用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形ppt課件

1、1 ,.,TAPPAPP AP 由由于于對(duì)對(duì)任任意意的的實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣總總有有正正交交矩矩陣陣使使即即因因此此把把這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)論論應(yīng)應(yīng)用用于于二二次次型型 即即有有 化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使正正交交變變換換總總有有任任給給二二次次型型fPyxaaxxafjiijnjijiij, 1, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中ijnaAf 1定定理理用正交變換化二次型為規(guī)范形的詳細(xì)步驟：用正交變換化二次型為規(guī)范形的詳細(xì)步驟：;,. 1AAxxfT求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,

2、. 321n 征征向向量量求求出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 1 1寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 144241422217A 144241422217IA 9182 什么曲面？什么曲面？表示表示化成標(biāo)準(zhǔn)形，并問(wèn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，并問(wèn)通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換將二次型將二次型2,844141417 323121232221 fPyxxxxxxxxxxf例例解解從而得特征值從而得特征值.18,

3、 9321 190,AI x將將代代入入得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系代代入入將將, 01832 xIA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化,11 取取) 1, 1, 21 (1T ,22 ,2223233 得正交向量組得正交向量組.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,) 1, 1, 21 (1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4將

4、正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P于是所求正交變換為于是所求正交變換為,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有即即,Pyx 表示橢球面。表示橢球面。此時(shí)，容易看出此時(shí)，容易看出2 f五、小結(jié)1.實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在實(shí)際和實(shí)踐中實(shí)二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，在實(shí)際和實(shí)踐中經(jīng)常遇到，經(jīng)過(guò)在二次型和對(duì)稱(chēng)矩陣之間建立一經(jīng)常遇到，經(jīng)過(guò)在二次型和對(duì)稱(chēng)矩陣之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱(chēng)矩一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為將對(duì)稱(chēng)矩陣化為對(duì)角矩陣，而這是曾經(jīng)處理了的問(wèn)題，請(qǐng)陣化為對(duì)角矩陣，而這是曾經(jīng)處理了

5、的問(wèn)題，請(qǐng)同窗們留意這種研討問(wèn)題的思想方法同窗們留意這種研討問(wèn)題的思想方法6.2 正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣一、慣性定理一、慣性定理的的概概念念二二、正正（負(fù)負(fù)）定定二二次次型型的的判判別別三三、正正（負(fù)負(fù)）定定二二次次型型四四、小小節(jié)節(jié)、思思考考題題一、慣性定理一個(gè)實(shí)二次型，既可以經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)一個(gè)實(shí)二次型，既可以經(jīng)過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其規(guī)范形普通來(lái)說(shuō)是不獨(dú)一的，準(zhǔn)形，顯然，其規(guī)范形普通來(lái)說(shuō)是不獨(dú)一的，但規(guī)范形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，但規(guī)范形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩下面我們限定所用的變換為實(shí)變換，來(lái)研討下面我們限定所用的變換為實(shí)變

6、換，來(lái)研討二次型的規(guī)范形所具有的性質(zhì)二次型的規(guī)范形所具有的性質(zhì) 22211222221 122121() , 0 , 0 ,(1, 2, )Trrirrirfx AxrxCyxPzfk yk yk ykfzzzirKKK 1 1定定理理 慣慣性性定定理理設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型它它的的秩秩為為有有兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)的的可可逆逆變變換換及及使使及及則則,中中正正（負(fù)負(fù)）數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)與與.2r2r,中中正正（負(fù)負(fù)）數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相等等稱(chēng)稱(chēng)為為且且標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形中中正正系系數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)，負(fù)負(fù)系系數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為 負(fù)負(fù)慣慣性性指指數(shù)數(shù)，. ，分別記作分別記作為二次型的為二次型的

7、常稱(chēng)形如下式的標(biāo)準(zhǔn)形常稱(chēng)形如下式的標(biāo)準(zhǔn)形221221rppyyyyf 規(guī)范形：規(guī)范形：,0001111可以沒(méi)有）可以沒(méi)有）（，它的系數(shù)分別為它的系數(shù)分別為 .的的規(guī)規(guī)范范形形是是唯唯一一的的在在這這個(gè)個(gè)順順序序下下，二二次次型型數(shù)數(shù)全全正正或或全全負(fù)負(fù)的的情情形形，比比較較常常用用的的二二次次型型是是系系為此，我們引出為此，我們引出二、正(負(fù))定二次型的概念,)( 0 xAxxxf1T 如果對(duì)任何設(shè)有實(shí)二次型定義為為實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣是是正正定定二二次次型型，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的則則稱(chēng)稱(chēng)Afxf, 0)()1( .正正定定矩矩陣陣為為實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣是是負(fù)負(fù)定定二二次次型型，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的則則稱(chēng)稱(chēng)

