微積分學(xué)基本公式

1、記記,max21nxxx ，bxxxxxann 1210在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取作和作和iinixfS )(1 ， 一一. 定積分的定義定積分的定義1. 分割分割2. 作和作和3. 取極限取極限 badxxf)(iinixf )(lim10 在在 區(qū)區(qū) 間間, ba上上 的的 定定 積積 分分 ，記為記為二二. .定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) babadxxfkdxxkf)()(2. bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( badxxf)( bccadxxfdxxf)()(. 3.3.積分對(duì)區(qū)間的可加性積分對(duì)區(qū)間的可加性則則 )()()(abMdxxfabmba . .如

2、如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 5.5.定積分中值定理定積分中值定理積分中值公式積分中值公式y(tǒng)=f(x)aboxy )(f)(d)(abfxxfbaxadttfx )()( )( )()( bxaxfdttfdxdxxa三、原函數(shù)存在定理三、原函數(shù)存在定理變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo): :bxttfxd)(dd?d)(dd)(xattfxxattfxd)(dd)(xf?d)(dd)()(xxttfx問：?jiǎn)枺?變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo): :)(xfbxttf

3、xd)(ddbxttfxd)(ddxbttfxd)(dd)(xf)()(xxf)(d)(ddxattfx)d)(dd)(uaxuttfxdxduttfuua)d)(dd)(d)(ddxattfx)()(xxf)()(d)(ddxxttfx)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx)(d)(ddxattfx)(d)(xattf)()()()(xxfxxf)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf例例1 xatdt)sin(=？ 2)(xadttf=？ 2)d)sin(2xextt=？ 2)d)sin(2xextt4sin2xx xatdt)sin(xsin 2)(xadttf

4、2x)(2xf 20202)d)sin(d)sin(xettttxxxee22sin 020tanlim xxt dtxxdttxx020cos lim例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cosxex 21cos02limxdtextx xxexx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.定理定理3.33.3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(x

5、F是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證四、牛頓四、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式).()()(aFbFdxxfba 令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ),()()(aFdttfxFxa 令令 bx牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式CxxF )()()()()(aFbFdxxfba 微積

6、分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分上的定積分可可用用它的它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間,ba端端點(diǎn)點(diǎn)上上的的值值來來表示表示. 注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.例例4 4 求求 .) 1sincos2(20 dxxx例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解

7、解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx. 6 xyo12例例6 6 求求 .1122dxx 例例6 6 求求 .1122dxx 解解21)1(112122 xdxx202cos1dxx202cos1dxx解：原式20sindxx20)sin(sindxxdxx20coscosxx4cos2cos0coscos3.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小結(jié)四、小結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)

8、與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系, )()(, ,)(xfxFbaCxf且設(shè)則有則有xxfbad)(積分中值定理積分中值定理( )()baF)()(aFbF微分中值定理微分中值定理()afb牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . . 練練 習(xí)習(xí) 題題 5

9、5、 94)1(dxxx_ . . 6 6、 33121xdx_ . . 7 7、 xdttxx020coslim_ . . 二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 計(jì)算下列各定積分：計(jì)算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)