四年級(jí)學(xué)而思_1--12講

1、四年級(jí)第一講：乘法原理基礎(chǔ)班1、有五頂不同的帽子，兩件不同的上衣，三條不同的褲子。從中取出一頂帽子、一件上衣、 一條褲子配成一套裝束。問(wèn)：有多少種不同的裝束？2、四角號(hào)碼字典，用 4 個(gè)數(shù)碼表示一個(gè)漢字。小王自編一個(gè)"密碼本 "，用 3 個(gè)數(shù)碼（可取重復(fù)數(shù)字）表示一個(gè)漢字，例如，用 "011" 代表漢字 "車" 。問(wèn)：小王的 "密碼本 "上最多能表 示多少個(gè)不同的漢字？3、"IMO"是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫(xiě)， 把這 3 個(gè)字母寫(xiě)成三種不同顏色。 現(xiàn)在有五種不同顏 色的筆，按上述要求能寫(xiě)出多少種不

2、同顏色搭配的 "IMO" ？4、在右圖的方格紙中放兩枚棋子，要求兩枚棋子不在同一行也不在同一列。問(wèn)：共有多少種不同的放法？5、要從四年級(jí)六個(gè)班中評(píng)選出學(xué)習(xí)和體育先進(jìn)集體各一個(gè)（不能同時(shí)評(píng)一個(gè)班），共有多 少種不同的評(píng)選結(jié)果？6、甲組有 6 人，乙組有 8 人，丙組有 9 人。從三個(gè)組中各選一人參加會(huì)議，共有多少種不 同選法？7、如下圖，在三條平行線上分別有一個(gè)點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)（且不在同一條直線上的三個(gè) 點(diǎn)不共線）在每條直線上各取一個(gè)點(diǎn)，可以畫(huà)出一個(gè)三角形問(wèn)：一共可以畫(huà)出多少個(gè)這 樣的三角形？8、在自然數(shù)中， 用兩位數(shù)做被減數(shù)， 用一位數(shù)做減數(shù) 共可以組成多少個(gè)不同的減法算

3、式？9、一個(gè)籃球隊(duì)，五名隊(duì)員 A、B、C、D、E，由于某種原因， C 不能做中鋒，而其余四人可以分配到五個(gè)位置的任何一個(gè)上問(wèn)：共有多少種不同的站位方法？10、由數(shù)字 1、2、3、4、5、6、7、8 可組成多少個(gè) 三位數(shù)？ 三位偶數(shù)？ 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？ 百位為 8 的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 百位為 8 的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？11、某市的電話號(hào)碼是六位數(shù)的，首位不能是0，其余各位數(shù)上可以是 09 中的任何一個(gè)，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù)那么，這個(gè)城市最多可容納多少部電話機(jī)？解答1.30 種。2.1000 個(gè)。3.60 種。4.400 種。提示：第一枚棋子有 25種放法， 去掉這枚棋子所

4、在的行和列， 還有 16 個(gè)空格，所以第二枚 棋子有 16 種放法。5.30 種。6.432 種。71×4×3=12（個(gè)）890×9=810（個(gè)）94×4×3×2×1=96（種）10 8×8×8=512（個(gè)）； 4×8×8=256（個(gè)）； 4×7×6=168（個(gè)）； 1×7×6=42（個(gè)）； 1×3×6=18（個(gè)）119×10×10×10×10×10=900000（部）提高班1

5、. 用四種顏色給右圖的五塊區(qū)域染色， 要求每塊區(qū)域染一種顏色， 相鄰的區(qū)域染不同的顏色。9問(wèn)：共有多少種不同的染色方法？2由數(shù)字 1、2、3、4、5、6、7、8 可組成多少個(gè) 三位數(shù)？三位偶數(shù)？沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？ 百位為 8 的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 百位為 8 的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？答案1. 48 種。2 8×8×8=512（個(gè)）； 4×8×8=256（個(gè)）； 4×7×6=168（個(gè)）； 1×7×6=42（個(gè)）； 1×3×6=18（個(gè)）第二講：加法原理基礎(chǔ)班1. 南京去上海可以乘火車

6、、乘飛機(jī)、乘汽車和乘輪船。如果每天有 20班火車、 6班飛機(jī)、 8 班汽車和 4 班輪船，那么共有多少種不同的走法？2. 光明小學(xué)四、五、六年級(jí)共訂 300 份報(bào)紙，每個(gè)年級(jí)至少訂 99份報(bào)紙。問(wèn)：共有多少種 不同的訂法？3. 將 10 顆相同的珠子分成三份，共有多少種不同的分法？4. 在所有的兩位數(shù)中，兩位數(shù)碼之和是偶數(shù)的共有多少個(gè)？5. 用 1，2，3 這三種數(shù)碼組成四位數(shù)，在可能組成的四位數(shù)中，至少有連續(xù)兩位是2 的有多少個(gè)？6. 下圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是 1。有一只小蟲(chóng)從 O點(diǎn)出發(fā)，沿圖中格線爬行，如果它爬行 的總長(zhǎng)度是 3，那么它最終停在直線 AB上的不同爬行路線有多少條？7 如下

