chapt09-冪級數(shù)解法、本征值問題ppt課件

1、第九章 冪級數(shù)解法 本征值問題9.1二階常微分方程的冪級數(shù)解法二階常微分方程的冪級數(shù)解法9.1.1冪級數(shù)解法理論概述冪級數(shù)解法理論概述 用球坐標系和柱坐標系對拉普拉斯方程、波動方程、輸用球坐標系和柱坐標系對拉普拉斯方程、波動方程、輸運方程進行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德運方程進行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程用方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程用其他坐標系對其他數(shù)學物理偏微分方程進行分離變量，其他坐標系對其他數(shù)學物理偏微分方程進行分離變量，還會出現(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程它們大多是二階線還會出現(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程它們大多

2、是二階線性常性常 微分方程微分方程不失一般性，我們討論復變函數(shù)的線性二階常不失一般性，我們討論復變函數(shù)的線性二階常微分方程微分方程 220001d( )d ( )( )( ) ( )0dd() ()zzp zq zzzzw zCw zCwww（9.1.1）其中 z為復變數(shù)， z0為選定的點，C0, C1 為復數(shù).說明：這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級數(shù)解法解出可用冪級數(shù)解法解出所謂冪級數(shù)解法，就是在某個任意點所謂冪級數(shù)解法，就是在某個任意點Z0Z0的鄰域上，把待求的鄰域上，把待求的解表為系數(shù)待定的冪級數(shù)，代入方程以逐個

3、確定系數(shù)的解表為系數(shù)待定的冪級數(shù)，代入方程以逐個確定系數(shù)冪級數(shù)解法是一個比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借冪級數(shù)解法是一個比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數(shù)的理論進行討論助于解析函數(shù)的理論進行討論求得的解既然是級數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍的問題求得的解既然是級數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍的問題. . 盡管冪級數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應用于微分方程盡管冪級數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應用于微分方程的求解問題中的求解問題中如果方程如果方程9.1.1的系數(shù)函數(shù)的系數(shù)函數(shù) )(zp)(zq0z和和在選定的點在選定的點的鄰域的鄰域 中是解析的，則點中是解析的，則點0z方程方程9.1.1的常

4、點的常點. 如果選定的點如果選定的點 0z)(zp)(zq是是或或的奇點，則點的奇點，則點 0z叫作方程叫作方程9.1.1的奇點的奇點 叫作叫作1方程的常點和奇點概念方程的常點和奇點概念2. 常點鄰域上的冪級數(shù)解定理定理定理9.1.1 若方程若方程9.1.1的系數(shù)的系數(shù) )(zp)(zq0zRzz0和和為點為點的鄰域的鄰域中的解析函數(shù)，中的解析函數(shù)， 則方程在這圓中存在唯一的解析解則方程在這圓中存在唯一的解析解 ( ) zw滿足滿足00()zCw01()zCw01CC，初始條件初始條件，其中，其中是任意給定的復常數(shù)是任意給定的復常數(shù)，故可以把它表示為此鄰域上的泰勒級數(shù)故可以把它表示為此鄰域上的

5、泰勒級數(shù). 0zRzz0既然線性二階常微分方程在常點既然線性二階常微分方程在常點的鄰域的鄰域上存在唯一的解析解，上存在唯一的解析解， 00( )()kkkzazzw（9.1.2）其中其中012,ka a aa為待定系數(shù)為待定系數(shù) 為了確定級數(shù)解為了確定級數(shù)解9.1.2中的系數(shù)，具體的做法是以中的系數(shù)，具體的做法是以 （.2代入方程代入方程.1），合并同冪項，令合并后的系數(shù)），合并同冪項，令合并后的系數(shù)分別為零，找出系數(shù)分別為零，找出系數(shù)012,ka a aa之間的遞推關系，之間的遞推關系， 0C1C最后用已給的初值最后用已給的初值，來確定各個系數(shù)來確定各個系數(shù)

