高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問題常見的分類討論

1、在高考中導(dǎo)數(shù)問題常見的分類討論(一)熱點(diǎn)透析由于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接具有重大的作用，所以自從導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高考后，立即得到普遍地重視，在全國各地的數(shù)學(xué)高考試卷中占有相當(dāng)重的份額，許多試題放在較后的位置，且有一定的難度.分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種解題思想，如何正確地對(duì)某一問題進(jìn)行正確地分類討論，這就要求大家平時(shí)就要有一種全局的觀點(diǎn)，同時(shí)要有不遺不漏的觀點(diǎn)。只有這樣在解題時(shí)才能做到有的放矢。下面我想通過對(duì)導(dǎo)數(shù) 類題的解答的分析，來揭示如何水道渠成順理推舟進(jìn)行分類討論。(二)知識(shí)回顧1 .函數(shù)的單調(diào)性在某個(gè)區(qū)間(a, b)內(nèi)，如果f' (x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)

2、單調(diào)遞增；如果 f' (x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.2 .函數(shù)的極值(1)判斷f(x0)是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，如果在xo附近的左側(cè)f' ( x)>0 ,右側(cè)f' (x)<0 ,那么f(xo)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f' ( x)<0 ,右側(cè)f' (x)>0 ,那么f(x。)是極小值.(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求f' (x);求方程f，( x) = 0的根；檢查f ' (x)在方程f' (x)=0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么f

3、(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.3 .函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a, b上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f (x)在a, b上單調(diào)遞增，則f (a)為函數(shù)的最小值,f(b)為函數(shù)的最大值;若函數(shù) f (x)在a,b上單調(diào)遞減，則£也為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，求f (x)在a, b上的最大值和最小值的步驟如下：求f(x)在(a, b)內(nèi)的極值;將f(x)的各極值與f(a), f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.(三

4、)疑難解釋1 .可導(dǎo)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較.2 . f' (x)>0在(a, b)上成立是f(x)在(a, b)上單調(diào)遞增的充分條件.3 .對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x) , f' (x0) = 0是函數(shù)f (x)在x = x0處有極值的必要不充分條件.附件：當(dāng)堂過手訓(xùn)練(快練五分鐘，穩(wěn)準(zhǔn)建奇功！) x2+ a . 一1右函數(shù)f(x)=。在x=1處取極值，則a =答案 32x2+2xx2a x2+2x a解析 f' (x)=, . 2 =2.因?yàn)閒(x)在x=1處

5、取極值，所以1是f' (x) = 0的根，將x =x I 1x I 11代入得a =3.2 .函數(shù)f(x)=x3+ax 2在(1 , +8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .答案3,+8)解析 f' ( x) =3x2+a, f' ( x)在區(qū)間(1 , +8)上是增函數(shù)，則f' (x)=3x2+ aR0在(1, +8)上恒成立，即a>3x2在(1,十 上回成立.二.a3.3 .如圖是y=f(x)導(dǎo)數(shù)的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷：f(x)在2, 1上是增函數(shù)；x= 1是f (x)的極小值點(diǎn)；f(x)在1,2上是增函數(shù)，在2,4上是減函數(shù)；x = 3是f (

6、x)的極小值點(diǎn).其中正確的判斷是.(填序號(hào))答案解析 .一(x)在 2, - 1上是小于等于。的，f(x)在2, 1上是減函數(shù)； f' ( 1) =0且在x= 0兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值為左負(fù)右正，x= - 1是f (x)的極小值點(diǎn)；對(duì)，不對(duì)，由于f' (3) W0.4 .設(shè)函數(shù)g(x) = x(x2- 1),則g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為23'3A. - 1 B. 0C. -9-D.3-答案 C解析 g(x)=x3 x,由 gz (x) = 3x2-1 = 0,解得 x1=*3, x2= W(舍去). 335.(2011 遼寧)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(1) = 2,對(duì)任