7、圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丙地有三條路，從甲地到丁地有兩條路，從丁地到丙地有四條路，問(wèn)：從甲地到丙地共有多少種走法？，有多少種不8書(shū)架上有 6 本不同的畫(huà)報(bào)和 7 本不同的書(shū)，從中最多拿兩本（不能不拿）同的拿法？9如下圖中，沿線段從點(diǎn) A 走最短的路線到 B，各有多少種走法？10在 11000 的自然數(shù)中，一共有多少個(gè)數(shù)字 0？11在 1500 的自然數(shù)中，不含數(shù)字 0 和 1 的數(shù)有多少個(gè)？12十把鑰匙開(kāi)十把鎖，但不知道哪把鑰匙開(kāi)哪把鎖，問(wèn)：最多試開(kāi)多少次，就能把鎖和鑰 匙配起來(lái)？答案1.38 種。2.10 種。提示：沒(méi)有年級(jí)訂 99 份時(shí)，只有三個(gè)年級(jí)各訂 100 份一種訂法；只有

8、一個(gè)年級(jí)訂 99 份時(shí)，另外兩個(gè)年級(jí)分別訂 100份和 101份，有 6種訂法；有兩個(gè)年級(jí)訂 99 份時(shí)，另外一 個(gè)年級(jí)訂 102份，有 3 種訂法。3.8 種。4.45 個(gè)。提示： 兩個(gè)數(shù)碼都是奇數(shù)的有 5×5（個(gè)），兩個(gè)數(shù)碼都是偶數(shù)的有 4×5（個(gè)）。5.21 個(gè)。提示： 與例 5 類似， 連續(xù)四位都是 2 的只有 1 種，恰有連續(xù)三位是 2 的有 4 種，恰有連 續(xù)兩位是 2 的有 16種。6.10 條。提示：第一步向下有 5 條，第一步向上有 1條，第一步向左或向右各有 2 條。73×3+2×4=17（種）86+7+15+21+6×7=

9、9 1（種） 提示：拿兩本的情況分為 2本畫(huà)報(bào)或 2 本書(shū)或一本畫(huà)報(bào)一本書(shū)9（ 1）6； （2） 10； （3） 20； （ 4）35109+180+3=192（個(gè)）118+8×8+3×8×8=264（個(gè)）129+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）我們通常解題，總是要先列出算式，然后求解?？墒菍?duì)有些題目來(lái)說(shuō)，這樣做不僅麻煩，而且有時(shí)根本就列不出算式。這一講我們介紹利用加法原理在“圖上作業(yè)”的解題方法。提高班1. 用五種顏色給右圖的五個(gè)區(qū)域染色，每個(gè)區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。 問(wèn)：共有多少種不同的染色方法？11. 小明要登 15級(jí)臺(tái)階，每步登

10、1 級(jí)或 2級(jí)臺(tái)階，共有多少種不同登法？12. 小明要登 20級(jí)臺(tái)階，每步登 2 級(jí)或 3級(jí)臺(tái)階，共有多少種不同登法？13. 有一堆火柴共 10 根，每次取走 1 3根，把這堆火柴全部取完有多少種不同取法，答案1. 420 種。解：如上圖所示，按 A，B， C， D，E 順序染色。若 B，D顏色相同，則有5×4×3×1×3=180（種）；若 B，D 顏色不同，則有5×4×3×2×2=240（種）。共有不同的染色方法 180+240=420（種）。2. 987 種。3. 114 種。4. 274 種。提示：取走 1根

11、有 1種方法，取走 2 根有 2種方法，取走 3 根有 4種方法。將 1，2，4作為數(shù)列的前三項(xiàng)，從第 4 項(xiàng)起每項(xiàng)都是它前三項(xiàng)的和，得到1，2，4，7， 13，24，44，81，149，274。第 10 項(xiàng) 274 就是取走 10 根火柴的方法數(shù)。第三講：排列基礎(chǔ)班1計(jì)算2某鐵路線共有 14 個(gè)車站，這條鐵路線共需要多少種不同的車票3有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號(hào)，問(wèn)共可 以組成多少種不同的信號(hào)？4班集體中選出了 5 名班委，他們要分別擔(dān)任班長(zhǎng)，學(xué)習(xí)委員、生活委員、宣傳委員和體 育委員問(wèn)：有多少種不同的分工方式？5由數(shù)字 1、2、3、4、5、6 可以組成

