MATLAB實驗二定積分的模擬計算ppt課件

1、實驗二定積分的近似計算數(shù)學(xué)實驗q 問題背景和實驗?zāi)康膯栴}背景和實驗?zāi)康膶嶒灦?、定積分的近似計算實驗二、定積分的近似計算u 定積分計算的基本公式是牛頓萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時，如何計算？這時就需要利用近似計算。特別是在許多實際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，而是一條實驗記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時只能用近似方法計算定積分。u 本實驗主要研究定積分的三種近似計算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時介紹 Matlab 計算定積分的相關(guān)函數(shù)。q 矩形法u 定積分的定義：實驗二、定積分的近似計算實驗二、定積分的近似計算badxxf)(,1iiixx0 x1x2x1nxnx 1

2、x2x1ix ix nx,)(iixf ,1iiixxxiixxmax0limxnixni 1矩形法矩形法1( )(), nbiiaif x dxfx n 充分大，充分大，x 充分充分小小u 定積分的近似：l 通常我們?nèi)xxx21nabh左點法右點法中點法l 點 可以任意選取，常見的取法有： 左端點 ，右端點 和中點 。,1iiixx1ixix2/ )(1iixx()/ixhban, 1 2ixaihi, ,n步長節(jié)點u 右點法：11( )()()nnbiiaiif x dxfxhf xixu 中點法：1111( )()22(nnbiiiaiixxf x dxfxhfiixx111( )()

3、()nnbiiaiif x dxfxhf x-1ixu 左點法：左點法、右點法和中點法左點法、右點法和中點法相應(yīng)的相應(yīng)的 Matlab 程序見程序見 fuluA.m解：矩形法舉例矩形法舉例h =1/100=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 u 例：用不同的矩形法計算下面的定積分 ( 取 n=100 )， 并比較這三種方法的相對誤差。1021xdxl 左點法：niiniixhxfhxdx1121110211 )(1 0.78789399673078l 右點法：1201()1niidxhf xx 0.78289399673078 0.78540024673078nii

4、ixxfhxdx11102)2(1l 中點法：(i = 0,1,2,.,100)11020arctan1dxxx40.78789399673078/4/40.003178l 理論值：l 左點法相對誤差：0.78289399673078/4/40.0031880.78540024673078/4/4 -62.65310 u 誤差分析矩形法舉例矩形法舉例l 右點法相對誤差：l 中點法相對誤差：不同的方法有不同的計算精度有沒有更好的近似計算定積分的方法有沒有更好的近似計算定積分的方法 ?)(xfab1ixixxyobadxxfS)(1S2SiSnSniibaSdxxfS1)(定積分幾何意義定積分幾何

5、意義iSiiiixyyS21nixfyii, 2 , 1 ),(u 曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似u 整個曲邊梯形的面積：badxxfS)(iniiiniixyyS1112梯形法梯形法u 如果我們 n 等分區(qū)間 a,b，即令：badxxfS)(niiiiniiiniiyyhxyyS1111122nxxx21nabh那么那么22)(110nnbayyyyhdxxf梯形公式梯形公式梯形法梯形法梯形公式與中點公式有什么區(qū)別梯形公式與中點公式有什么區(qū)別 ?Matlab 程序見程序見 fuluB.m解：101120122nndxyyhyyx 0.78539399673078u 例：用梯形法

6、計算下面定積分 ( 取 n=100 )， 并計算相對誤差梯形法舉例梯形法舉例1021xdxa=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) l 相對誤差：0.78539399673078/4/4-65.30510 u 2n 等分區(qū)間 a,b ，得該直線用拋物線代替，計算精度是否會更好？11, , 0,1,22ibahxihinnu 計算每個節(jié)點上的函數(shù)值：nixfyii2 , 1 , 0 ),(拋物線法拋物線法u 在區(qū)間 x0, x2 上，用過以下三點),( ),( ),(222111000yxPy

7、xPyxP的拋物線來近似原函數(shù) f (x) 。u 設(shè)過以上三點的拋物線方程為：則在區(qū)間則在區(qū)間 x0, x2 上，有上，有y = x2 + x + = p1(x) 2020)()(1xxxxdxxpdxxf20) (2xxdxxx20 2 3 23xxxxx20012 (4)6xxyyy012 (4)6bayyyn拋物線法拋物線法3322202020()()()32xxxxxx 22200022()()6xxxxxx 22020()2 ()4xxxx u 同理可得：)4(6)( )4(6)(2122243222242nnnxxxxyyynabdxxfyyynabdxxfnnu 相加即得：222

8、1222121( )( ) (4) 6iinbxaxiniiiif x dxf x dxbayyyn拋物線法拋物線法u 整理后可得：)(2 )(46 )(2242123120nnnbayyyyyyyynabdxxf或辛卜生 (Simpson) 公式拋物線法公式拋物線法拋物線法Matlab 程序見程序見 fuluC.m)(461123120102nnyyyyynabxdx 0.78539816339745)(22242nyyyu 例：用拋物線法計算下面定積分 ( 取 n=100 )， 并計算相對誤差1021xdx解：a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2

9、 ) 0.78539816339745/4/4-162.82710 l 相對誤差：拋物線法拋物線法u 梯形法：trapztrapz(x,y)x 為分割點節(jié)點組成的向量，為分割點節(jié)點組成的向量，y 為被積函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值組成的為被積函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值組成的向量。向量。22)(110nnbayyyynabdxxf,x10nxxx01y (),(),()nf xf xf xq Matlab 近似計算定積分的相關(guān)函數(shù)Matlab 計算定積分函數(shù)介紹計算定積分函數(shù)介紹前面的做法u 例：用梯形法計算下面定積分 ( 取 n=100 1021xdx解：a=0, b=1, n=100, yi = f (x