7、意 xC R, f' (x)>2,則 f(x)>2x + 4 的解集為當(dāng)x變化時(shí)，g' ( x)與g(x)的變化情況如下表:x0Vi0，羽 3電1 31g' (x)一0十g( x)0極小值0所以當(dāng)x=H3時(shí),g(x)有最小值g* =-23 3398A. ( -1,1)C. ( 一00 , 一 1)D. ( 8,+00)答案 B解析 設(shè) m(x) = f (x) (2x +4) ,m' (x) = f' ( x) 2>0,. m x)在 R 上是增函數(shù).m( 1) = f ( 1)( 2+4) = 0,m(x)>0 的解集為x|x&

8、gt;1,即 f(x)>2x+4 的解集為(一1,十).二、高頻考點(diǎn)專題鏈接題型一.需對(duì)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與定義域或給定的區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系討論的問題。也就是要討論導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，在定義域內(nèi)要討論它給定的區(qū)間左、中、右，以確認(rèn)函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性。例1、已知函數(shù)f (x)= (ax2+bx+c)ex在0,1上單調(diào)遞減且滿足 f(0) = 1,f(1) =0.(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)g(x) =f (x) f ' (x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值.解 (1)由 f(0) =1, f(1) =0,得 c=1, a+b= 1,則 f(x) = ax2-(a+1

9、)x+1ex, f' (x) = ax2+(a-1) x司e )依題意需對(duì)任意 xC(0,1),有f' (x)<0.當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù) y=ax2+(a1)x a的圖象開口向上，而 f' (0)= a<0,所以需 f ' (1) = (a1)e<0 ,即 0<a<1.當(dāng) a=1 時(shí)，對(duì)任意 x (0,1)有 f ' (x) =(x21)ex<0, f(x)符合條件；當(dāng) a=0 時(shí)，對(duì)任意 xC(0,1) , f' (x)= xex<0, f(x)符合條件；當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閒' (

10、0) = a>0, f(x)不符合條件.故a的取值范圍為0w aw 1.(2)因?yàn)?g(x) =( -2ax+1 + a)ex,所以 g' (x) = ( 2ax+1 a)e x.(i)當(dāng)a=0時(shí)，g' (x)=ex>0, g(x)在x=0處取得最小值 g(0) =1,在x=1處取得最大值 g(1) = e.(ii)當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)于任意 xC (0,1)有g(shù)' (x) = 2xex<0, g(x)在x=0處取得最大值 g(0)=2,在x=1處 取得最小值g(1) =0.(111) 當(dāng) 0<a<1 時(shí)，由 g' (x)=0 得 x =

11、 1a >0.2a1 a 1 ,右一> 1,即0<aWq時(shí)，g(x)在0,1上單倜遞增，g(x)在x = 0處取得取小值 g(0) =1 + a,在x= 1處 2a3取得最大值g(1) = (1 a)e.若二3<1,即;<a<1時(shí)，g( x)在x = ： 3處取得最大值 g = 2ae,在x= 0或x= 1處取得最小值.2a 32a2a2a而 g(0) =1 + a, g(1) = (1 a)e ,一 ,1e 1 .則當(dāng)-<a<時(shí),g(x)在x= 0處取得取小值 g(0) = 1 + a;3e 1e 1當(dāng) F7<a<1時(shí)，g( x)在

12、x= 1處取得取小值 g(1) = (1 a)e.e變式1：設(shè)函數(shù)f x x2 bln x 1 ,其中b 0,求函數(shù)f x的極值點(diǎn)。b 2x2 2x b _，解：由題意可得 f x的定義域?yàn)?, f x 2x , f x的分母x 1在定義域x 1 x 1.、2.一 1,上恒為正，方程 2x 2x b 0是否有實(shí)根，需要對(duì)參數(shù) b的取值進(jìn)行討論。1 1當(dāng) 4 8b 0,即b 時(shí)，方程2x2 2x b 0無實(shí)根或只有唯一根 x ,所以2 2g x 2x2 2x b 0在 1, 上恒成立，則f' x 0在 1, 上恒成立，所以函數(shù)f x在 1,上單調(diào)遞增，從而函數(shù) f x在 1,上無極值點(diǎn)。