6、), 2 , 1 , 0(kak從而求得確定的級數(shù)解從而求得確定的級數(shù)解 下面以下面以階勒讓德方程為例，具體說明級數(shù)解法的步驟階勒讓德方程為例，具體說明級數(shù)解法的步驟 l9.1.2常點鄰域上的冪級數(shù)解法 勒讓德方程的求解注：注： （參考書上（參考書上9.19.1節(jié)內容，特別是書上節(jié)內容，特別是書上226-228226-228頁內容頁內容由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在 00 x鄰域上求解鄰域上求解l階勒讓德方程階勒讓德方程 0) 1(2)1 (2 yllyxyx故方程的系數(shù)故方程的系數(shù) 01) 1(1222 yxllyxxy212)(xxxp21

7、) 1()(xllxq在在 00 x，單值函數(shù)，單值函數(shù) 0)(0 xp) 1()(0llxq，均為有限值，它們必然在均為有限值，它們必然在00 x解析解析 00 x是方程的常點根據常點鄰域上解的定理，是方程的常點根據常點鄰域上解的定理，解具有泰勒級數(shù)形式：解具有泰勒級數(shù)形式：0)(kkkxaxy（9.1.3） 泰勒級數(shù)形式的解，將其代入勒氏方程可得系數(shù)間的遞推關系2()(1), 0,1,2,(1)(2)kklk lkaakkk （9.1.4）因而，由任意常數(shù)因而，由任意常數(shù) 可計算出任一系數(shù)可計算出任一系數(shù) 10,aa, 3 , 2,kak偶次項的系數(shù)偶次項的系數(shù):20(2) (22)(1)

8、(3) (21)( 1)(2 )!mml llmlllmaam 奇次項的系數(shù)奇次項的系數(shù) 211(1)(3)(21)(2)(4)(2 )( 1)(21)!mmlllmlllmaam 將它們代入解的表達式中，得到勒讓德方程解的形式 (9.1.7)240351(1)(2)(1)(3)( )12!4!(1)(2)(1)(3)(2)(4) 3!5! = ( )( )lll ll llly xaxxlllllla xxxp xq x其中( )lp x( )lq x分別是偶次項和奇次項組成的級數(shù)分別是偶次項和奇次項組成的級數(shù)l不是整數(shù)時不是整數(shù)時 ( )lp x( )lq x無窮級數(shù)，容易求無窮級數(shù)，容易

9、求得其收斂半徑均為得其收斂半徑均為1 1x時，時， ( )lp x( )lq x發(fā)散于無窮發(fā)散于無窮 ln是非負整數(shù)是非負整數(shù) 042nnaa遞推公式遞推公式9.1.4） n是偶數(shù)時，是偶數(shù)時， ( )lp x是一個是一個n次多項式，但函數(shù)次多項式，但函數(shù) ( )lq x1x為在為在 處發(fā)散至無窮的無窮級數(shù)處發(fā)散至無窮的無窮級數(shù) 是奇數(shù)時，是奇數(shù)時， ( )lq xn( )lp x1x是是次多項式，而次多項式，而仍然是在仍然是在處無界的無窮級數(shù)處無界的無窮級數(shù) l 是負整是負整數(shù)時數(shù)時 ( )lp x( )lq x一個是多項式，另一個一個是多項式，另一個是無界的無窮級數(shù)是無界的無窮級數(shù) 所以不

10、妨設 導出這個多項式的表達式導出這個多項式的表達式 ,l是非負整數(shù)是非負整數(shù)n（因在實際問題中一般總要求有界解）（因在實際問題中一般總要求有界解） 把系數(shù)遞推公式把系數(shù)遞推公式9.1.4改寫成改寫成 2(1)(2) (2)()(1)kkkkaaknnk nk (9.1.8)于是可由多項式的最高次項系數(shù)于是可由多項式的最高次項系數(shù)na來表示其它各低階項系數(shù)來表示其它各低階項系數(shù)取多項式最高次項系數(shù)為取多項式最高次項系數(shù)為nnannna)12(2)1(2nnnannnnnnannna) 32)(12 ( 42) 3)(2)(1() 32 ( 4) 3)(2(242(2 )!, 1,2,3,2 (