10、i) = 1/( 1+xi2 ) x=0:1/100:1; x=0:1/100:1; y=1./(1+x.2); y=1./(1+x.2); trapz(x, y) trapz(x, y)trapz函數(shù)函數(shù)1012120122nndxbayyyyyxntrapz(x,1./(1+x.2)trapz 舉例舉例quad(f,a,b,tol)f = f(x) 為被積函數(shù)，為被積函數(shù)，a,b 為積分為積分區(qū)間，區(qū)間，tol 為計算精度為計算精度將自變量看成是向量將自變量看成是向量badxxf)(u 拋物線法：quadl 不用自己分割積分區(qū)間l 可以指定計算精度，若不指定，缺省精度是 10-6l 精度越

11、高，函數(shù)運行的時間越長l 此處的函數(shù) f 是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運算，即 點運算：.*，./ ，. ，. 注：拋物線法拋物線法1021xdx解：解： quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1,1e-10) quad(1./(1+x.2),0,1,1e-10) quad(1./(1+x.2),0,1,1e-16) quad(1./(1+x.2),0,1,1e-16)函數(shù)表達(dá)式一定要用函數(shù)表達(dá)式一定要用 單引號單引號 括起來！括起來！涉及的運算一定要用涉及的運算一定要用 數(shù)組運算！數(shù)組運算！u 例：用 quad 計

12、算定積分：quad 舉例舉例q 拋物線法計算二重積分： dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)u tol 為計算精度，若不指定，則缺省精度為 10-6( , )dbcaf x y dxdy u f(x,y) 可以由 inline 定義，或通過一個函數(shù)句柄傳遞u a,b 是第一積分變量的積分區(qū)間，c,d 是第二積分變量 的積分區(qū)間按字母順序，大寫字母排在小寫字母的前面二重積分的計算二重積分的計算21201(43)Ixyydxdy f=inline(4 f=inline(4* *x x* *y+3y+3* *y2);y2); I=dblquad(f,-1,1,0,2) I=db

13、lquad(f,-1,1,0,2)u f(x,y) 中關(guān)于第一自變量的運算是數(shù)組運算， 即把 x 看成是向量，y 看成是標(biāo)量。u 也可以全部采用數(shù)組運算例2：計算二重積分 20112)34(dxdyxxy dblquad(inline(4 dblquad(inline(4* *x x* *y+3y+3* *x2),-1,1,0,2)x2),-1,1,0,2) dblquad(inline(4 dblquad(inline(4* *x x* *y+3y+3* *x.2),-1,1,0,2)x.2),-1,1,0,2)X例1：計算二重積分dblquad 舉例舉例例：計算二重積分 20112)34(

14、dxdyxxy dblquad(x,y)4 dblquad(x,y)4* *x x* *y+3y+3* *x.2 , -1, 1, 0, x.2 , -1, 1, 0, 2)2)指定 x、y 分別是第一和第二積分變量 dblquad(inline(4 dblquad(inline(4* *x x* *y+3y+3* *x.2) ,-1, 1, 0, 2)x.2) ,-1, 1, 0, 2)q 被積函數(shù) f (x,y) 的另一種定義方法：匿名函數(shù) dblquad(y,x)4 dblquad(y,x)4* *x x* *y+3y+3* *x.2 , -1, 1 , 0, 2 )x.2 , -1,

15、1 , 0, 2 )下面的命令運行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad 舉例舉例int(f,a,b) 計算計算 f 關(guān)于默認(rèn)自變量關(guān)于默認(rèn)自變量 的定積分，積分區(qū)的定積分，積分區(qū)間為間為a,b。int(f) 計算計算 f 關(guān)于默認(rèn)自變量關(guān)于默認(rèn)自變量 的不定的不定積分。積分。int(f,v,a,b) 計算函數(shù)計算函數(shù) f 關(guān)于自變量關(guān)于自變量 v 的定積分，積分的定積分，積分區(qū)間為區(qū)間為 a, bint(f,v) 計算函數(shù)計算函數(shù) f 關(guān)于自變量關(guān)于自變量 v 的不定積分的不定積分badvvf)( )f v dvfindsym(f,1)q 符號積分： int符號積分符號積分 syms x y;

16、syms x y; f=y f=y* *sin(x);sin(x); int(f,x) int(f,x) int(f,y) int(f,y) int(f) int(f) int(a+b) int(a+b)ans=-y*cos(x)ans=1/2*y2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b2u 例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果int 舉例舉例u 例：用 int 函數(shù)計算定積分：解： syms x; syms x; f=1/(1+x2); f=1/(1+x2); int(f,x,0,1) int(f,x,0,1) f=sym(1/(1+x2); f=sym(1/(1+x2

17、); int(f,x,0,1) int(f,x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1)或 int(1/(1+x2),0,1) int(1/(1+x2),0,1)1021xdx或或int 舉例舉例double(a) 將將 a 轉(zhuǎn)化為雙精度型，假設(shè)轉(zhuǎn)化為雙精度型，假設(shè) a 是字符，則取對是字符，則取對應(yīng)的應(yīng)的 ASCII 碼碼 a=3; a=3; double(a) double(a) double(a) double(a)例：ans = 3ans = 97其它相關(guān)函數(shù)其它相關(guān)函數(shù)221dxex x=1:0.001:2; x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); y=exp(x.(-2); trapz(x,y) trapz(x,y)l 梯形法：l 拋物線法： quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10) quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10)l 符號積分法： syms x syms x int(exp(x(-2),x,1,2) int(exp(x(-2),x,1,2)例 1：用 Matlab 函數(shù)近似計算積分?jǐn)?shù)值實驗數(shù)值實驗20112)(dyy