13、12當(dāng) 4 8b 0,即b 時(shí)，方程2x2 2x b 0 ,即f x 211-2b1 .'1 2bx1 , x2 。這兩個(gè)根是否都在定義域1,220有兩個(gè)不相等的實(shí)根：內(nèi)呢？又需要對(duì)參數(shù) b的取值分情況作如下討論:由此表可知：當(dāng)b 0時(shí),1當(dāng)0 b 時(shí)，x121,x21.1 2b21,f x有唯一極小值點(diǎn)x2所以K 1, x21,。此時(shí)，f x與f x隨x的變化情況如下表:X(T/)苞國/）王(巧,+x)/ （工）十0一0十遞增極大值遞減極少值遞增，一一1.由此表可知：當(dāng)0 b 時(shí)，f x有一個(gè)極大值點(diǎn)2Xi11 2b 工 人皿土一11 2b和一個(gè)極小值點(diǎn) x2 22綜上所述:當(dāng)b 0

14、時(shí)，f x有唯一極小值點(diǎn)2b"2',1 .，一，b 一時(shí)，f x有一個(gè)極大值點(diǎn)x21 2b112b1和一個(gè)極小值點(diǎn)x -1-b1 .一時(shí)，f x無極值點(diǎn)。2點(diǎn)評(píng)：從以上諸例不難看出，在對(duì)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論時(shí)，只要把握以上三個(gè)基本討論點(diǎn)，那么討論就有了 方向和切入點(diǎn)，即使問題較為復(fù)雜，討論起來也會(huì)得心應(yīng)手、層次分明，從而使問題迎刃而解。題型二 需對(duì)一元二次方程兩根大小為標(biāo)準(zhǔn)分類討論的問題。由于求單調(diào)區(qū)間通常要解一元二次不等式，要寫 出它的解，就必須知道它兩根的大小，否則就要對(duì)兩根大小分類討論。求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù) 的分子能分解因式），但不知導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根是否

15、落在定義域內(nèi)，從而引起討論。求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式），導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根也落在定義域內(nèi)，但不知這些實(shí)根的大小關(guān)系，從而引起討 論。例2、設(shè)函數(shù)jf=（工er）,其中口er .當(dāng)2芒。時(shí)，求函數(shù)了（用的極大值和極小值 解：/-'=一9+ 2度/一加K , /'（T）= -3爐+4次工一一二一0工一 一.令，。，解得K二|或% = 口 .由于口聿0,以下分兩種情況討論.（1）若以當(dāng)或變化時(shí)，的正負(fù)如下表:Xr 6a37 1 J* aiaO +80+04f八（八 4因此，函數(shù)了（工）在工二三處取得極小值/ -，且/ - - a ;3I 力27函數(shù)在k=r處取

16、得極大值/go,且/=。.（2）若白菖o,當(dāng)犬變化時(shí)，17f外的正負(fù)如下表：或(q, a)(la30十0因此，函數(shù)了5）在苫=2處取得極小值，,且/g）=o ；函數(shù)y(X)在工二處取得極大值且/a3)27評(píng)析：此題需對(duì)方程1n力=口兩根得天二色或N二口的大小分類討論，從而分為當(dāng)30兩種情況.變式2:已知函數(shù)f x2ax a2 1x R ,其中a R。(1)當(dāng)a 1時(shí)，求曲線x在點(diǎn)2, f 2 處的切線方程;(2)當(dāng)a 0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：(1)當(dāng)a1時(shí)，曲線f x在點(diǎn)2, f 2 處的切線方程為6x 25y32 0 ；(2)由于0,所以f2a x2 1 2x 2ax a2 12a