12、多少?zèng)]有重復(fù)數(shù)字的 三位數(shù)？ 個(gè)位是 5 的三位數(shù)？ 百位是 1 的五位數(shù)？ 六位數(shù)？1（ 1）30； （ 2）2002；3）156； （4） 1第四講：組合基礎(chǔ)班19982000；P28-C5 681. 計(jì)算： C315； C34×C28；2. 從分別寫(xiě)有 1、2、3、4、5、6、7、8 的八張卡片中任取兩張作成一道兩個(gè)一位數(shù)的加法 題. 問(wèn)： 有多少種不同的和？ 有多少個(gè)不同的加法算式？3. 某班畢業(yè)生中有 少次手？10 名同學(xué)相見(jiàn)了，他們互相都握了一次手，問(wèn)這次聚會(huì)大家一共握了多4.在圓周上有 12 個(gè)點(diǎn).過(guò)每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)可以畫(huà)一條直線，一共可以畫(huà)出多少條直線？過(guò)每三個(gè)點(diǎn)可以畫(huà)一個(gè)三

13、角形，一共可以畫(huà)出多少個(gè)三角形？136下圖中共有 4×416 個(gè)小方格，要把 A， B，C，D 四個(gè)不同的棋子放在方格里，每行和每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子，共有多少種放法？解答1. 455； 1999000； 112； 28.2. C28 28； P28 56.3. C28 45.4. C212 66； C312220.5. C26 15； P26 30.616×9×4×1576（種）或 4！×4！ 576（種）提高班1 5 件不同的商品陳列在櫥窗內(nèi)，排成一排。（ 1）如果某件商品不放在中間，有幾種不同排法？（ 2）如果某件商品不能放在兩端，有幾種不

14、同排法？2 有四封不同的信，隨意投入三個(gè)信筒里，有多少種不同投法？解答1（ 1）5×4× 3×2×14×3×2×196；2)3×4× 3×2×172。2 3 4 81（種）第五講：排列、組合基礎(chǔ)班1有 6 名同學(xué)參加象棋決賽，得冠軍和亞軍的名單有幾種可能的情況？2一個(gè)口袋裝有 6 個(gè)小球，另一個(gè)口袋裝有 5 個(gè)小球，所有小球的顏色都不相同。（1）從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？（2）從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？3某市電話號(hào)碼是五位數(shù)，每一數(shù)位上的數(shù)碼可以

15、是0，l ，2，8，9 中的任意一個(gè)（數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)，如 00000 也算一個(gè)電話號(hào)碼）那么這個(gè)城市最多有多少個(gè)電話號(hào)碼？4在“希望杯”足球賽中，共有27 支小足球隊(duì)參賽。（l ）如果這 27 個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽（兩隊(duì)間只比賽一次，稱作一場(chǎng)），需要比賽多少場(chǎng)？（2）如果這 27 個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠軍，共需比賽多少場(chǎng)？5如上圖，從 A地到 B 地有兩條路；從 B地到 D地有兩條路；從 A地到 C地只有一條路； 從 C地到 D地有 3 條路。那么從 A地到 D地有多少種不同走法？6 5 件不同的商品陳列在櫥窗內(nèi)，排成一排。（1）如果某件商品不放在中間，有幾種不同排法？（2）如果某件商品不能

16、放在兩端，有幾種不同排法？7有四封不同的信，隨意投入三個(gè)信筒里，有多少種不同投法？8下圖中共有 4×416 個(gè)小方格，要把 A， B，C，D 四個(gè)不同的棋子放在方格里，每行和 每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子，共有多少種放法？9.由數(shù)字 0、1、2、3、4 可以組成多少個(gè) 三位數(shù)？沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？小于 1000 的自然數(shù)？答案1由乘法原理，有 6× 5 種不同情況。2（ 1）11；（ 2）30。3100000。57。6（ 1）5× 4×3×2×1 4×3×2×196；（ 2）3

17、5;4×3×2×172。73481（種）816×9×4×1576（種）或 4！× 4！ 576（種） 9. 100； 48； 30； 124.提高班1. 從 15名同學(xué)中選 5 人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求分別滿足下列條件的選法各有多少種？ 某兩人必須入選；某兩人中至少有一人入選； 某三人中恰入選一人； 某三人不能同時(shí)都入選 .答案1. C313 286；C515 C5131716；C13·C412 1485； C515C2122937.第六講：排列組合的綜合應(yīng)用六年級(jí) 基礎(chǔ)班1.有 3 封不同的信，投入 4 個(gè)郵筒，一共有