11、!)nnnann (9.1.9)這樣取主要是為了使所得多項式在這樣取主要是為了使所得多項式在 1x處取值為處取值為1，即實現(xiàn)歸一化，即實現(xiàn)歸一化. 可得系數(shù)的一般式為可得系數(shù)的一般式為2(22 )!( 1), (2)2 !()!(2 )!knknnkak nk n k nk (9.1.10)因而，我們得出結論：因而，我們得出結論：2ln是非負偶數(shù)時，勒讓德方程有解是非負偶數(shù)時，勒讓德方程有解 22(2 )!(22)!( )2 ( !)2 (1)!(2)!lllllllp xxxlll220(22 )!( 1)2!()!(2 )!lklklklkxklklk （9.1.11）21ln是正奇數(shù)時，

12、勒讓德方程有解是正奇數(shù)時，勒讓德方程有解(1) 220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkp xxklklk (9.1.12)對上述討論進行綜合，若用對上述討論進行綜合，若用 2l表示不大于表示不大于 2l的整數(shù)部分，的整數(shù)部分，用大寫字母用大寫字母P寫成統(tǒng)一形式解寫成統(tǒng)一形式解 220(22 )!P( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxklklk（9.1.13）ln是非負整數(shù)時，勒讓德方程的是非負整數(shù)時，勒讓德方程的基本解組基本解組 )(xpn)(xqn中只有一個多項式，這個多項式中只有一個多項式，這個多項式勒讓德多項式勒讓德多項式 P ( )n

13、x，也稱為第一類勒讓德函數(shù)；，也稱為第一類勒讓德函數(shù)； 另一個是無窮級數(shù)，這個無窮級數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)，另一個是無窮級數(shù)，這個無窮級數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)， 記為大寫的記為大寫的 Q ( )nx可以得出它們的關系可以得出它們的關系22dQ ( )P( )(1-) ( )lllxxxxP x（9.1.14）經過計算后，經過計算后， Q ( )lx可以通過對數(shù)函數(shù)及勒讓德多項式可以通過對數(shù)函數(shù)及勒讓德多項式 P ( )lx表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達式為表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達式為 221011243Q ( )P( )lnP( )21(21)(1)llllkkxlkxx

14、xxklk (9.1.15)特別地特別地2012111113Q ( )ln; Q ( )ln1; Q ( )(31)ln2121412xxxxxxxxxxxx可以證明這樣定義的可以證明這樣定義的 Q ( )lx，其遞推公式和，其遞推公式和 P ( )lx的遞推公式具有相同的形式而且在一般情況下勒讓德方程的遞推公式具有相同的形式而且在一般情況下勒讓德方程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx的通解為兩個獨立解的線性疊加的通解為兩個獨立解的線性疊加12( )P ( )Q ( )lly xcxcx但是在滿足自然邊界即要求定解問題在邊界上有限）但是在滿足自然邊界即要求定解問題在邊界上有限）Q ( )

15、lx的形式容易看出，它在端點的形式容易看出，它在端點 1x處是無界的，處是無界的，故必須取常數(shù)故必須取常數(shù) 20c 從而勒讓德方程的解就只有從而勒讓德方程的解就只有 第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式：第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式： P( )lx綜合可得如下結論：綜合可得如下結論：（1當當 l不是整數(shù)時，勒讓德方程在區(qū)間不是整數(shù)時，勒讓德方程在區(qū)間1 , 1上無有界的解上無有界的解 （2當當 ln為整數(shù)時，勒讓德方程的通解為為整數(shù)時，勒讓德方程的通解為 12( )P ( )Q ( )nny xcxcx，其中，其中 P ( )nx稱為第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式），稱為第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多

16、項式）， Q ( )nx稱為第二類勒讓德函數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù). ln為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下(即要求在即要求在 有界解的情況下有界解的情況下)求解，則勒讓德方程的解只有第一求解，則勒讓德方程的解只有第一 類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式P ( )nx因為第二類因為第二類勒讓德函數(shù)勒讓德函數(shù) Q ( )nx在閉區(qū)間在閉區(qū)間 1 , 1上是無界的上是無界的9.1.3 奇點鄰域的級數(shù)解法：貝塞爾方程的求解奇點鄰域的級數(shù)解法：貝塞爾方程的求解前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我我們來