17、 x a0,得 x11,x2a取值分a點(diǎn)評(píng):x2 1 2x - a -2，1a。這兩個(gè)實(shí)根都在定義域0和a 0兩種情況進(jìn)行討論。0時(shí)，則x在x10時(shí)，則在x1R內(nèi),但不知它們之間的大小。因此,需對(duì)參數(shù)a的x x2。易得f1，一處取得極小值axx2 。易得fx在區(qū)間x在區(qū)間1 .一處取得極小值f aa,內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)。故函a2 ；函數(shù),a),(a2 ；函數(shù)f以上三點(diǎn)即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的三個(gè)基本討論點(diǎn),在x2a處取得極大值f)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間(a,在x2a處取得極大值f a在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時(shí),1。1、, -)為減函數(shù)。故函數(shù) a1。可按上述三點(diǎn)的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論。因此，對(duì)

18、含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點(diǎn)或三點(diǎn)，這時(shí)的討論就更復(fù)雜一些了，需要靈活把握。2題型二 對(duì)函數(shù)f(x) ax bx c是否為二次函數(shù)進(jìn)行討論或需對(duì)次方程的判別式進(jìn)行討論的問題。由于許多問題通過求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或二次不等式，它們對(duì)應(yīng)的二次方程是否有解,就要對(duì)判別式討論。例 3、(2012 年北京高考題)已知函數(shù) f (x) =ax2+1 (a>0) ,g(x)=x 3+bx(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1, c)處具有公共切線，求(2)當(dāng)a2=4b時(shí)，求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(-

19、OO, -1 )a、b的值; 上的最大值，解：()由1 , c為公共切點(diǎn)可得:f (x) ax2 1(a 0),貝U f (x) 2ax, k12a,32g(x) x bx,則 f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b,又 f(1) a 1, g(1) 1 b ,a 3a 1 1 b ,即a b ,代入式可得：b 3410(2) Q a2 4b,3設(shè) h(x) f (x) g(x) x212.ax -ax 14則 h(x) 3x2 2ax L2 ,令 h (x) 0 ,解得：xa , x242原函數(shù)在a單調(diào)遞增，在 a,-單調(diào)遞減，在226上單調(diào)遞增,即2 a 6時(shí)，最大值為h -

20、162a時(shí)最大值為-12若1< ?即02時(shí)，最大值為h(1) a :若微a.a右1> 一時(shí)即a>6時(shí)，最大值為h 一 1 .622綜上所述：當(dāng)a 0, 2時(shí)，最大值為h(1) a a-；當(dāng)a 2 ,419變式 3-1、已知函數(shù) f(x) , g(x) bx 3x.x a(I )若曲線h(x) f (x) g(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率為 0,求a,b的值;(n )當(dāng)a 3,)，且ab=8時(shí)，求函數(shù)(x) 93 的單調(diào)區(qū)間，并討論函數(shù)在區(qū)間 f(x)-2-1上的最小值.解：(I )函數(shù)h(x)定義域?yàn)閤|x豐-a,則 h (x)f (x)g (x)1(x a)22bx3,Q

21、 h(x)在點(diǎn)(10)處的切線斜率為0,h(1)h(1),b1 a1(1 a)23 0,2b 3 0.，解得a b0,或2,436.(x)=幽，則f(x)(x)=(x+a)(bx2+3x)(x豐-a),Q ab=8,所以 b(x) (x(x)1(24x2 22ax a3a2)a)(- a1(4x a2x 3x) (x 豐-a),3a)(6 xa),令(x)0,得xQ因?yàn)閍3,故當(dāng)x3a,或 x3 所以 一a41 1. a時(shí), 6(x)0,當(dāng)1 1 一 a時(shí),6(x)0,，31函數(shù) (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,a),( a, -a),( -a,46)；單調(diào)遞減區(qū)間為a3 -4Q a 3,當(dāng)a63a

