高一數(shù)學(xué)競賽 抽屜原理專題培訓(xùn)

1、抽屜原理把八個蘋果任意地放進(jìn)七個抽屜里，不論怎樣放，至少有一個抽屜放有兩個或兩個以上的蘋果。抽屜原則有時(shí)也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。形式一：證明：設(shè)把n1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于2（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai2，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai1，于是有：a1a2an111nn1這與題設(shè)矛盾。所以，至少有一個ai2，即必有一個集合中含有

2、兩個或兩個以上的元素。形式二：設(shè)把n·m1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于m1。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有aim1，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有aim，于是有：a1a2anmmmn·m n個mn·m1這與題設(shè)相矛盾。 所以，至少有存在一個aim1高斯函數(shù)：對任意的實(shí)數(shù)x,x表示“不大于x的最大整數(shù)”.例如：3.53，2.92，2.53，77，一般地，我們有：xxx1形式三：證明：設(shè)把n個元素分為k個集合A1，A2，Ak，用a1，a2，ak表示這k個集合里相應(yīng)的元素

3、個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于n/k。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ain/k，于是有：a1a2akn/k+n/k+n/k k個n/kk·n/kk·(n/k)n a1a2akn這與題設(shè)相矛盾。 所以，必有一個集合中元素個數(shù)大于或等于n/k形式四：證明：設(shè)把q1q2qnn1個元素分為n個集合A1，A2，An，用a1，a2，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個i，使得ai大于或等于qi。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有aiqi，因?yàn)閍i為整數(shù)，應(yīng)有aiqi1，于是有：a1a2anq1q2qnn q1q2qnn1這與題設(shè)

4、矛盾。所以，假設(shè)不成立，故必有一個i,在第i個集合中元素個數(shù)aiqi形式五： 證明：（用反證法）將無窮多個元素分為有限個集合，假設(shè)這有限個集合中的元素的個數(shù)都是有限個，則有限個有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以，假設(shè)不成立，故必有一個集合含有無窮多個元素。例題：400人中至少有兩個人的生日相同.分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個不相同的生日，我們把366個不同的生日看作366個抽屜，400人視為400個蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個蘋果，由抽

5、屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同.例題：邊長為1的正方形中，任意放入9個點(diǎn)，求證這9個點(diǎn)中任取3個點(diǎn)組成的三角形中，至少有一個的面積不超過1/8.解：將邊長為1的正方形等分成邊長為的四個小正方形，視這四個正方形為抽屜，9個點(diǎn)任意放入這四個正方形中，據(jù)形式2，必有三點(diǎn)落入同一個正方形內(nèi).現(xiàn)特別取出這個正方形來加以討論.把落在這個正方形中的三點(diǎn)記為D、E、F.通過這三點(diǎn)中的任意一點(diǎn)（如E）作平行線，如圖可知：SDEFSDEGSEFG×hGFCDE例題：任取5個整數(shù)，必然能夠從中選出三個，使它們的和能夠被3整除.證明：任意給一個整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被

6、3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r，r1，r2.至少有一類包含所給個數(shù)中的至少兩個.因此可能出現(xiàn)兩種情況：°.某一類至少包含三個數(shù)；°.某兩類各含兩個數(shù)，第三類包含一個數(shù).若是第一種情況，就在至少包含三個數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；若是第二種情況，在三類中各取一個數(shù)，其和也能被3整除.綜上所述，原命題正確.例題：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為23的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過同一點(diǎn).證明：如圖，設(shè)PQ是一條這樣的直線，作這兩個梯形的中位線MN這兩個梯形的高相等它們的面積之比等于中位線長的比，即|MH|NH|點(diǎn)H有確定的位置（它在正方形

7、一對對邊中點(diǎn)的連線上，并且|MH|NH|）.由幾何上的對稱性，這種點(diǎn)共有四個，即，圖中的H、J、I、K.已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、J、I、K這四點(diǎn)中的一點(diǎn).把H、J、I、K看成四個抽屜，九條直線當(dāng)成個蘋果，即可得出必定有條分割線經(jīng)過同一點(diǎn).例題：某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數(shù)相同.證明：按植樹的多少，從50到100株可以構(gòu)造51個抽屜，則個問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里.(用反證法)假設(shè)無人或人以上植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，那只有人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：4(5051100)4×1530015301得出矛盾.因此，至少有人植樹的株數(shù)相同.練習(xí)：1邊長為1的等邊三角形內(nèi)有5個點(diǎn)，那么這5個點(diǎn)中一定有距離小于0.5的兩點(diǎn).2邊長為1的等邊三角形內(nèi)，若有n21個點(diǎn)，則至少存在2