17、討論這個方程的冪級數(shù)解法按慣例，仍以我們來討論這個方程的冪級數(shù)解法按慣例，仍以 x表示自變量，以表示自變量，以 y表示未知函數(shù)，那么表示未知函數(shù)，那么 階貝塞爾方程為階貝塞爾方程為22222dd()0ddyyxxxyxx (9.1.18)其中，其中， 為任意復數(shù)，為任意復數(shù)， 但在本節(jié)中但在本節(jié)中 由于方程的系數(shù)中出現(xiàn)由于方程的系數(shù)中出現(xiàn) 只限于取實數(shù)。只限于取實數(shù)。2 項，不妨暫先假定項，不妨暫先假定 0221( ), ( ) 1pxqxxx 故故 0 x為為 ( ), ( )p x q x的奇點。的奇點。 下面介紹奇點鄰域的冪級數(shù)解法：貝塞爾方程的求解下面介紹奇點鄰域的冪級數(shù)解法：貝塞爾方

18、程的求解設方程設方程9.1.18的一個特解具有下列冪級數(shù)形式：的一個特解具有下列冪級數(shù)形式： )(2210kkcxaxaxaaxy0kkckxa00a (9.1.19）其中，常數(shù)其中，常數(shù) c和和 ), 2 , 1 , 0(kak可以通過把可以通過把 y和它的導數(shù)和它的導數(shù) yy ,代入代入9.1.18來確定來確定 將將9.1.19及其導數(shù)代入及其導數(shù)代入9.1.18后，得后，得 22010c kkkckckckxa x化簡后寫成化簡后寫成2222212012210ccc kkkkcaxcaxc kaax要使上式恒成立，必須使得各個要使上式恒成立，必須使得各個 x次冪的系數(shù)為零，次冪的系數(shù)為零

19、， 從而得下列各式：從而得下列各式： 220()0a c (9.1.20)22110ac (9.1.21)2220,(2,3,)kkckaak(9.1.22)由由9.1.20） 得得 c ；代入；代入9.1.21），得），得 01a現(xiàn)暫取現(xiàn)暫取 c，代入，代入9.1.22得得 2(2)kkaakk (9.1.23)因為因為 01a，由，由9.1.23知：知： 07531aaaa,642aaa都可以用都可以用 0a表示，即表示，即020406022(22)2 4(22)(24)2 4 6(22)(24)(26)( 1)2 4 62(22)(24)(22)mmaaaaaaaamm 02( 1)2!

20、(1)(2)()mmamm由此知由此知9.1.19的一般項為的一般項為202( 1)2!(1)(2)()mmma xmm0a是一個任意常數(shù)，令是一個任意常數(shù)，令 0a取一個確定的值，就得取一個確定的值，就得9.1.18） 的一個特解我們把的一個特解我們把 0a取作取作 012(1)a這樣選取這樣選取 0a與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關。與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關。 運用下列恒等式運用下列恒等式 ()(1)(2)(1) (1)(1)mmm 使分母簡化，從而，使使分母簡化，從而，使9.1.19中一般項的系數(shù)變成中一般項的系數(shù)變成221( 1)2! (1)mmmamm （9.1.24

21、）以以9.1.24代入代入9.1.19得到貝塞爾方程得到貝塞爾方程9.1.18的一個特解的一個特解2120( 1) (0)2! (1)mmmmxymm用級數(shù)的比值判別式或稱達朗貝爾判別法可以判定用級數(shù)的比值判別式或稱達朗貝爾判別法可以判定 這個級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂這個無窮級數(shù)這個級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂這個無窮級數(shù) 所確定的函數(shù)，稱為所確定的函數(shù)，稱為 階第一類貝塞爾函數(shù)，記作階第一類貝塞爾函數(shù)，記作220J ( )( 1) (0)2! (1)mmmmxxmm (9.1.25）至此，就求出了貝塞爾方程的一個特解至此，就求出了貝塞爾方程的一個特解 ( )Jx另外，當另外，當 c 即取負值時，用同樣方

22、法可得即取負值時，用同樣方法可得貝塞爾方程貝塞爾方程9.1.18的另一特解的另一特解220J ( )( 1),2! (1)mmmmxxmm （9.1.26）比較比較9.1.25與與9.1.26可見，只需在可見，只需在9.1.25的右的右端把端把 換成換成 ，即可得到，即可得到9.1.26）故不論）故不論 是正是正 數(shù)還是負數(shù)，總可以用數(shù)還是負數(shù)，總可以用9.1.25統(tǒng)一地表達第一類貝塞爾函統(tǒng)一地表達第一類貝塞爾函數(shù)數(shù)討論：討論：(1)當當 不為整數(shù)時，例如不為整數(shù)時，例如 J ( )x為分數(shù)階貝塞爾函數(shù)：為分數(shù)階貝塞爾函數(shù)： 1122J ( ),J ( ),xx等等, 當當 0 x時，時， 1