22、 9 a，44， 62,即 a 12 時(shí)，Q(x)在-2,-1單調(diào)遞增(x)在該區(qū)間的最小值為(2)6444 6a ,a當(dāng)21時(shí)，即66a 12,Q (x)a在-2,6a 一單倜遞減，在(0, 1單調(diào)遞增,(x)在該區(qū)間的最小值為(325 2 a 108a.當(dāng) 一1時(shí)，即3 a6為(1)8 11a6時(shí)，Q(x)在-2,-1單調(diào)遞減,(x)在該區(qū)間的最小值綜上所述，當(dāng)3a 6時(shí)，最小值為12時(shí)，最小值為8-11 3a ；當(dāng) 6 a a64 一小44 6a.a25 o12時(shí)，最小值為上a2；108變式3-2、已知：函數(shù)(其中常數(shù)a< 0) . (I)求函數(shù)f x的定義域及單調(diào)區(qū)間;(n)若存

23、在實(shí)數(shù) xa,0 ,使得不等式,1 f x 一成立，求a的取值范圍.2解：(I)函數(shù)f x的定義域?yàn)閤 e2- a1ex x由f x 0,解得x aa. f x的單調(diào)遞增區(qū)間為1,單調(diào)遞減區(qū)間為,aa,a 1(n)由題意可知,a 0,且xe 十在x aa,0上的最小值小于等于1 I一時(shí), 2存在實(shí)數(shù)xa,0 ,使得不等式f1一成立20即a1時(shí),a,aa+1a 1,0x 在 a,0極小值上的最小值為f1 時(shí)，f x 在 a,0a 1a 11e .貝U e ，得 a2ln21上單調(diào)遞減，則f x在a,0上的最小值為f 0112,11 一由一一得a 2 (舍).a 21綜上所述，a ln- 1.2題

24、型四“曲線過一點(diǎn)的切線”與“曲線在該點(diǎn)處的切線”兩個(gè)概念是不同的例4、求曲線y 3x x3的過點(diǎn)A(2, 2)的切線方程.錯(cuò)解：顯然點(diǎn) A在曲線y 3x x3上，且f (x) 3 3x2 ,f (2)9.故所求切線方程為 y 29(x 2),即9x y 16 0 .錯(cuò)解反思：曲線過點(diǎn)A的切線與曲線在點(diǎn) A處的切線不同，前者既包括點(diǎn)A處的切線，也包括過點(diǎn) A但切點(diǎn)為另一點(diǎn)的切線.因此，解題時(shí)必須理清頭緒，弄清題意.正解：設(shè)切點(diǎn)為 P(%, y0), y 3 3x2, 在點(diǎn)P處的切線方程為y yo (3 3x02)(x xo).又切線過點(diǎn) A, 2(3xo xo3)(3 3xo2)(2xo),整理

25、，得 x。3 3xo240,即(xo1)(xo 2)20 . xo1 或2 .:當(dāng)xo1時(shí)，切線方程為y 2,當(dāng)xo 2時(shí)，切線方程為9x y 16 0.綜合題變式 4、已知函數(shù) f(x) 2x3 3ax2 1 (x R).(I)若f (x)在x 1處取得極值，求實(shí)數(shù) a的值；(n)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(出)求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間0,2的最小值.解：(I) f (x) 6x2 6ax,因?yàn)閒(x)在x 1處取得極值，所以 f(1) 0 ,解得a 1 .(n) f (x) 6x(x a),(1)當(dāng) a 0時(shí)，f (x) 6x2 0,則f(x)在 ， 上為增函數(shù)；(2)當(dāng)a0,即a 0時(shí)，由f

26、 (x)6x( xa)0得x a或x 0,所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為，a和0, Mf(x) 6x(x a) 0得a x 0,所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 a,0 ;(3)當(dāng)a0即a 0時(shí)，由f (x)6x(xa)0得xa或x 0,所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，0和a, ；由f (x) 6x(x a) 0 ,得0 x a,所以f (x)的單調(diào)減區(qū)間為 0, a .綜上所述，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ，；24當(dāng)a 0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為a和0,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為a,0 ； 當(dāng)a 0時(shí),f (x)的單調(diào)增區(qū)間為,0 和 a,f (x)的單調(diào)減區(qū)間為 0, a .(出)(1)當(dāng)a 0