8、Afxf, 0)()2( .負(fù)負(fù)定定矩矩陣陣222164),(zyxzyxf 為正定二次型為正定二次型2221213),(xxxxf 為負(fù)定二次型為負(fù)定二次型例如例如.,)()(為不定型二次型則稱(chēng)可正可負(fù)fxf52221213),(xxxxf 為不定型二次型為不定型二次型.)()(陣實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為半正定矩二次型，對(duì)應(yīng)的則稱(chēng)此二次型為半正定0 xf3 .)()(陣實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為半負(fù)定矩二次型，對(duì)應(yīng)的則稱(chēng)此二次型為半負(fù)定0 xf4 三、正(負(fù))定二次型的判別. 2nAxxfT等等于于變變量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)件件是是它它的的正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)為為正正定定的的充充分分必必要要條條實(shí)實(shí)二二次次型型定定理理 推論對(duì)

9、稱(chēng)矩陣推論對(duì)稱(chēng)矩陣 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是： 的特征值全為正的特征值全為正AA說(shuō)明說(shuō)明.考考慮慮其其正正定定性性只只有有實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣，才才能能1例例,取何值時(shí)取何值時(shí)試問(wèn)試問(wèn)k)(82424232221322331222121xxxkxxxxxxxxxf .為正定二次型為正定二次型解解 242422221A，可可求求出出三三個(gè)個(gè)特特征征值值為為令令7220 IA 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形次型次型且必存在正交變換將二且必存在正交變換將二f232221722yyyq 32233122212182424xxxxxxxxxq 二二次次型型化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形，知知該該正正交

10、交變變換換將將向向量量長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的不不變變性性，即即同同時(shí)時(shí)，由由正正交交變變換換保保持持fyxiiii 312312232221722yyyf )(232221yyyk 232221)7()2()2(ykykyk ，必必有有理理為為使使二二次次型型正正定定，按按定定2 070202kkk即即7k 定理定理3.,PPAPAT 使使矩陣矩陣可逆可逆正定的充要條件是存在正定的充要條件是存在實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣說(shuō)明說(shuō)明正正定定稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣的的換換個(gè)個(gè)說(shuō)說(shuō)法法是是：“實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)定定理理A3”合合同同于于單單位位矩矩陣陣的的充充要要條條件件是是. IA2例例為正定矩陣，為正定矩陣，若若A. 0 iia則則

11、其其對(duì)對(duì)角角線線元元證證明明，知知存存在在可可正正定定，所所以以，由由定定理理因因?yàn)闉?A由由兩端矩陣的對(duì)角線元，兩端矩陣的對(duì)角線元，都是非零向量，比較都是非零向量，比較列向量列向量的每個(gè)的每個(gè)可逆，所以可逆，所以由于由于使成立使成立逆陣逆陣PPApppPPPPAPTnT ,2102 iiTiiipppa nTnTTnTnTTTppppppppppppPP#*,22112121即得即得正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)：正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)：;,A, . 1 1T定定矩矩陣陣均均為為正正則則為為正正定定實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)陣陣設(shè)設(shè) AAA., . 2 矩陣矩陣也是正定也是正定則則階正定矩陣階正定矩陣

12、均為均為若若BAnBA , 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa這個(gè)定理稱(chēng)為霍爾維茨定理這個(gè)定理稱(chēng)為霍爾維茨定理定理定理4 4 對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是：的各階順序主子式為正，即的各階順序主子式為正，即AA,2211aakA個(gè)對(duì)角線元個(gè)對(duì)角線元的前的前稱(chēng)對(duì)角線元是稱(chēng)對(duì)角線元是定義定義2 2階階的的階階子子式式為為矩矩陣陣的的kAkakk,順序主子式順序主子式.（或或前前主主子子式式）從從而而，有有 ., 2 , 1, 011111nkaaaakkkkk 推論推論 對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣A A為負(fù)定的充分必要條件是：奇為負(fù)

13、定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即數(shù)階順序主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即A說(shuō)明說(shuō)明, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa而而應(yīng)應(yīng)是是負(fù)負(fù)定定的的充充要要條條件件決決不不是是矩矩陣陣.A例例3 3 判別二次型判別二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 能否正定能否正定.解解二次型的矩陣為二次型的矩陣為,502040202 A用特征值判別法用特征值判別法.0 IA 令令,. 6, 4, 1321均均為為正正數(shù)數(shù) 故此二次型為正定二次型故此二次型為正定二次型.即知即知 是正定矩陣，是正定矩陣，A例例4 4