18、多少種不同的投法？2. 甲、乙兩人打乒乓球，誰(shuí)先連勝頭兩局，則誰(shuí)贏 . 如果沒(méi)有人連勝頭兩局，則誰(shuí)先勝三局 誰(shuí)贏，打到?jīng)Q出輸贏為止，問(wèn)有多少種可能情況？233. 在 6名女同學(xué)， 5名男同學(xué)中，選 4名女同學(xué)， 3名男同學(xué)，男女相間站成一排，問(wèn)共有 多少種排法？4. 用 0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比 300000 大的無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)？5. 有兩個(gè)小盒子，第一個(gè)盒子中有標(biāo)有數(shù)字1，2， 3， 10 的十張卡片，第二個(gè)盒子中有標(biāo)有 11，12，13，20的十張卡片 . 若從兩個(gè)盒子中各拿出一張卡片相加，一共可列出 多少種不同的加法式子？6. 小文和小靜兩位同學(xué)幫花店扎花

19、， 要從三只籃子中各取一只花扎在一起， 已知每只籃子里 都有 3 種不同的花，問(wèn)她們可以扎成多少種不同式樣的花束？7. 某學(xué)校組織學(xué)生開(kāi)展登山活動(dòng) . 在山的北坡有兩條路直通山項(xiàng)；在山的南坡也有兩條路， 一條直通山頂， 另一條通向山腰小亭， 從小亭有兩條路通向山頂； 山的西坡有兩條路通向 山間寺廟，由寺廟有兩條路通向山頂 . 要登上山頂共有多少種不同的道路？解答1.若投一封信看作一個(gè)步驟， 則完成投信的任務(wù)可分三步， 每封信 4 個(gè)郵筒都可投， 即每個(gè) 步驟都有 4 種方法 .故由乘法原理：共有不同的投法 4×4×4=64 種.2. 甲（或乙）勝就寫(xiě)一個(gè)甲（或乙）字，畫(huà)樹(shù)形

20、圖：由圖可見(jiàn)共有 14 種可能 .甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙 甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙 .3. 現(xiàn)有 4名女同學(xué)， 3名男同學(xué)，男女相間站成一排，則站在兩端的都是女同學(xué) . 將位置從 右到左編號(hào)，第 1、3、5、7號(hào)位是女同學(xué)，第 2、4、6 號(hào)位是男同學(xué) . 于是完成適合題意 的 排列可分兩步：第一步：從 6名女同學(xué)中任選 4名排在第 1、3、5、7號(hào)位.有 P46種排法. 第二步：從 5名男同學(xué)中任選 3名排在第 2、4、6號(hào)位，有 P35種排法 . 因此，由乘法原理排出不同隊(duì)形數(shù)為4 P46&

21、#183;P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.4. 圖示：分兩類：第一類：十萬(wàn)位上是 3或 5之一的六位偶數(shù)有 P12·P14·P45 個(gè) .第二類：十萬(wàn)位上是 4 或 6 之一的六位偶數(shù)有 P12·P13·P45 個(gè) .1 1 4 1 1 4P12P14P45+P12P13P45=1680.5. 200 種 第一個(gè)盒子中的每一張卡片都可以與第二個(gè)盒子中的十張卡片組成 20 種加法式子 （包 括被加數(shù)與加數(shù)交換位置，例如將 111與 111 看成為兩個(gè)加法式子），而第一個(gè)盒子 中共有

22、十張卡片，則由乘法原理，共 10×20 200 種不同的加法式子。6. 27 種 每束花共有 3 只，分別取自不同的籃子， 每只籃子中都有三種不同的花， 即從每只籃子 中取出的花都有 3 種可能，由乘法原理，可以扎成 3 × 3 × 3 27 種不同的花束。 9 種 在山北坡有 2 條路，山南坡共有 11×2 3條路；在山西坡共有 2×24 條路；由加 法原理，登上山頂共有 2349 條不同的道路。提高班1. 如下圖：在擺成棋盤眼形的 20個(gè)點(diǎn)中，選不在同一直線上的三點(diǎn)作出以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三 角形，問(wèn)總共能作多少個(gè)三角形？2. 有十張幣值分別為

23、1分、2分、5分、1角、 2角、 5角、 1元、 2元、 5元、 10元的人民 幣，能組成多少種不同的幣值？并請(qǐng)研究是否可組成最小幣值1分與最大幣值 （總和） 之間的所有可能的幣值 .3從 19，20，21， 97，98， 99 這 81 個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選 法總數(shù)是多少？4.現(xiàn)有五元人民幣 2張，十元人民幣 8 張，一百元人民幣 3 張，用這些人民幣可以組成多少 種不同的幣值？解答1.五點(diǎn)共線有 4 組，四點(diǎn)共線的有 9組，三點(diǎn)共線的有 8 組，利用排除法：3 3 3 3C 因?yàn)槿我粡埲嗣駧诺膸胖刀即笥谒袔胖当人〉娜嗣駧诺膸胖档暮停?例如 1 角的大于 1 分、2

