[理學(xué)]第一章典型例題

1、2021-12-2512021-12-252教材及指導(dǎo)書 一、教材：一、教材： 梁昆淼編，梁昆淼編，數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，第四版，高等教育出，第四版，高等教育出版社，版社，20102010年年1 1月月 二、主要的參考書：二、主要的參考書： 吳崇試吳崇試 編著，編著，數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法，第二版，第二版， 北京大北京大學(xué)出版社，學(xué)出版社，20032003年年1212月月成績測定：作業(yè)30%上課出席參與10% 考試60%聯(lián)系方式：2021-12-253主要內(nèi)容: 1 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 2 2 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 3 3 冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開 4 4 留數(shù)定理留數(shù)定理 5 5 傅

2、立葉變換傅立葉變換 6 6 拉普拉斯變換拉普拉斯變換參考書：參考書： Lars V.Ahlfors 著，趙志勇等譯，著，趙志勇等譯，復(fù)分復(fù)分析析 機械工業(yè)出版社，機械工業(yè)出版社，2005。2021-12-2542021-12-255例例1 1 求出求出 的值的值.2)2( 解解)2ln(22)2( e )2(2ln2 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike), 2, 1, 0( k注：本例關(guān)鍵在于點在第二象限。注：本例關(guān)鍵在于點在第二象限。Arg(z)=(2k+1)2021-12-256解解例例2 2 試求試求 函數(shù)值及其主值函數(shù)值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)

3、1(iiiei kiie242ln)1(ln222ln244kike 2ln4sin2ln4cos224iek), 2, 1, 0( k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1( ieiiln222ln244kike2021-12-257例例3 3 證明證明;2sin21sin2sin)sin(0 nkyynynxkyx;2sin21sin2cos)cos(0 nkyynynxkyx證證, )cos(0 nkkyxA令令, )sin(0 nkkyxB. 02sin y其中其中2021-12-258 nkkyxie0)( nkikyixee0iyyniixeee 1

4、1)1(2sin21sin2yyneeyniix .2sin21sin2sin2cosyynynxiynx 實部與實部對應(yīng)相等實部與實部對應(yīng)相等, , 虛部與虛部對應(yīng)相等虛部與虛部對應(yīng)相等, , 命題得證命題得證. . nknkkyxikyxiBA00)sin()cos(則則2021-12-259例例4 4證證,)(, ivuzfiyxz 令令,),( 2222yxyxyxu 則則,2),(22yxxyyxv 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk . 0 )0( )( 限不存在限不存在時的極時的極當當證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzzf , 趨于零時趨于零時沿直線

5、沿直線當當kxyz 根據(jù)定理一可知根據(jù)定理一可知, , 值的變化而變化值的變化而變化隨隨 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxvyyxx . )(lim0不存在不存在zfz2021-12-2510例例 求求 以及它們相應(yīng)的主值以及它們相應(yīng)的主值. .解解 因為因為 , 所以它的主值就是所以它的主值就是ln2. (k為整數(shù)為整數(shù)), 所所以它的主值是以它的主值是ln(- -1)= i. 在實變函數(shù)中在實變函數(shù)中, , 負數(shù)無對數(shù)負數(shù)無對數(shù), , 此例說明在復(fù)數(shù)范此例說明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立圍內(nèi)不再成立. . 而且正實數(shù)的對數(shù)也是無窮多值的而且正實數(shù)的對數(shù)也是無窮多值的. . ln2

6、ln22k i ln1ln1Arg( 1)21iki ln2,ln12021-12-2511例例6 6 研究函數(shù)研究函數(shù)f(z)=z2, g(z)=x+2yi和和h(z)=|z|2的解析性的解析性.解解 由解析函數(shù)的定義可知由解析函數(shù)的定義可知, f(z)=z2在復(fù)平面內(nèi)是解析的在復(fù)平面內(nèi)是解析的, , 而而g(z)=x+2yi卻處處不解析卻處處不解析. . 下面研究下面研究h(z)=|z|2的解析性的解析性. 由于由于22000000000()()|()()h zzh zzzzzzzz zzz zzzzzzz 易見易見, , 如果如果z0=0, 則當則當 z0時時, , 上式的極限是零上式的

7、極限是零. . 如果如果z0 0, 令令z0+ z沿直線沿直線 y-y0=k(x-x0) 趨于趨于z0, 由于由于k的任意性的任意性,2021-12-2512所以所以, , 當當 x0時時, ,比值比值00()()h zzh zz 的極限不存在的極限不存在. . 因此因此, , h(z)=|z|2僅在僅在z=0處可導(dǎo)處可導(dǎo), , 而在其他點都不可而在其他點都不可導(dǎo)導(dǎo). . 由定義由定義, , 它在復(fù)平面內(nèi)處處不解析它在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.1111yizxyikixyzxyikiix 不趨于一個確定的值不趨于一個確定的值. 2021-12-2513例例7 7 研究函數(shù)研究函數(shù) 的解析性的解析性.