14、 判別二次型判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 能否正定能否正定.解解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 A它的順序主子式它的順序主子式, 05 , 011225 , 01524212425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.解解的矩陣為的矩陣為f, 0111 a, 0441222211211 tttaaaa正，由正，由的各階順序主子式均為的各階順序主子式均為，應(yīng)有，應(yīng)有根據(jù)定理根據(jù)定理A4,2010411 ttA例例5 5 假設(shè)二次型假設(shè)二次型31212322212224xxxtxxxxf 正定，求參數(shù)正定，求參數(shù) t

15、 應(yīng)滿(mǎn)足的條件應(yīng)滿(mǎn)足的條件.04220104112 tttA解得解得22 t2.正定二次型正定矩陣的判別方法：正定二次型正定矩陣的判別方法：(1)(1)定義法；定義法；(3)(3)順序主子式判別法；順序主子式判別法；(2)(2)特征值判別法特征值判別法. .四、小結(jié)1.正定二次型的概念，正定二次型與正定正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)絡(luò)矩陣的區(qū)別與聯(lián)絡(luò)3.根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到負(fù)定二次型負(fù)定矩陣相應(yīng)的判別方法，請(qǐng)大負(fù)定二次型負(fù)定矩陣相應(yīng)的判別方法，請(qǐng)大家本人推導(dǎo)家本人推導(dǎo)1、解矩陣方程、解矩陣方程2、行列式的計(jì)算、行列式的計(jì)算100

16、110111A2AABIOB知知, 且且, 求矩陣求矩陣2AABIO()A ABI1|AA1ABA1AAB, 故故可逆可逆, 3方程組求解：何時(shí)有獨(dú)一解，無(wú)解，無(wú)窮多解方程組求解：何時(shí)有獨(dú)一解，無(wú)解，無(wú)窮多解bxxxxaxxxxx3213213214231202ab線性方程組為線性方程組為 , , 問(wèn)問(wèn), ,各取何值時(shí)各取何值時(shí), , 線性方程組無(wú)解，有獨(dú)一解，有無(wú)窮多解？線性方程組無(wú)解，有獨(dú)一解，有無(wú)窮多解？在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。120014100211210141002114231120211baababaAa3)()(ArArab3)(2)(ArArab32

17、)()(ArAr2，方程組有獨(dú)一解方程組有獨(dú)一解; ; 2 2，1 1時(shí)，時(shí)，方程組無(wú)解方程組無(wú)解; ; 2，1時(shí)， 方程組有無(wú)窮多解方程組有無(wú)窮多解P69 例例3 兩種兩種解法解法1234512345 2,1,4, 3 1,1,6,6 1,2, 2,91,1,2,72,4,4,9TTTTTr ，求求， ， ， ， 的的秩秩 ， .線性表示線性表示的列向量用最大無(wú)關(guān)組的列向量用最大無(wú)關(guān)組關(guān)組關(guān)組關(guān)組，并把不屬最大無(wú)關(guān)組，并把不屬最大無(wú)求向量組的一個(gè)最大無(wú)求向量組的一個(gè)最大無(wú)解解： 構(gòu)構(gòu)造造矩矩陣陣得得 97963422644121121112,54321 A4、求向量組的最大無(wú)關(guān)組，其他向量用

18、最大無(wú)關(guān)組表示、求向量組的最大無(wú)關(guān)組，其他向量用最大無(wú)關(guān)組表示行階梯形矩陣行階梯形矩陣施行初等行變換變?yōu)槭┬谐醯刃凶儞Q變?yōu)閷?duì)對(duì) A。，知知向向量量組組的的秩秩為為由由33)( ArA ， 00000310000111041211初等行變換初等行變換 .3 個(gè)向量個(gè)向量組含組含故列向量組的最大無(wú)關(guān)故列向量組的最大無(wú)關(guān)三列，三列，、元在元在而三個(gè)非零行的非零首而三個(gè)非零行的非零首421.,421無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組為為列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大故故aaa 00000310003011040101 初等行變換初等行變換 4215213334,aaaaaaa 即得即得 00000310000111041211A., 42153成行最簡(jiǎn)形矩陣成行最簡(jiǎn)形矩陣再變?cè)僮兙€性表示，必須將線性表示，必須將用用要把要把AaaaaaP90 例例1 p93 例例45、證向量組線性無(wú)關(guān)相關(guān)、證向量組線性無(wú)關(guān)相關(guān)