0 O |x1-x0| x?x1x1 x P0 (x0,y0) x0 點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離 y y0 |x0| P0 (x0,y0) |y0| O x0 x l :3x?2?1，2 例例1.1.求點(diǎn)求點(diǎn)P 到直線到直線 的距離的距離 0解：解： d ?3?1?23?0225?3思考：還有其他解法嗎？ 例例2 2 已知點(diǎn)已知點(diǎn) ，求，求 ?ABC? ? ?A1，3，B 3，1，C1，0的面積的面積 h，則 AB邊上的高為 分析：如圖，設(shè) y 1S?ABC?AB?h .4 A2AB ?3?1?1?3?22?2 2.3

13、2 1 h C到到 h就是點(diǎn)就是點(diǎn) AB邊上的高邊上的高 ABC-1 O 的距離的距離 Bx 1 2 3 y?3x?1?， 解：解：AB 邊所在直線的方程為：邊所在直線的方程為： 1?33?1即：即：x ?y?4?0.y 4 點(diǎn)點(diǎn) x?y?4?0C?1，0?到到 A3 的距離的距離 ?1?0?452 h ?.h221 21?1因此因此 S? ABC15-1 O 1 2 3 ?2 2?5.22CBx 小結(jié) 點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用 點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax +By +C=0的距離為： d?|Ax0?By0?C |A?B22作業(yè)作業(yè) P110習(xí)題3.3A組：8,9. 3.3B組：2

14、,4 3.3.4 兩條平行直線間的兩條平行直線間的距離距離 兩條平行直線間的距離是指夾在兩兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行線間公垂線段的長條平行線間公垂線段的長 兩平行線間的距離處處相等兩平行線間的距離處處相等 1.怎樣判斷兩條直線是否平行？怎樣判斷兩條直線是否平行？ 2.2.設(shè)設(shè)l1 1/l2 2，如何求，如何求l1 1和和l2 2間的距離？間的距離？ 1 1）能否將平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線）能否將平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離？的距離？ 2) 2) 如何取點(diǎn)，可使計(jì)算簡單？如何取點(diǎn)，可使計(jì)算簡單？ 例例1 1 已知直線已知直線 和和 l1:2 x?7 y?8?0l2:6 x

15、?21 y?1?0l1 1 與與l2 2 是否平行？若平行是否平行？若平行 , ,求求 l1 1與與 l2 2的距離的距離. . 例例2 2 求平行線求平行線2x-7y+8=0與與2x-7y-6=0的距離的距離. . 解：解： 在在l2 2上任取一點(diǎn)，如上任取一點(diǎn)，如P(3,0) P(3,0) P P到到l1 1的距離等于的距離等于l1 1與與l2 2的距離的距離 兩平行線間的兩平行線間的距離處處相等距離處處相等 ? ?d ? ?2? ?3? ?7? ?0? ?82? ?(? ?7)221414 53? ? ?5353直線到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離直線到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離 例例3. 3. 求證：兩條平行直線求證：兩條平行直線Ax+By+C1=0和和Ax+By+C2=0間的距離為間的距離為 d?|c1?c2|A?B22 例例4 4 已知已知P P在在x 軸上軸上, P, P到直線到直線l1: x- y +7=03與直線與直線 l2:12x-5y+40=0 的距離相等的距離相等, , 求求P P點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)坐標(biāo)。 解：設(shè)解：設(shè)P(P(x