概率論與數(shù)理統(tǒng)計：連續(xù)型隨機變量（XY）的函數(shù)的概率分布

1、二連續(xù)型隨機變量（二連續(xù)型隨機變量（X，Y）的函數(shù)）的函數(shù) 的概率分布的概率分布 1. 已知已知（X，Y） f (x , y)，求求 Z= （X，Y）的的概率分布概率分布 (1) FZ(z)=P(Z z) =P （X，Y） z zyxdxdyyxf),(),(2) 若若Z為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量，則有則有 例例5：已知已知X, Y 相互獨立且均服從相互獨立且均服從N(0, 2)，)()(zFzf22YXZ的概率密度。的概率密度。求求解：解：X和和Y的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為22221)(xXexf22221)(yYeyf先求先求Z的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(z)當當z0時，易知時，

2、易知 F(z)=0當當z 0時，且由獨立性知時，且由獨立性知)()(zZPzF)()(22222zYXPzYXP222)()(zyxYXdxdyyfxfdedz222022021極坐標變換極坐標變換2221ze即：即：Z的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0001)(222zzezFz故：故：Z的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為000)(2222zzezzfzZ或或2已知已知（X，Y） f (x, y)，求求Z=X+Y 的概率密度的概率密度 定理定理: 若若(X, Y )的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 f(x , y)，則則Z=X+Y 的概率密度為的概率密度為dxxzxfzfZ),()(dyyyzfzfZ),()

3、(證明證明: : Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: : FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.化成累次積分化成累次積分, ,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對對方括號內(nèi)的積分作變量代換方括號內(nèi)的積分作變量代換 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()(由此由此 由由X 和和Y 的對稱性的對稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzFzfZZ),()()(dxxzxfzFz

4、fZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特別，當特別，當X和和Y獨立，設(shè)獨立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣密度分的邊緣密度分別為別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: : dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(例例6 : 若若X和和Y 獨立獨立, ,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),求求Z=X+Y的分布的分布. .解：解：X和和Y的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為2221)(xXexf2221)(yYeyf則則Z的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221ze

5、dxeezfzxtdxeezfztzZzxzZ,22121)(,2/21)(2222)2(2242)2(4得令可以證明可以證明: : ),(22221221 babaNbYaXZ 特別地，若特別地，若X和和Y 獨立，且獨立，且),(),(222211NYNXniNXiii, 2 , 1),(2則則),(12211niiiniiiniiiaaNXa則則),(1211niiniiniiNX 若若nXXX,21相互獨立相互獨立,例例6: 若若X, Y 相互獨立，其概率密度函數(shù)分別為相互獨立，其概率密度函數(shù)分別為 求求 Z=X+Y 的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù) fZ (z) 其他,010, 1)(xx

6、fX其他,010,2)(yyyfY被積函數(shù)不為被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 dxxzfxfzfYXZ)()()(解解: : 由于由于1010 xzx也即也即zxzx110 其它其它, 021,2)(210,)(2)(11202zzZzzzdxxzzzdxxzzf于是于是例例7 已知已知( X ,Y ) 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求求 f Z (z)解法一（圖形定限法）解法一（圖形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY顯然顯然X ,Y 相互獨立相互獨立, ,且且dxxzfxfzfYXZ)()

7、()(10)(dxxzfY, 20, 0zz或, 10,10zdxz, 21,111zdxzzxz = xz-1 = x121被積函數(shù)不為被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 1010 xzx即即zxzx11021,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或解法二解法二 從分布函數(shù)出發(fā)從分布函數(shù)出發(fā))()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z當當z 0 時時，0)(zFZ1yx1x+y = z當當0 z 1 時，時，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(22z1yx1zzx+y = z當當1 z 2 時，時，xzzZdydxzzF0111) 1()(11)(1zdxxzz122

8、2zzz-11yx1zz1yx1x+y = z22當當2 z 時，時，1)(zFZ2, 121, 12210,20, 0)(22zzzzzzzzFZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或?qū)τ趯τ?X ,Y 不相互獨立的情形可同樣的用不相互獨立的情形可同樣的用直接求直接求密度函數(shù)密度函數(shù)與與通過分布函數(shù)求密度函數(shù)通過分布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法兩種方法求和的分布求和的分布例例8 已知已知 ( X ,Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求求 f Z (z)解解 （圖形定限法）（圖形定限法）xzxx210非非0區(qū)域為區(qū)域為

9、zxz = xz = 2xx = 112當當 z 2 , zzzz當當 0 z 1, 22/893)(zxdxzfzzZ當當 1 z z,YzFN(z)=PNz=1- -PNz=1- - PXzPYz=1-1-PXz1-PYz 設(shè)設(shè)X1,Xn是是n個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量, ,它們的它們的分布函數(shù)分別為分布函數(shù)分別為 我們來求我們來求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)的分布函數(shù). .)(xFiX(i =0,1，, n) 特別，當特別，當X1,Xn相互獨立且具有相同分相互獨立且具有相同分布函數(shù)布函數(shù)F(x)時，有時，有 N=min(X1,Xn)的分布

10、函數(shù)是的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: : FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX解解: PY=n= Pmax(X1, X2)=n=PX1=n, X2n+P X2 =n, X1 nnkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq例例9 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X1, X2相互獨立相互獨立, ,并且有相同的幾何分并且有相同的幾何分布布 P(X1=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ，求求Y=max(X1

11、, X2)的的分布分布 .n=0,1,2,解二解二: PY=n=PYn- -PYn-1211nkkpq=Pmax(X1,X2) n - -Pmax(X1,X2) n-1=PX1 n, X2n- -PX1 n-1, X2 n-12111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpqn=0,1,2,例例10: 系統(tǒng)系統(tǒng) L 由兩個相互獨立的子系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1, L2 聯(lián)結(jié)而聯(lián)結(jié)而成。已知成。已知L1, L2的使用壽命的使用壽命X , Y 分別服從參數(shù)為分別服從參數(shù)為 ， （ 0， 0, ）的指數(shù)分布。）的指數(shù)分布。分別在下列分別在下

12、列三種情況下三種情況下，求系統(tǒng)求系統(tǒng) L 的使用壽命的使用壽命Z的分布的分布. （1） 子系統(tǒng)子系統(tǒng)L1, L2 串聯(lián)串聯(lián); （2） 子系統(tǒng)子系統(tǒng)L1, L2 并聯(lián)并聯(lián); （3） 子系統(tǒng)子系統(tǒng)L2 冷備冷備.解：解：X和和Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其它, 00,)(xexfxX其它, 00,)(yeyfyY且其分布函數(shù)為且其分布函數(shù)為其它, 00,1)(xexFxX其它, 00,1)(yeyFyY（1） 當為串聯(lián)系統(tǒng)時，系統(tǒng)當為串聯(lián)系統(tǒng)時，系統(tǒng)L的壽命為的壽命為Z=min(X,Y)故其分布函數(shù)為故其分布函數(shù)為Fmin(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z)0001)(zzez其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為000)()()(minzzezfz(2) 當為并聯(lián)系統(tǒng)時，系統(tǒng)當為并聯(lián)系統(tǒng)時，系統(tǒng)L的壽命為的壽命為Z=max(X,Y)故其分布函數(shù)為故其分布函數(shù)為)()()(maxzFzFzFYX000)1)(1 (zzeezz其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為000)()()(maxzzeeezfzzz(3