24、分、5 分的和，因此不論取多少?gòu)垼鼈兘M成的幣值都不重復(fù)，所以組成的幣值與組20-4C35-9C合總數(shù)一致，有 104-8CC110+C210+ +C 1010=210-1=1023 種. 因?yàn)橛蛇@些人民幣能組成的最小的幣值是1 分，最大的幣值是十張幣值的和，即1888 分，而 1023< 1888，可見(jiàn)從 1分到 1888 分中間有一些幣值不能組成 .3 =1140- 4×10 - 9×4-8 =1056.3. 解：從 19 到 99 共計(jì) 81 個(gè)不同的整數(shù)，其中有 41 個(gè)奇數(shù)、 40 個(gè)偶數(shù)。 若選取兩數(shù)之和為偶數(shù)， 則必須且只須選取的兩個(gè)數(shù)有相同的奇偶性，

25、所以選取的方法 數(shù)分為兩類：第一類，選取兩個(gè)不同偶數(shù)的方法數(shù)；第二類，選取兩個(gè)不同奇數(shù)的方法數(shù)。 依加法原理，這兩類方法數(shù)的總和即為所求的方法數(shù)。第一類是從 40個(gè)偶數(shù)中選取兩個(gè)不同偶數(shù)的方法數(shù)， 先取第一個(gè)偶數(shù)有 40 種方法，從 其余 39 個(gè)偶數(shù)中選擇第 2 個(gè)有 39 種方法，依乘法原理，共有 40×39 種不同的方法，但注 意選取第 1個(gè)數(shù)比如 30，選取第 2 個(gè)數(shù)比如 32 ，與選第 1個(gè)數(shù) 32，再選第 2 個(gè)數(shù) 30，是 同一組。所以總的選法數(shù)應(yīng)該折半，第二類是從 41 個(gè)奇數(shù)中選取兩個(gè)不同奇數(shù)的方法數(shù)，與上述方法相同，4. 75 種。由 2 張五元的人民幣和 8

26、張十元的人民幣可以組成： 5， 10，15， 90 共 18 種幣值 . 這與 18 張五元人民幣所能組成的幣值相當(dāng)，故我們將2張五元和 8張十元的人民幣就當(dāng)成18 張五元的人民幣， 這 18 張五元幣與 3 張百元幣所組成的幣值取決于這兩種人民幣的不同 搭配對(duì)于五元幣可以有 0，l ， 2， 18共19種取法，而對(duì)于百元幣可以有 0，l，2，3 共 4 種取法， 由乘法原理， 則應(yīng)有 19× 4 76 種搭配方法； 再?gòu)钠渲谐ノ逶獛藕桶僭獛哦?不取的一種情形，則共有 75 種組合幣值。第七講：有趣的數(shù)陣基礎(chǔ)班1. 在下列各圖空著的方格內(nèi)填上合適的數(shù)，使每行、每列及每條對(duì)角線上的三

27、數(shù)之和都等 于 27 。2. 將下圖中的數(shù)重新排列，使得每行、每列及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。3. 在下圖的每個(gè)空格中填入一個(gè)數(shù)字，使得每行、每列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和 都相等。4. 在上圖的每個(gè)空格中填入一個(gè)數(shù)字，使得每行、每列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和 都等于 24。5. 下列各圖中的九個(gè)小方格內(nèi)各有一個(gè)數(shù)字，而且每行、每列及每條對(duì)角線上的三個(gè) 數(shù)之和都相等，求 x。6. 在下圖的空格中填入七個(gè)自然數(shù)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都 等于 48。7. 在下圖的每個(gè)空格中填入不大于 12 且互不相同的九個(gè)自然數(shù)，使得每行、每列、每 條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于 21。習(xí)

28、題答案12.345. （1）11； （2）9。提示：1）右下角的數(shù)為（3+7）÷2=5，所以x=8×2-5=11 。（ 2）右下角的數(shù)為（ 5+9）÷2=7，中心數(shù)為（ 6+9）-7=8 ，所以 x=8×2-7=9 6提示：左下角的數(shù)為（ 13+27）÷ 2=20，中心數(shù)為 48÷3=16。第八講：數(shù)學(xué)游戲基礎(chǔ)班1. 桌上有 30 根火柴，兩人輪流從中拿取，規(guī)定每人每次可取1 3 根，且取最后一根者為贏。問(wèn)：先取者如何拿才能保證獲勝？2. 有 1999 個(gè)球，甲、乙兩人輪流取球，每人每次至少取一個(gè)，最多取5 個(gè)，取到最后一個(gè)球的人為輸