27、即a0時(shí),由(n)可知,f(x)在0,2上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f (0) 1;(2)當(dāng) 0 a 2,即2 a 0時(shí)，由(n)可知,f(x)在 0,a 上單調(diào)遞減，在 a,2上單調(diào)遞增,所以f(x)的最小值為一3f( a) a 1;(3)當(dāng)a 2即a2時(shí)，由(n)可知，f(x)在0,2上單調(diào)遞減,所以f(x)的最小值為f (2)17 12a.綜上所述，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)的最小值為f (0) 1；當(dāng)2 a 0時(shí)，f(x)的最小值為f( a)當(dāng)a 2時(shí)，f(x)的最小值為f(2) 1712a.題型五 不等式兩邊同除一個(gè)數(shù)或式子，要討論它的正負(fù)的問題。例 5、設(shè)函數(shù) f (x) xekx

28、(k 0)(I)求曲線y f(x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程；(n)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(出)若函數(shù)f (x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.解：(I)kx ekx, f01, f 00 ,曲線y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為y(n)1 kxkx e0,得x0,則當(dāng)x 0,函數(shù)f x單調(diào)遞減,時(shí),0,函數(shù)f x單調(diào)遞增,若k 0,則當(dāng)時(shí),0,函數(shù)f x單調(diào)遞增,時(shí)，f0,函數(shù)f x單調(diào)遞減,(m)由(n)知，若0,則當(dāng)且僅當(dāng)0,則當(dāng)且僅當(dāng)1 k1 k1,即k 1時(shí)，函數(shù)f x 1,1內(nèi)單調(diào)遞增,1,即k 1時(shí)，函數(shù)f x 1,1內(nèi)單調(diào)遞增,綜上可知，

29、函數(shù)f x 1,1內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，k的取值范圍是 1,0 U 0,1變式5、已知函數(shù)f(x)= (ax+ 1)ex .(I)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)a> 0時(shí)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,0上的最小值.解：定義域?yàn)?R, f (x) (ax 1) ex (ax 1)(ex)ex (ax a 1)'x(i)當(dāng)a 0時(shí)，f (x) e 。，則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)當(dāng)a 0時(shí)，解f (x)則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)a 0時(shí)，解f (x)則f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0 得，xa-1,解 f(x) 0得，x-1 ,aa(三，),f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，.a-J) a'

30、a0得，x-1,解 f(x) 0得，xa，aa(, U), f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(a，)aaa 0(n)當(dāng) a ia時(shí),2a 1、a 1即當(dāng)a 1時(shí)，f (x)在(2, )上是減函數(shù)，在( ,0)上是增函數(shù)，則aa函數(shù)f (x)在區(qū)間-2,0上的最小值為f(一)aea 0當(dāng) a 1 時(shí)，即當(dāng)0 a 1時(shí)，f(x)在2,0上是增函數(shù) 21 2a2- ea則函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,0上的最小值為f( 2)a 11 2a2- e綜上：當(dāng)a 1時(shí)，f (x)在區(qū)間-2,0上最小彳1為ae -當(dāng)0 a 1時(shí)，f (x)在區(qū)間-2,0上最小值為反思總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題 典例：(14 分)已知函數(shù)

31、 f(x) = ln x-ax (aCR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值.提示(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f' (x)>0, f ' (x)<0的解區(qū)間，并注意定義域.(2)先研究f(x)在1,2上的單調(diào)性，再確定最值是端點(diǎn)值還是極值.(3)由于解析式中含有參數(shù) a,要對(duì)參數(shù) a進(jìn)行分類討論.1解(1) f ' (x)=-a ( x>0) , 1 分 x一,1 一 一，一、,當(dāng)a<0時(shí)，f (x)=a>0,即函數(shù)f(x)的單倜增區(qū)間為(0, +8). 3分x當(dāng) a&g

