D101一致收斂ppt課件

1、第十章函數(shù)項級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂性一致收斂性冪級數(shù)冪級數(shù)收斂性收斂性性質(zhì)性質(zhì)函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)的冪級數(shù)展開函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性第一節(jié)第一節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性二、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第十章 一、一、 函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念設121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù) .對, I0 x若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu斂點斂點, 所有收斂點的全體稱為其收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間

2、 I 上的函數(shù), 稱收斂,發(fā)散 ,所有0 x稱為其收 0 x稱為其發(fā)散點, ),2, 1()(nxun發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , )(xS為級數(shù)的和函數(shù) , 并寫成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項)()()(xSxSxrnn則在收斂域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱它機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如例如, 等比級數(shù)等比級數(shù)它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是或

3、寫作.1x又如又如, 級數(shù)級數(shù), )0(02xnxxnnn,)(limxunn級數(shù)發(fā)散 ;所以級數(shù)的收斂域僅為. 1x,)1,1(時當x有和函數(shù) ,1時收斂當x,10時但當 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性二、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 對于有限個函數(shù)的和,有以下的性質(zhì)：(1) 有限個連續(xù)函數(shù)的和仍是連續(xù)函數(shù);(2) 有限個連續(xù)函數(shù)的和的積分等于各函數(shù)積分的和;(3) 有限個可導函數(shù)的和仍是可導函數(shù),其導數(shù)等于各函數(shù)導數(shù)的和.問題的提出問題的提出:對于函數(shù)項級數(shù), 是否有上述的性質(zhì)?更具體地更具體地, 機動 目錄 上頁 下頁 返回

4、完畢 設)()(1xuxSnn, Ix記)()(1xuxSnkkn1)假設)(xun為I上的連續(xù)函數(shù),問)(xS是否仍為I上的連續(xù)函數(shù),即對于,0Ix ?)(lim)(lim1100 xuxunnxxnnxx(或者?)(limlim)(limlim00 xSxSnxxnnnxx2)假設)(xun為I上的連續(xù)函數(shù),問)(xS是否在I上可積,且?)()(11xdxudxxunInInn(或者?)(lim)(limdxxSdxxSnInnnI機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3)假設)(xun為I上的可導函數(shù),問)(xS是否在I上可導,且?)()(11nnnnxudxdxudxd(或者?)(lim

5、)(limxSdxdxSdxdnnnn上述問題的答案是否定的！上述問題的答案是否定的！例如例如, 級數(shù)級數(shù))()()(1232nnxxxxxxx每項在 0,1 上都連續(xù), 其前 n 項之和為,)(nnxxS和函數(shù))(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 1該和函數(shù)在 x1 連續(xù).機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 22222sin22sin1sinnxnxx又如又如, 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)在 (, +)收斂,但逐項求導后的級數(shù) xnxx22cos2coscos其一般項不趨于0, 所以對任意 x 都發(fā)散 .定義定義1.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 設)(xSn為區(qū)間 I 上的函數(shù),

6、若對于任意 0,都有一個只依賴于 的自然數(shù) N , 使得 當n N 時, )()(xSxSn對區(qū)間 I 上的一切 x 都有則稱該函數(shù)序列在區(qū)間 I 上一致收斂于函數(shù)S(x) .記為)()(xSxSIn注注:假設),()(xSxSIn那么.),()(limIxxSxSnn說明：說明：假設 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )(xSn為級數(shù) )(1xunn在區(qū)間 I 上的部分和, S(x) 為和函數(shù),),()(xSxSIn則稱該函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間I 上一致收斂于和函數(shù)S(x) .顯然, 在區(qū)間 I 上 )(1xunn一致收斂于和函數(shù)S(x)部分和序列)(xSn一致收斂于S(x) 余項 )(xrn一

7、致收斂于 0 幾何解釋幾何解釋 : (如圖如圖) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,ZN當n N 時,表示)()(xSxSn曲線 )()(xSyxSy與總位于曲線)(xSyn)(xSyn之間.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理1. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 設)(xSn為區(qū)間 I 上的函數(shù)序列,則以下的三個條件是等價的:(1);()(xSxSIn(2) 記|,)()(|supxSxSSSnIxn那么; 0limSSnn(3) 對任意的數(shù)列,Ixn成立. 0| )()(|limnnnnxSxS證證: (1)(2)(3)(1)證明證明 (1) (2)定理2 目錄 上頁

8、 下頁 返回 完畢 ),()(xSxSIn, 0),(NN 使得 當n N 時, )()(xSxSn對區(qū)間 I 上的一切 x 都有即此時有,| )()(|supxSxSSSnIxn故; 0limSSnn(2)(3)對,Ixn顯然,SSxSxSnnnn| )()(|)(0n. 0| )()(|limnnnnxSxS證明證明 (3) (1)定理2 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 用反證法. 假設)(xSn在區(qū)間 I 上不一致收斂于),(xS那么, 00對任意的正整數(shù)N,存在 nN 和, Ixn使得 .)()(0nnnxSxS因而,取, 1N, 11n,1Ixn使得 .)()(0111nnnxSxS取

9、,1nN ,12nn ,2Ixn使得 .)()(0222nnnxSxS 取,knN ,1kknn, Ixkn使得 .)()(0kkknnnxSxS . 0| )()(|limkkknnnkxSxS矛盾！ 例例1. 設機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 nnxxS)(在 0,1 上不一致收斂 . ,證明)(xSn證證: )(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 11| )()(|sup1 , 0 xSxSSSnn在 0,1 上不一致收斂 . 故)(xSn說明說明: 從這個例子可以看出,當x越靠近0,nnxxS)(的收斂速度越快,而越靠近1,其收斂的速度越慢.這種收斂速度不同是造成“不一致性的原因,而一致收斂就是要保證在整個的區(qū)間上的收斂速度保持一個整體的“一致性”.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注注: 例1中,如果把區(qū)間改成0, c, 0c K 時, 3| )()(|,3| )()(|0000 xSxSxSxSkknNnN此時, | )()(|)()(0 xSxSxSxSNnNnnNkkk.| )()(| )()(|0000 xSxSxSxSNnk機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 又)(xSn對于每個固定的,bax關于n是單調(diào)的,所以 當nN，k K 時, 0)()()()(kkkknnNnnnxSxSxSxS這與假設矛盾！例例4.在 0,1 上一致收斂 . 證明)1