29、。如果甲先取，那么誰(shuí)將獲勝？3. 甲、乙二人輪流報(bào)數(shù)，甲先乙后，每次每人報(bào)14 個(gè)數(shù)，誰(shuí)報(bào)到第 888個(gè)數(shù)誰(shuí)勝。誰(shuí)將獲勝？怎樣獲勝？4. 有兩堆枚數(shù)相等的棋子，甲、乙兩人輪流在其中任意一堆里取，取的枚數(shù)不限，但 不能不取，誰(shuí)取到最后一枚棋子誰(shuí)獲勝。如果甲后取，那么他一定能獲勝嗎？5. 黑板上寫(xiě)著一排相連的自然數(shù) 1，2，3，51。甲、乙兩人輪流劃掉連續(xù)的 3 個(gè)數(shù)。 規(guī)定在誰(shuí)劃過(guò)之后另一人再也劃不成了，誰(shuí)就算取勝。問(wèn)：甲有必勝的策略嗎？6. 有三行棋子，分別有 1，2，4 枚棋子，兩人輪流取，每人每次只能在同一行中至少 取走 1 枚棋子，誰(shuí)取走最后一枚棋子誰(shuí)勝。問(wèn)：要想獲勝是先取還是后??？7.

30、 甲、乙兩人輪流報(bào)數(shù)，必須報(bào) 14 的自然數(shù)，把兩人報(bào)出的數(shù)依次加起來(lái)，誰(shuí)報(bào)數(shù) 后加起來(lái)的和是 1000，誰(shuí)就取勝 . 如果甲要取勝，是先報(bào)還是后報(bào)？報(bào)幾？以后怎樣報(bào)？習(xí)題答案1. 先取者取兩根，以后每次把 4 的倍數(shù)根火柴留給對(duì)方取。先取者獲勝。2. 乙勝。無(wú)論甲取幾個(gè)球，只要乙接著取的球數(shù)與甲所取的球數(shù)之和為 6 即可。因?yàn)?1999÷6 余 1，所以最后一個(gè)球被甲取走。3. 甲勝。甲先報(bào) 3 個(gè)數(shù)，以后每次與乙合報(bào) 5 個(gè)數(shù)即可獲勝。314. 甲必勝。5. 甲先劃，把中間 25，26，27這三個(gè)數(shù)劃去，就將 1到51這 51個(gè)數(shù)分成了兩組，每 組有 24 個(gè)數(shù)。這樣，只要乙在某

31、一組里有數(shù)字可劃，那么甲在另一組里相對(duì)稱的位置上就 總有數(shù)字可劃。因此，若甲先劃，且按上述策略去進(jìn)行，則甲必能獲勝。6. 先取。從 4 枚棋子的行中取走 1 枚。7. 解：把勝利者報(bào)完數(shù)后累加起來(lái)的和倒著進(jìn)行排列：1000、995、990、985、 10、5，這是一等差數(shù)列，公差 d=5.且每個(gè)數(shù)都能被 5 整除.因此，勝利者第一次報(bào)完數(shù)后應(yīng)為 5，而進(jìn)行的是 14 報(bào)數(shù)，所以甲要取勝，應(yīng)讓乙先報(bào) . 然后根據(jù)乙報(bào)幾，甲就報(bào) 5減幾， 這樣就能確保甲取勝 .提高班1. 有 1994 個(gè)格子排成一行， 左起第一個(gè)格子內(nèi)有一枚棋子， 甲、乙兩人輪流向右移動(dòng)棋子， 每人每次只能向右移動(dòng) 1格、 2格

32、、 3格或 4格，誰(shuí)將棋子走到最后一格誰(shuí)敗 .那么甲為 了取勝，第一步走幾格？以后又怎樣走？2.54 張撲克牌，兩人輪流拿牌，每人每次只能拿1 張到 4 張，誰(shuí)拿到最后一張誰(shuí)輸，問(wèn)先拿牌的人怎樣確保獲勝？習(xí)題答案1. 解：把這 1994個(gè)格子從左至右編上號(hào)碼為 1，2， 1994.把勝利者每走一步棋子所落 入的號(hào)數(shù)倒著進(jìn)行排列： 1993、1988、1983、1978、， 這是一等差數(shù)列， 公差 d=5， 且每個(gè)數(shù)被 5除都余 3. 因而勝利者走第一步棋子所落入的號(hào)數(shù)是3號(hào).所以，甲為了取勝，第一步向右移動(dòng) 2格. 然后乙向右移動(dòng)幾個(gè)格，甲就向右移動(dòng)5 減幾個(gè)格，這樣就能確保獲勝 .2. 解：

