粒子濾波算法

1、 粒子濾波算法 09S003057 徐飛 由于我的課題是用粒子濾波進(jìn)行目標(biāo)跟蹤， 今天參加了一場(chǎng)粒子濾波算法的講座， 對(duì)經(jīng) 典粒子濾波與其它粒子濾波進(jìn)行了詳細(xì)的講解，學(xué)到了很多知識(shí)。 經(jīng)典粒子濾波 算法的一般描述： 1. 初始化：取k = 0,按p(X0)抽取N個(gè)樣本點(diǎn)X0), i = 1,N。 (i) (i) (i) (i) (i) 2. 重要性米樣:xk f q(Xk | x0：L，Zi：k)，令 x0：k =(X0：、Xk )，其中 i = 1,N。 p(Zk |xki)p(xki) |xki)1) 假設(shè)采用一步轉(zhuǎn)移后驗(yàn)狀態(tài)分布，該式可簡(jiǎn)化為 就)=缶kL p(zk | x)。 4. 歸

2、一化權(quán)值： 斜k = j =_ 5. 重采樣：根據(jù)各自歸一化權(quán)值 建)的大小復(fù)制/舍棄樣本x0Z，得到N個(gè)近似服從 (i) (i) . (i) W p(x0:k | Z1:k)分布的樣本 x0:k。令由k = k = 1/N , i = 1, ,N。 6. 輸出結(jié)果：算法的輸出是粒子集 x02 : i =1.N,用它可以近似表示后驗(yàn)概率和函數(shù) gk (x0:k )的期望 1 / , i、 E(gk(x0:k) gk(x0:k) N i 7.K=K+1,重復(fù)2步至6步。 其它粒子濾波 正那么粒子濾波 正那么粒子濾波(Regularized Particle Filter , RPF雇為了解決由重

3、采樣引入的新問題 而提出的一種改良的粒子濾波。 當(dāng)通過序貫重要性采樣后引起粒子退化問題時(shí)， 前面提到可 以用重采樣的方法來(lái)減小退化的影響， 但是引入重采樣策略同時(shí)也引入了新的問題， 即粒子 匱乏問題，經(jīng)過假設(shè)干次迭代之后，所有粒子都趨向于同一個(gè)粒子，導(dǎo)致粒子的多樣性喪失。 這是因?yàn)樵谥夭蓸舆^程中， 粒子是從離散分布中采樣取得的， 而不是從連續(xù)分布中采樣得到 的。 正那么粒子濾波正是為了解決上述問題而提出的。它與 SIR粒子濾波的區(qū)別在于：在重 采樣過程中，SIR從離散近似的分布中重采樣，而正那么粒子濾波那么從連續(xù)近似的分布中重采 樣。 N j j m i i、 xkjp(xk | y:k) k

4、Kh(xxk) i =1 3.計(jì)算權(quán)值: q(xki) |X0：, Z1:k) p(x:k | Z1:k) 1 x 其中，Kh(x)= n K ()是對(duì)核笞度K(進(jìn)行了重新標(biāo)度后的結(jié)果， n為x的維數(shù),h稱為 hx h 核帶寬，滿足h0 ,并且核密度滿足 xK(x)dx = 0 2 - |x|2 K(x)dx :：: 的對(duì)稱概率密度函數(shù)。對(duì)核帶寬h的選擇，要求滿足后驗(yàn)密度和相應(yīng)的正那么經(jīng)驗(yàn)密度表示之 間的平均積分方差最小。 2 MISE(P) = E pg | YoJ-p(xk| Y0：k)2dxk 其中,p(xk|y：k)表示對(duì)p(xk | y：k)的近似。在所有權(quán)值相等的特殊情況下，最正確

5、的核密 度是Epanechnikov核密度 胃(1-|x)， if|x|卜：1 Kopt = 2Cnx 0 , else 其中，Cn是Rnx內(nèi)單位超球體的體積。 nx 根據(jù)正那么化在選擇步驟之前還是之后， RPF分為Post-RPF和Pre-RPF,兩種RPF在弱 意義下收斂于最優(yōu)濾波器，收斂率為h2+1/JN ;在強(qiáng)意義下，估計(jì)誤差正比于 h2 1/、一2。 輔助粒子濾波 Pitt 和Shephard在標(biāo)準(zhǔn)SIR濾波算法的根底上提出了輔助粒子濾波 (Auxiliary Particle Filter, APF) 。與標(biāo)準(zhǔn)序列重要性重采樣 (SIR)算法相比，APF也是以序列重要性 采樣(SI

