工程力學(xué)(靜力學(xué)與材料力學(xué))-6-圓軸扭轉(zhuǎn)

1、TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/51 范欽珊教育教學(xué)工作室 FAN Qin-ShanFAN Qin-Shan s Education & Teaching Studios Education & Teaching Studio 2021/8/52返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/53返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/54TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/55返回總目錄返回總目錄TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/56返回返回TSINGHUA UNIV

2、ERSITY2021/8/57TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/58TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/59TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/510TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/511TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/512TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/513TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/514TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/515TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/516TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/

3、517返回返回TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/518e9549N mPMne7024N mr/minPMn馬力TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/519TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/520TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/521TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/522 圓軸受有四個繞軸線轉(zhuǎn)動的外加力偶，各力偶的力偶矩圓軸受有四個繞軸線轉(zhuǎn)動的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸，尺寸單位為單位為mm。畫出圓軸的扭矩圖。畫

4、出圓軸的扭矩圖。 TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/523確定控制面確定控制面 外加力偶處截面外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。均為控制面。 應(yīng)用截面法，應(yīng)用截面法，由平衡由平衡方程方程0 xM確定各段圓軸內(nèi)的扭矩確定各段圓軸內(nèi)的扭矩 。 TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/524建立建立Mxx坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，畫出扭矩圖畫出扭矩圖 建立建立Mxx坐標(biāo)系，其坐標(biāo)系，其中中x軸平行于圓軸的軸線，軸平行于圓軸的軸線，Mx軸垂直于圓軸的軸線。軸垂直于圓軸的軸線。將將所求得的各段的扭矩值，標(biāo)所求得的各段的扭矩值，標(biāo)在在Mxx坐標(biāo)系中，得到相坐標(biāo)系中，得到相應(yīng)的點，

5、過這些點作應(yīng)的點，過這些點作x軸的軸的平行線，即得到所需要的扭平行線，即得到所需要的扭矩圖。矩圖。 TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/525返回返回TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/526TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/527xyzdxdydzTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/528xyzdxdydzyzxdddxzydddTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/529xyzdxdydzTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/530GTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/531返回返

6、回TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/532TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/533TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/534TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/535TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/536TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/537TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/538TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/539 若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根據(jù)若將圓軸用同軸柱面分割成許多半徑不等的圓柱，根據(jù)上述結(jié)論，在上述結(jié)論，在dx長度上，

7、雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過相同長度上，雖然所有圓柱的兩端面均轉(zhuǎn)過相同的角度的角度d ，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，但半徑不等的圓柱上產(chǎn)生的剪應(yīng)變各不相同，半徑越小者剪應(yīng)變越小。半徑越小者剪應(yīng)變越小。 TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/540 xdd 設(shè)到軸線任意遠(yuǎn)設(shè)到軸線任意遠(yuǎn) 處的剪應(yīng)變?yōu)樘幍募魬?yīng)變?yōu)?（ ），則從圖中可得），則從圖中可得到如下幾何關(guān)系：到如下幾何關(guān)系： TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/541TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/542GTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/543xGGdd xdd

8、GTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/544xGGddTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/545TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/546AdAxMTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/547AAId2PxGGddPddGIMxxAxMAdTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/548TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/549xGGddPddGIMxx PIMxTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/550 PIMxTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/551PPmaxmaxWM

9、IMxxmaxPPIW Wp 扭轉(zhuǎn)截面模量。扭轉(zhuǎn)截面模量。TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/55216323P4PdWdI,16132143P44PDWDI,TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/553,maxmaxp xMWTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/554,maxmaxp xMWTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/555P7.5kW, n=100r/min,最最大切應(yīng)力大切應(yīng)力不得超過不得超過40MPa,空心圓空心圓軸的內(nèi)外直徑之比軸的內(nèi)外直徑之比 = 0.5。二軸。二軸長度相同長度相同實心軸的直徑實心軸的直徑d1和空

10、心軸的外和空心軸的外直徑直徑D2；確定二軸的重量之比。；確定二軸的重量之比。TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/556首先根據(jù)軸所傳遞的功率首先根據(jù)軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩計算作用在軸上的扭矩7 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaxxPMMWd31616 716 20 045m=45mm40 10.dTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/557d20.5D2=23 mmmax234221640MPa1xxPMMWD324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.DTSINGHUA UNIVER