33、把這 54 張撲克牌進(jìn)行編號(hào) 154，不妨設(shè)甲要取勝 .把甲每次所拿牌中的最大序號(hào)倒 著進(jìn)行排列： 53、48、43、38、，這個(gè)等差數(shù)列的公差為 5，且每個(gè)數(shù)被 5 除均余 3，因此甲第一次應(yīng)拿 3張牌，以后乙拿幾張， 甲就拿 5減幾張， 這樣就能確保甲勝 .第九講：簡(jiǎn)單的幻方及其他數(shù)陣圖基礎(chǔ)班1. 在下圖兩分圖的空格中填入不大于15 且互不相同的自然數(shù)（其中已填好一個(gè)數(shù)），使 每一橫行、豎列和對(duì)角線上的三數(shù)之和都等于 30.2. 將九個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入 3行 3 列的九個(gè)空格中，使每一橫行及每一豎列的三個(gè)數(shù)之 和都等于 60.3. 將從 1 開(kāi)始的九個(gè)連續(xù)奇數(shù)填入 3 行 3 列的九個(gè)空格中

34、，使每一橫行、每一豎列及 兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等 .4. 將 16 六個(gè)自然數(shù)字分別填入下圖的圓圈內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于定 數(shù) S，指出這個(gè)定數(shù) S 的取值范圍 . 并對(duì) S=11 時(shí)給出一種填法 .5. 將 110 這十個(gè)自然數(shù)分別填入下左圖中的10 個(gè)圓圈內(nèi)，使五邊形每條邊上的三數(shù) 之和都相等，并使值盡可能大習(xí)題答案1. 提示：首先找出中心數(shù)為 10，然后設(shè)某一個(gè)空格數(shù)為 x，根據(jù)橫行、豎列、對(duì)角線的和都等于 30 ，填上其余各數(shù)（含 x ）再由各數(shù)互不相同，且不大于 15 確定各數(shù) .2. 提示：在三階幻方的基礎(chǔ)上每個(gè)數(shù)增加 15 即可 .3. 提示：與三階幻方類似4

35、. 分析 設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)為 x、 y、 Z，三條邊中點(diǎn)處放置 a、 b、 c ，每邊三數(shù)之和為 S.2 (X+y+z) +a+b+CH3s¾x+y+z+a+b+c"+2+6h21S經(jīng)過(guò)試探、搜索知道：頂點(diǎn)放 2、 4、 6，而 2、4 之間放 5，2、6 之間放上 3，4、6之 間放上 1，即可 .5.提高班1.將 18 填入上右圖中圓圈內(nèi)，使每個(gè)大圓周上的五個(gè)數(shù)之和為21.答案456.第十講：數(shù)字綜合題選講基礎(chǔ)班1. 計(jì)算從1到 2007 的所有奇數(shù)之和 .4. 求從 1 到 2008 的自然數(shù)中有多少個(gè)數(shù)除以 3 余 2？5. 將所有自然數(shù)按圖排列成一個(gè)“數(shù)字塔”形，問(wèn)：（

36、1）第 100 行的最后一個(gè)數(shù)是多少？（2）前 100 行共有多少個(gè)數(shù)？（3）第 100 行有多少個(gè)數(shù)？（4）第 100 行的第一個(gè)數(shù)是多少？（5）第 100 行中間那個(gè)數(shù)是多少？6一個(gè)四位數(shù)，劃掉它的個(gè)位數(shù)字得第二個(gè)數(shù)；劃掉它的個(gè)位、十位上的數(shù)字得第三 個(gè)數(shù)已知這三個(gè)數(shù)的和為 4212 ，求這個(gè)四位數(shù)答案1994009解 從 1至2007 共有奇數(shù)：2008÷2=1004（個(gè)）這些奇數(shù)之和為 1004 × 1004= 10080163解 因?yàn)榱粩?shù) 111111 被 7 整除，即 111111÷7=15873而且 1994 ÷ 6=332 211

37、47;7=144 669解 從小到大列出這些數(shù)：2， 5， 8，11， 1994 第二個(gè)數(shù)： 5=2+3× 1第三個(gè)數(shù)： 8=2+3× 2第四個(gè)數(shù)： 11=2+3× 3第五個(gè)數(shù)： 14=2+3 × 4第 K 個(gè)數(shù)： 2+3×（ K-1 ）2008=2+3×（ 669-1 ），所以從 1 至 2008 有 669 個(gè)除以 3 余 2 的數(shù)5（ 1）10000；（ 2）10000；（ 3）199；（4）9802；（5）9901解（ 1）先列出下表規(guī)察規(guī)律：從上表不難看出第 100 行的最后一個(gè)數(shù)是：100× 100=10000