6、S)算法為根底，只是選擇了不同的重要性密度函數(shù) q(xk, i | z1:k),它在粒子集合 xk,ijk上進(jìn)行采樣，其中ij是k-1時(shí)刻粒子的標(biāo)號(hào)。根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)那么 pg,i |ZI：Q 二 p(Zk |xQp(xk,i |zk) =p(Zk | xk)p(xk | i ,ZI* )p(i | ZI*如 =p(Zk | xk)p(xk | xL) 輔助粒子濾波在聯(lián)合概率密度 p(xk,i|z1:k)上進(jìn)行采樣，忽略(天)中的標(biāo)號(hào)i ,在邊緣 概率密度函數(shù) p(xk | Z|:k)上獲得一個(gè)樣本集合xk旗。令以前的重要性密度函數(shù)滿足如下 的比例關(guān)系 q(4,i |鬲)工 p(Zk |k)p(x

7、k |xL) L 其中，Uk是在己知x的情況下，?的概率特性，可以是均值 K =Exk |xk_1或者是一個(gè) 采樣E p(以)。令 q(xk,i|4k) =q(i |z:k)q(xk |i,Ztk) 并且 q(x |i,石:k) =p(x |xL) 在每個(gè)采樣點(diǎn)上，粒子權(quán)值的更新公式如下 i i ij i、 j _ ij p(4 |xk)p(乂 |xkj _ p(Zk|xk) k I q(x：,ij |Zi:k) p(Zk|k) 與SIR濾波算法相比，輔助粒子濾波算法的優(yōu)勢(shì)在于它在 k-1時(shí)刻的樣本集合上隨機(jī)抽 取了一些點(diǎn)，抽取時(shí)以當(dāng)前的觀測(cè)數(shù)據(jù)為條件， 這樣可以更加接近真實(shí)的狀態(tài)。 輔助粒子

8、濾 波可以看作是在一些點(diǎn)的估計(jì) 卜;的根底上，在之前時(shí)間點(diǎn)上進(jìn)行重采樣。當(dāng)噪聲比擬小的 時(shí)候，可以很好地用 禰來(lái)表示p(xk|x),這時(shí)輔助粒子濾波算法就不像 SIR算法一樣對(duì) 局外點(diǎn)比擬敏感，權(quán)值的大小也更加均勻。然而， 過程噪聲比擬大時(shí)， 單一的點(diǎn)估計(jì)不能很 好地表示p(xk|x) , ASIR性能下降。 高斯粒子濾波 Jayesh和Petar提出的，將高斯濾波和粒子濾波結(jié)合，稱為高斯粒子濾波 (Gaussian Particle Filter , GPF*該方法的前提是用高斯分布來(lái)近似后驗(yàn)分布，它比其它的高斯濾 波方法適用性更強(qiáng)，能處理更多非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)問題；而與一般的粒子濾波相比，因?yàn)?/p>

9、 GPF 用高斯分布近似后驗(yàn)分布，所以只要所用的高斯分布是正確的，就不會(huì)產(chǎn)生粒子退化問題， 就不需要對(duì)粒子進(jìn)行重采樣，從而使算法的計(jì)算量降低，復(fù)雜度也降低。 通常一個(gè)高斯隨機(jī)變量 x的密度可表示為 N(x;，D =(2二)m2 |E |,2 exp(-(x-)W-1(x-)/2) 其中，卜為x的m維向量均值；為x的協(xié)方差矩陣。 GPF設(shè)后驗(yàn)分布p(xk |瓦。=Ckp(xk |Z0:k)p(Zk |xk)可以近似成高斯分布，即下式 p(x | Z):k) Ckp(Zk |xk)N(xk :孔，二) -k U-t / I 、/ I . 其中，Ck =( jp(xk |z0:k)p(Zk |xk)dxk)。 GPF測(cè)量更新是通過一個(gè)高斯分布近似上述濾波概率分布，即 p(xk|z0:k) ： N(x:kBk) 和& 一般不能用解析表達(dá)式直接求出， 在GPF中，用蒙特卡羅方法計(jì)算式中 和Ik的 估計(jì)值，通過對(duì)重要性密度函數(shù) q(xk | z0:k)抽取樣本xk并計(jì)算其權(quán)值 與；，i表示樣本數(shù)， 然后基于這些樣本及權(quán)值來(lái)獲得狀態(tài) A的均值K和協(xié)方差k。計(jì)算公式為 N 盤kxk N 一 上式中，N表示樣本總數(shù)。 高斯粒子濾波比其它高斯濾波