32、t;0 時(shí)，令 f' (x) = 1a=0,可得 x=1, xa11 ax當(dāng) 0<x<a時(shí)，f ' (x) = -x>0; 11 ax當(dāng) x>a時(shí),f xx)=0Q,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 0, 1 , a 1單倜遞減區(qū)間為 -，+°° .5分a(2)當(dāng)1W1,即a>l時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2 2a. a9分-1 r1 , 一，一、一 ,，一，一當(dāng)-2,即00aw不時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，所以f(x)的取小值是f(1) = a a2.10 分當(dāng)1&l

33、t;1<2,即10a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在1, 1上是增函數(shù)，在 1, 2上是減函數(shù).又f(2) -f(1) = In 2-a, a 2、 aa一,1，一，一所以當(dāng)20a01n 2時(shí)，取小值是f (1) = a;當(dāng) In 2 wa01 時(shí)，最小值為 f(2) =ln 2 -2a.12 分綜上可知，當(dāng)00a01n 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是一a；當(dāng)a>ln 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是In 2 2a.14分注意 (1)本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)在給定區(qū)間1,2上的最值，屬常規(guī)題型.(2)本題的難點(diǎn)是分類討論.考生在分類時(shí)易出現(xiàn)不全面，不準(zhǔn)確的情況.(3)思維不流暢，答題

34、不規(guī)范，是解答中的突出問題 方法總結(jié)方法1 .注意單調(diào)函數(shù)的充要條件，尤其對(duì)于已知單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)時(shí)，隱含恒成立思想.2 .求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小.3 .在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較.總結(jié)1 .求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問題直觀且有條理，減少失分的可能.2 .函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論.3 .題時(shí)要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好 f ' ( x) = 0時(shí)的情況；區(qū)分極值

35、點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為 0的點(diǎn).鞏固練習(xí)(時(shí)間：35分鐘，？分：57分)、選擇題(每小題5分，共20分)1.若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f' (x)的圖象如圖所示，則 y=f(x)的圖象可能f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升，最后下降，排除答案解析根據(jù)f ' (x)的符號(hào),A, D;從適合f ' (x)0的點(diǎn)2.3.4.可以排除B.設(shè)aC R,若函數(shù)y=ex+axxC R有大于零的極值點(diǎn)，則A. a<- 1B. a> 11C. a> e1D. a< e答案 A解析 y = ex + ax,y' =ex+a.函數(shù)y=ex+ax有大于零的極值點(diǎn),則方程V&

36、#39; =ex+a=0有大于零的解,. x>0 時(shí)，一ex< 1,a= - ex<- 1.函數(shù)f (x) =x3-3x2+ 2在區(qū)間1,1上的最大值是A. - 2答案 CB. 0C. 2D. 4解析(x)= 3x26x,令 f ' (x) = 0,f(x)在-1,0)上是增函數(shù)，f (x)在(0,1f (x)max=f(x)極大值= f(0) =2.取值范圍是A. a<2C. 4< aw 6答案解析因?yàn)閒(x)所以得 x= 0 或 x= 2.上是減函數(shù).3-1ax2+(a-1)x+ 1在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6+ oo)內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)B.

37、 5< a<7D. aw 5 或 a>71 312,、/=F2ax + (a- 1)x+ 1,f' (x) = x2- ax+ a-1,由題意知當(dāng)1<x<4時(shí)，f' (x)W0恒成立,即x2-ax+a-1<o在(1,4)上恒成立, a(x- 1)>x2-1, a>x+ 1(1<x<4),所以a>5.同理a<7.、填空題（每小題5分，共15分）5 .已知f(x) =2x36x2+m(m為常數(shù))在2,2上有最大值3,那么此函數(shù)在 2,2上的最小值為 答案 37解析 f z (x) = 6x212x= 6x( x

38、2),f(x)在(一2,0)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)，當(dāng) x=0 時(shí)，f(x) = m 大.mp 3,從而 f( -2) = - 37, f(2) = 5.，最小值為一37.）內(nèi)單調(diào)遞6 .已知函數(shù) f(x)=(mr 2)x2+( n24)x +m是偶函數(shù)，函數(shù) g(x) = x3+2x2+m肝5 在(一 oo, + oo減，則實(shí)數(shù)m=.答案 2解析若 f(x) = (m- 2) x2+( n24) x +m是偶函數(shù)， 2.則 m-4= 0, m= ±2.若 g' (x)=3x2+4x+mco 恒成立，4則 A = 16 + 4X3 me 0,解得 me -故 m=

