培優(yōu)專題12全等三角形及其應(yīng)用含答案

1、全等三角形及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)?；ハ嘀睾系倪吔袑?duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，記作 “ABCABC其中，“”讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；4. 尋找對(duì)應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對(duì)應(yīng)的位

2、置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對(duì)應(yīng)的元素。（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）通過觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的。翻折 如圖（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180得到的；平移 如圖（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（

3、1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a: 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識(shí)?！痉诸惤馕觥咳热切沃R(shí)的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等 例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由已知條件可證出ACDABE，而BF和F

4、C分別位于DBF和EFC中，因此先證明ACDABE，再證明DBFECF，既可以得到BF=FC.證明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD分析：要證ABCD，需證CA，而要證CA，又需證ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90，且已知DE=BF，AF=CE.顯然證明ABFCDE條件

5、已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證CA,進(jìn)一步證明ABCD.證明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90 （垂直的定義）在ABF與CDE中， ABFCDE（SAS） CA (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等) ABCD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在 ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：()折半法：取CD中點(diǎn)F，連接BF，再證CEBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F，連接BF BF=AC,且BFAC （三角

6、形中位線定理） ACB2 (兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)又 AB=AC ACB3 （等邊對(duì)等角） 32在CEB與CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）即CD=2CE （）加倍法證明：延長(zhǎng)CE到F，使EF=CE，連BF.在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等) BFAC (內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的補(bǔ)角相等）在CFB與CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE說明：關(guān)于折半法有時(shí)不在

7、原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F，連BF(如圖)（B為AD中點(diǎn)是利用這個(gè)辦法的重要前提），然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。分析：本題沒有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)已知條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過觀察，可以猜測(cè)：AO=BC，AOBC.證明：延長(zhǎng)AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

8、） AODCOE （對(duì)頂角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考點(diǎn)撥：例1如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DFDE，連結(jié)FC求證：FA分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在已知圖形中A、F不在全等的兩個(gè)三角形中，但由已知可證得EFAC，因此把A通過同位角轉(zhuǎn)到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可證明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA說明：證明角（或線段）相等可以從證明角（或線段）所在的

9、三角形全等入手，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。例2 如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED 分析：把已知條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和AEC全等的三角形，因此過D點(diǎn)作DFAC交BE于F點(diǎn)，證明AECFED即可。證明：過D點(diǎn)作DFAC交BE于F點(diǎn) ABC為等邊三角形 BFD為等邊三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中， AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形對(duì)應(yīng)邊

10、相等）題型展示：例1 如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，構(gòu)造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需證DE BE問題便可以解決證明：在AB上截取AEAC，連結(jié)DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法（即在長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的部分等于另一條短線段）；如作AEAC是利用了角平分線是角的對(duì)稱軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法（即延長(zhǎng)一條

11、短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的部分與另一條短線段相等），其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（B）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30的兩個(gè)等腰三角形全等（C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（D）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2. 已知：如圖，CDAB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，BE、CD交于點(diǎn)O，且AO平分BAC求證：OBOC3. 如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于

12、F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：DCEF是等邊三角形。4.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線求證：AD(AB+AC) 5. 如圖，在等腰RtABC中，C90，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AECD于E，BFCD交CD的延長(zhǎng)線于F，CHAB于H點(diǎn)，交AE于G求證：BDCG【試題答案】1. D2.證明： AO平分ODB，CDAB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，BE、CE交于點(diǎn)O， ODOE，ODBOEC90, BODCOE。 BODCOE（ASA）OBOC3. 分析 由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲證DCEF是等邊三角形，只要證明DCEF是等腰三角形。先證DCANDMCB，得1=2.再證DCFND

13、CEB，即可推得DCEF是等邊三角形的結(jié)論。證明：在DCAN和DMCB，AC=MC，CN=CB，CAN=MCB=120，DACNDMCB中， FCB和DCEB中，F(xiàn)CN=ECB=60，1=2，CN=CB，DCFNDCEB，CF=CE，又ECF=60， DCEF是等邊三角形.4. 分析： 關(guān)于線段不等的問題，一般利用在同一個(gè)三角形中三邊關(guān)系來討論，由于AB、AC、AD不在同一個(gè)三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，也就是將線段相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來完成，注意AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD至E，使DEAD，即可得到ACDEBD證明：延長(zhǎng)AD到E，使DEAD，連結(jié)BE在DACD與DEBD中 DACDDEBD（SAS） ACEB（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在DABE中，ABEBAE（三角形兩邊之和大于第三邊） ABAC2AD（等量代換） 說明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長(zhǎng)中線來構(gòu)造全等三角形。5.分析：由于B