38、（2）前 100 行中數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)為各行中數(shù)的個(gè)數(shù)之和：（3）第 100 行中數(shù)的個(gè)數(shù)就是自 1 開(kāi)始的第 100 個(gè)奇數(shù)，等于：1+2×（ 100-1 ） =199（4）由于第 100 行共有 199 個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)是 10000，所以第一個(gè)數(shù)是： 10000-199+1=9802（5）由于第 100 行共有 199 個(gè)數(shù)，所以中間一個(gè)數(shù)應(yīng)該是從左數(shù)第 100 個(gè)數(shù)，即 9802+（ 100-1 ） =99016所求四位數(shù)為3796提高班1已知數(shù) 87888990153154155 是由自然數(shù) 87到 155依次排列而成的，從左至右第 88 位 上的數(shù)字是幾？答案1從左至右的第 8

39、8 位上的數(shù)字為 120 的十位數(shù)字，是 2第十一講：數(shù)字謎基礎(chǔ)班1媽媽殺好魚(yú)后，讓小明幫助燒魚(yú)他洗魚(yú)、切魚(yú)、切姜片蔥花、洗鍋煎燒，各道工 序共花了 17 分鐘（如下圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)順序，使花費(fèi)的時(shí)間最少2用一只平底鍋煎餅，每次能同時(shí)放兩個(gè)餅如果煎一個(gè)餅需要4 分鐘（假定正、反面各需 2 分鐘），問(wèn)煎 15 個(gè)餅至少需要幾分鐘？3趙師傅要加工某項(xiàng)工程急需的 5 個(gè)零件，如果加工零件 A、B、C、D、E 所需時(shí)間分 別是 5 分鐘、 3 分鐘、 4 分鐘、 7 分鐘、 6 分鐘問(wèn)應(yīng)該按照什么次序加工，使工程各部件 組裝所耽誤的時(shí)間總和最少？這個(gè)時(shí)間是多少？4小芳為家里做飯，她擇菜需要 8分鐘，

40、洗菜 5分鐘，空水 3 分鐘，洗米 3分鐘，煮 飯 10 分鐘，切菜 4 分鐘，炒菜 6 分鐘若小芳家使用的是單火眼煤氣灶，她怎樣安排做飯 順序最省時(shí)合理？若小芳家使用的是雙火眼煤氣灶，又將怎樣安排才合理？最省時(shí)間分別 是多少？5在一條公路上，每隔 100 千米有一座倉(cāng)庫(kù)，共有五座，圖中數(shù)字表示各倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存貨 物的重量現(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，如果每噸貨物運(yùn)輸 1 千米需要運(yùn) 費(fèi) 0.5 元，那么集中到哪個(gè)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)費(fèi)最少，需要多少錢？6有兩個(gè)面粉廠供應(yīng)三個(gè)居民區(qū)的面粉，甲廠月產(chǎn)60 噸，乙廠月產(chǎn) 100 噸第一居民區(qū)每月需要面粉 45噸，第二居民區(qū)每月需要 75噸，第三居民區(qū)每月需要

41、 40 噸甲、乙 兩廠與三個(gè)居民區(qū)的距離如下表所示，問(wèn)如何分配面粉，才能使運(yùn)費(fèi)最??？（單位：千米）習(xí)題答案1 12 分鐘2 30 分鐘3按 B、 C、A、E、D的順序加工，耽誤時(shí)間總和最少為：3 ×5+4×4+5×3+6× 2+7=65（分鐘）4（ 1）若小芳家使用單火眼灶具，則炒菜和煮飯不能同時(shí)進(jìn)行，可這樣安排：洗米3分鐘，煮飯 10分鐘（同時(shí)擇菜、洗菜），補(bǔ)洗菜 3分鐘，空水 3 分鐘，切菜 4 分鐘，炒菜 6 分鐘，共計(jì) 3+10+3+3+4+6=29（分鐘）（ 2）若小芳家使用雙火眼灶具，則炒菜和煮飯可同時(shí)進(jìn)行這樣安排：擇菜8 分鐘，洗菜 5分鐘，空水 3分鐘（同時(shí)洗米） ，煮飯 10分鐘（同時(shí)切菜、 炒菜），共計(jì) 8+5+3+10=26 （分鐘）5運(yùn)到 D倉(cāng)庫(kù)最省運(yùn)費(fèi)，為 8500 元解 貨物總重量為 10+30+20+10+60=130（噸），可以看出，各倉(cāng)庫(kù)的貨物重量均不超過(guò)總重