11、SITY2021/8/558解：解：確定實心軸與空心軸的重量之比確定實心軸與空心軸的重量之比空心軸空心軸D246 mm d223 mm 實心軸實心軸d1=45 mm 在長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之在長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAATSINGHUA UNIVERSITY2021/8/5593TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/560P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/min360r/minr/min12361203113zzn

12、n3TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/561Mx1=T1=1114 N.mMx2=T2=557 N.mMx3=T3=185.7 N.m3TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/562 16.54MPaPa1070111416E9-31P1maxWMx .69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWMx .98MPa12Pa1053718516C9-33P3max.WMx3TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/563 由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為模量分別為G1和和G

13、2，且，且G12G2。圓軸尺寸如圖所示。圓軸尺寸如圖所示。 圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動。關(guān)于橫截面圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動。關(guān)于橫截面上的剪應(yīng)力分布，有圖中（上的剪應(yīng)力分布，有圖中（A）、（、（B）、（、（C）、（、（D）所示的四種結(jié)論，請判斷哪一種是正確的？所示的四種結(jié)論，請判斷哪一種是正確的？ TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/564 圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動，這表明圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動，這表明二者形成一個整體，同時產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假定，二者形成一個整體，同時產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持

14、平面，即其直二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持為直線，但要相當(dāng)于原來的位置轉(zhuǎn)過一角度。徑保持為直線，但要相當(dāng)于原來的位置轉(zhuǎn)過一角度。 TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/565 因此，在里、外層交界處二者具有相同的剪應(yīng)變。因此，在里、外層交界處二者具有相同的剪應(yīng)變。由于內(nèi)層（實心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)由于內(nèi)層（實心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)截面）的剪切彈性模量截面）的剪切彈性模量（G12G2），所以內(nèi)層在二者交，所以內(nèi)層在二者交界處的剪應(yīng)力一定大于外層在二者交界處的剪應(yīng)力。據(jù)此，界處的剪應(yīng)力一定大于外層在二者交界處的剪應(yīng)力。據(jù)此，答

15、案答案（A）和和（B）都是不正確的。都是不正確的。 TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/566 在答案（在答案（D D）中，外層在二者交界處的剪應(yīng)力等于）中，外層在二者交界處的剪應(yīng)力等于零，這也是不正確的，因為外層在二者交界處的剪應(yīng)變不零，這也是不正確的，因為外層在二者交界處的剪應(yīng)變不為零，根據(jù)剪切胡克定律，剪應(yīng)力也不可能等于零。為零，根據(jù)剪切胡克定律，剪應(yīng)力也不可能等于零。根據(jù)以上分析，正確答案是（根據(jù)以上分析，正確答案是（C C）。）。 TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/567返回返回TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/568PddxMxG

16、IpddxllMxGITSINGHUA UNIVERSITY2021/8/569PxM lGI1nxi iiPiMlGITSINGHUA UNIVERSITY2021/8/570pddxMxGITSINGHUA UNIVERSITY2021/8/571 xdd PxMGITSINGHUA UNIVERSITY2021/8/572 xdd PxMGITSINGHUA UNIVERSITY2021/8/573 xdd PxMGITSINGHUA UNIVERSITY2021/8/574 1 1確定軸所能承受的最大扭矩確定軸所能承受的最大扭矩 pxMGITSINGHUA UNIVERSITY2021

17、/8/575 1 1確定軸所能承受的最大扭矩確定軸所能承受的最大扭矩 pxMGI mrad180251m251/.44p132DdID， TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/576 pxMGI mrad180251m251/.44p132DdID， 44p1 5rad/m1218032xDMGIG.321802mm100mm50110mm1001048051443-92.TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/577返回返回TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/578開口與閉口薄壁圓環(huán)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力開口與閉口薄壁圓環(huán)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力TSINGHUA UNIV

18、ERSITY2021/8/579TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/580TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/581 xddTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/582 PIMx 2. 2. 材料必須滿足胡克定律，而且必須在彈性范圍內(nèi)加載，材料必須滿足胡克定律，而且必須在彈性范圍內(nèi)加載，只有這樣，剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的正比關(guān)系才成立：只有這樣，剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的正比關(guān)系才成立： xdd二者結(jié)合才會得到剪應(yīng)力沿半徑方向線性分布的結(jié)論，才會二者結(jié)合才會得到剪應(yīng)力沿半徑方向線性分布的結(jié)論，才會得到反映作用力分布的剪應(yīng)力公式，即得到反映作用力分布的剪應(yīng)力公式，即GTSINGHUA UNIVERSITY2021/8/583TSINGHUA UNIVERSITY2021/8/5