8、1/wz解解 因為因為w在復(fù)平面內(nèi)除點在復(fù)平面內(nèi)除點z=0外處處可導(dǎo)外處處可導(dǎo), , 且且21,dwdzz 所以在除所以在除z=0外的復(fù)平面內(nèi)外的復(fù)平面內(nèi), , 函數(shù)函數(shù)1wz處處解析處處解析, , 而而z=0是它的奇點是它的奇點. .2021-12-2514例例8 8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 問常數(shù)問常數(shù)a,b,c,d取何值時取何值時, , f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析?解解 由于由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,vx=2cx+dy, vy=dx+2y從而要使從而要使ux=vy, uy=- -vx,只需只需2x+a

9、y=dx+2y, 2cx+dy=- -ax- -2by.因此因此, 當當a=2, b=- -1, c=- -1, d=2時時, 此函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處此函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析解析, 這時這時 f(z)=x2+2xy- -y2+i(- -x2+2xy+y2)=(1- -i)(x+iy)2=(1- -i)z22021-12-2515例例9 9 如果如果f (z)在區(qū)域在區(qū)域B處處為零處處為零, , 則則f(z)在在B內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù).證證 因為因為00)(yvxvyuxuyuiyvxvixuzf故 所以所以u=常數(shù)常數(shù), v=常數(shù)常數(shù), 因而因而f(z)在在B內(nèi)是常數(shù)內(nèi)是常數(shù).2021-12-2

10、516證證zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),( yxyixyx.)(33僅在原點有導(dǎo)數(shù)僅在原點有導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)證明函數(shù)iyxzf 例例1010. .在在再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存再證其他處的導(dǎo)數(shù)不存. 00)(處的導(dǎo)數(shù)為處的導(dǎo)數(shù)為在在故故 zzf2021-12-2517)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf 030300)()(xxxxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0yyz 則則沿路徑沿路徑若若,0 xxz .)(, 000的導(dǎo)數(shù)不存在的導(dǎo)數(shù)不存在否則否則故除非故除非zfyx )(3)()()(0200303

11、00yyyyyiiyiyzzzfzf 當當)(3020 xxx當當2021-12-2518例例1111 函數(shù)函數(shù) 在何處在何處可導(dǎo)，何處解析可導(dǎo)，何處解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2, 12yuxuyx ,2),(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 僅在直線僅在直線 上可導(dǎo)上可導(dǎo).)(zf21 y故故 在復(fù)平面上處處不解析在復(fù)平面上處處不解析.)(zf時時，當且僅當當且僅當21 y,21)(,不解析不解析上處處上處處在直線在直線由解析函數(shù)的定義知由解析函數(shù)的定義知 yzf2021-12-2519例例1212 設(shè)設(shè)

12、 為解析函數(shù)，求為解析函數(shù)，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 設(shè)設(shè)ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故. 3, 3, 1 cba2021-12-2520例例1313 討論函數(shù)討論函數(shù) 在原點的可導(dǎo)性在原點的可導(dǎo)性. 0,00,)(21zzezfz01lim0)0()(lim)0(2100 xexzfzffxz 2

13、11lim0)0()(lim00yeyizfzfyz,0)0()(lim0 zfzfz故故 在原點不可導(dǎo)在原點不可導(dǎo).)(zf解解當當 沿正虛軸沿正虛軸 趨于趨于0時，有時，有iyz z,0時時趨于趨于函數(shù)沿函數(shù)沿xz 2021-12-2521 設(shè)設(shè) 為為 平面上任意一定點平面上任意一定點, ,000iyxz z0000)Re(1)()(zzzzzzzfzf 當點當點 沿直線沿直線 趨于趨于 時時, ,有有z)(0 xiyxz0z00001)()(xxxxzzzfzf 2 解解例例1414 研究研究 的可導(dǎo)性的可導(dǎo)性.zzzfRe)( )(01)()(000yyizzzfzf , 1 當點當點

14、 沿直線沿直線 趨于趨于 時時, ,有有z)(0 yiyxz0z的任意性知的任意性知處不可導(dǎo)且由處不可導(dǎo)且由在在故故00)(zzzf.)(處處不可導(dǎo)處處不可導(dǎo)zf2021-12-2522例例15 證證, )( xyzf 因為因為0, , vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在點柯西黎曼方程在點 z. 0 0 )( 不可導(dǎo)不可導(dǎo)西黎曼方程但在點西黎曼方程但在點滿足柯滿足柯在點在點證明函數(shù)證明函數(shù) zzxyzf2

15、021-12-2523 , 趨于零時趨于零時沿第一象限內(nèi)的射線沿第一象限內(nèi)的射線但當?shù)攌xyz 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 變化變化隨隨 k , 0)0()(lim 0不存在不存在故故 zfzfz . 0 )( 不可導(dǎo)不可導(dǎo)在點在點函數(shù)函數(shù) zxyzf2021-12-2524例例16解解)1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入將將, 0 xu, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由. )( , , ),(),()( 2zfuvDyxivyxuzf求求并且并且析析內(nèi)解內(nèi)解在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè) , 0 (2) yu得得由由 ),(