23、J ( )()0(1) 21J( )()(1) 2xxxx 故這兩個特解故這兩個特解 J ( )x與與 J( )x是線性無關的，由齊次線是線性無關的，由齊次線性常微分方程的通解構成法知道，（性常微分方程的通解構成法知道，（9.1.18的通解為的通解為J ( )J( )yAxBx （9.1.28）其中，其中， BA,為兩個任意常數(shù)為兩個任意常數(shù) 根據系數(shù)關系，且由達朗貝爾比值法根據系數(shù)關系，且由達朗貝爾比值法222lim0mmmaa 故級數(shù)故級數(shù) J ( )x和和 J( )x的收斂范圍為的收斂范圍為 x0(2)當當 n為正整數(shù)或零時注為正整數(shù)或零時注:以下推導凡用以下推導凡用 n即表整數(shù)），即表

24、整數(shù)）， )!() 1(mnmn故有故有220J ( )( 1) (0,1,2, )2!()!nmmnnmmxxnm n m（9.1.27）稱稱 J ( )nx為整數(shù)階貝塞爾函數(shù)易得為整數(shù)階貝塞爾函數(shù)易得 24602235111J ( )1 ( )( )( )2(2!)2(3!)211J ( )( )( )22! 22!3! 2xxxxxxxx 需注意在取整數(shù)的情況下，需注意在取整數(shù)的情況下， J ( )nx和和 J( )nx線性相關，線性相關，這是因為這是因為: 20( )2J( )( )( 1)2! (1)mnmnmxxxmmn2220( )( )22( )( 1)( 1) ( )( 1)

25、2()! !2!()!lnlnn lnnlllnxxxxnl ll nl 可見正、負可見正、負 n階貝塞爾函數(shù)只相差一個常數(shù)因子階貝塞爾函數(shù)只相差一個常數(shù)因子 n) 1(這時貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無關的另一個特解這時貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無關的另一個特解 我們定義第二類貝塞爾函數(shù)又稱為諾依曼函數(shù)為我們定義第二類貝塞爾函數(shù)又稱為諾依曼函數(shù)為 cos( )J ( ) J ( )N ( )sin( )xxx是一個特解，它既滿足貝塞爾方程，又與是一個特解，它既滿足貝塞爾方程，又與 J ( )nx線性無關線性無關 2100200( 1) ( )2212N ( )J ( )(ln)2(

26、 !)1mmmmkxxxxmk12021100021(1)!N ( )J ( )(ln)( )2!2( 1) ( )1112 ()!()!11nnmnnmmnmn mmmkkxnmxxxmxm nmkk 其中，其中， 0.5772為歐拉常數(shù)為歐拉常數(shù)可以證明是貝塞爾方程的特解，可以證明是貝塞爾方程的特解， 且與且與 J ( )nx線性無關的線性無關的.綜述：（綜述：（1當當 n，即不取整數(shù)時，其貝塞爾方程的，即不取整數(shù)時，其貝塞爾方程的通解可表示為通解可表示為J ( )J( )yAxBx（2不論不論 是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可表示為表示為J ( )N (

27、)yAxBx其中其中 BA,為任意常數(shù)，為任意常數(shù)， 為任意實數(shù)為任意實數(shù) 9.2 施圖姆劉維爾本征值問題 從數(shù)學物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程從數(shù)學物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來的，往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有寫出來的所謂自然邊界條件滿足這些邊界也可以是沒有寫出來的所謂自然邊界條件滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值這些特定值條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值這些特定值叫做本征值或特征值、或固有值），相應的非零解叫做叫做本征值或特征值、或固有值），相應的非零解叫做本征函數(shù)特征函數(shù)、固有函數(shù)求本征值和本征函數(shù)的本征函數(shù)特征函數(shù)、固有函數(shù)求本征值