39、 - 2.37. 函數(shù)f (x) =x3+3ax2+3( a+2)x+1有極大值又有極小值，則 a的取值范圍是 .答案 a>2或a<- 1解析 f (x) =x3+3ax2 + 3( a+2)x+1, 21. f (x) = 3x+6ax+3(a+2).令 3x2+6ax+3(a+2) = 0,即 x2+2ax+ a+2 = 0.:函數(shù)f(x)有極大值和極小值，方程x2+2ax+a+2= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)根.即 = 4a2 4a 8>0,，a>2 或 a<1.三、解答題(共22分)8. (10分)已知函數(shù)f(x)=ax2+bln x在x= 1處有極值1.(1)求

40、a, b的值；(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.解 (1) f ' (x) = 2ax+b.又 f (x)在 x=1 處有極值1. x2f 1=1,a=1,1得2即2解之得a= 2，b=-1.f'1 =0,2a+b=0.(2)由(1)可知 f(x)=2x2 ln x,其定義域是(0, +8),1 x+1 x 1由 f' (x)<0 ,得 0Vx<1;由 f ' ( x)>0 ,得 x>1.所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是(1, +8).19. (12 分)已知函數(shù) f(x)=ln| x| ( xw0),函數(shù) g

41、(x) =-F af' (x) ( xw。).f x(1)求函數(shù)y= g(x)的表達(dá)式；(2)若a>0,函數(shù)y=g(x)在(0 , +°°)上的最小值是 2,求a的值.解 (1)因?yàn)?f (x) = ln| x| ,所以當(dāng) x>0 時(shí)，f (x) = In x,當(dāng) x<0 時(shí)，f (x) = ln( -x).1所以當(dāng)x>0時(shí)，f ' (x)=-, x當(dāng) x<0 時(shí)，f ' (x) = (1) = 1xx所以當(dāng)xwo時(shí)，函數(shù)y= g(x)=x+a.x(2)由(1),知當(dāng) x>0 時(shí)，g(x) = x+ -. x所以當(dāng)

42、a>0, x>0時(shí)，g(x)>2、ja,當(dāng)且僅當(dāng)x=qa時(shí)取等號(hào).所以函數(shù)y=g(x)在(0 , +8)上的最小值是 2審.所以2>ya=2.解得a= 1.拓展訓(xùn)練(時(shí)間：25分鐘，？t分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 . (2012 重慶)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f' (x),且函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值，則函數(shù)=xf ' (x)的圖象可能是()答案 C解析 .f (x)在x=- 2處取得極小值，當(dāng)x<2時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，即f' (x)<0;當(dāng)x>- 2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，即f'

43、 (x)>0.，當(dāng) x<2 時(shí)，y = xf' (x)>0;當(dāng) x=2 時(shí)，y=xf' (x)=0;當(dāng)一2<x<0 時(shí)，y = xf ' (x)<0 ;當(dāng) x= 0 時(shí)，y = xf ' (x) = 0;當(dāng)x>0時(shí)，y = xf' (x)>0.結(jié)合選項(xiàng)中圖象知選 C.2 .函數(shù)y=xe-x, x 0,4的最小值為()A. 0 B. C. 4 D. 2 e e e答案 A 解析 y' =- e x(x-1),y'與y隨x變化情況如下表:x0(0,1)1(1,4)4y，十0一y0/，-1 取極大值-e1 4-4 e當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y = xe-x取到最小值0.3 . f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng) x<0時(shí)，f(x) + x f' (x)<0 ,且f(4) = 0,則不等式xf(x)>0的解集為A. (4,0) U(4, +00)B. (4,0) U (0,4)C.