16、常數(shù)常數(shù)所以所以cu ).( )( 2常數(shù)常數(shù)于是于是icczf ugradu(x,y)=i+xuj=0y2021-12-2525例例1717證證 )( zf因為因為, 01 yuiyv , 不全為零不全為零與與所以所以yuyv , 都不為零都不為零與與如果在曲線的交點處如果在曲線的交點處yuyv 根據(jù)根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則,. , , ),( ),( 0,)( , )( 2121為常數(shù)為常數(shù)其中其中必相互正交必相互正交與與那末曲線族那末曲線族且且為一解析函數(shù)為一解析函數(shù)設(shè)設(shè)cccyxvcyxuzfivuzf 2021-12-2526線的斜率分別為線的斜率分別為中任一條曲中任一條曲與

17、與曲線族曲線族 ),( ),( 21cyxvcyxu ,21yxyxvvkuuk 根據(jù)柯西黎曼方程得根據(jù)柯西黎曼方程得 yxyxvvuukk21, 1 yyyyvuuv . ),( ),( 21相互正交相互正交與與故曲線族故曲線族cyxvcyxu . , , , , 它們?nèi)匀幌嗷フ凰鼈內(nèi)匀幌嗷フ灰粭l是鉛直的一條是鉛直的另另的切線一條是水平的的切線一條是水平的兩族中的曲線在交點處兩族中的曲線在交點處則另一個必不為零則另一個必不為零中有一個為零中有一個為零和和如果如果yyvu2021-12-2527例例18證證, 2)( xyzf 因為因為0, , 2 vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,

18、(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在點柯西黎曼方程在點 z. 0 , 0 Im)( 2不可微不可微但在點但在點滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程的實、虛部在點的實、虛部在點證明函數(shù)證明函數(shù) zzzzf2021-12-2528 , 0 z但在點但在點zfzf )0()( 2yixyx ,12 )0()(lim 00izfzfyx 因為因為 . 0 )( 不可微不可微在點在點故函數(shù)故函數(shù) zzf , 0 )0()(lim 0,0 zfzfyx2021-

19、12-2529例例1919解解根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得, 1 k,2 xxu 因為因為, 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu yxiuuzUzf )()( 因為因為kyix22 ).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求為解析函數(shù)為解析函數(shù)使使再求再求為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)使使值值求求 2021-12-2530kyix22 yix22 ,2z zzzfd2)( 根據(jù)不定積分法根據(jù)不定積分法,2cz , 1)( if由由 , 0 c得得所求解析函數(shù)為所求解析函數(shù)為.2)(222zxyiyxzf 2021-12-2531用不定

20、積分法求解例用不定積分法求解例1中的解析函數(shù)中的解析函數(shù) yxiuuzUzf )()()2(322yxyixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz ) , , )( (1為任意純虛數(shù)為任意純虛數(shù)所以常數(shù)所以常數(shù)實的任意常數(shù)實的任意常數(shù)不可能包含不可能包含的實部為已知函數(shù)的實部為已知函數(shù)因為因為czf例例2020 .3),( 23yxyyxu 實部實部解解 ) ( 為任意實常數(shù)為任意實常數(shù)c).()( 3czizf 故故)(zf2021-12-2532例例21 解解用不定積分法求解例用不定積分法求解例2中的解析函數(shù)中的解析函數(shù) )(zf .)sincos(),( yxyxyyeyxvx

21、 虛部虛部xyivvzVzf )()(1)sinsincos( yyxyyeix1)cossin(cos yxyyyexiyeiyxyeiyxiyiyexxx 1cos)(sin)()sin(cos2021-12-2533iyiyeiyxyiyexx 1sincos)()sin(cosieiyxeiyxiyx 1)(,1izeezz zzVzfd)()(zizeezzd)1( .)1(czizez ) ( 為任意實常數(shù)為任意實常數(shù)c2021-12-2534例例22 解解, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx兩邊同時求導(dǎo)數(shù)兩邊同時求導(dǎo)數(shù), 2)24)()4(22 yxyxyxyxv

22、uyy , , xvyuyvxu 且且所以上面兩式分別相加減可得所以上面兩式分別相加減可得.)( ),(2)4)( 22ivuzfyxyxyxyxvu 試確定解析函數(shù)試確定解析函數(shù)已知已知2021-12-2535, 23322 yxvy,6xyvx xyivvzf )(xyiyx623322 , 232 z zzzfd)23()(2.23czz ) ( 為任意實常數(shù)為任意實常數(shù)c2021-12-2536例例23 zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設(shè)設(shè)zxzz xyoz0 y是否可導(dǎo)是否可導(dǎo)？問問yixzf2)( 2021-12-2537xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設(shè)設(shè)zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所以所以.2)(yixzf 2021-12-2538例例2424解解 滿足下列條件的點集是什么滿足下列條件的點集是什么, , 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, , 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域? ?, 3I