ch9-3可降階的高階方程1ppt課件

1、),(yxfy 9.3 可降階高階微分方程可降階高階微分方程 )()(xfyn ),(yyfy 第九章 二階及二階以上的微分方程通稱為高階方程二階及二階以上的微分方程通稱為高階方程可降階的方程可降階的方程通過(guò)變量替換降低階數(shù)求解的方程通過(guò)變量替換降低階數(shù)求解的方程的的方方程程形形如如 一一. .)()(xfyn 通通過(guò)過(guò)積積分分可可降降階階，1)1(d)(Cxxfyn ，21)2(dd)(CxCxxfyn 次次，連連續(xù)續(xù)積積分分n可可求求得得通通解解：0),( yyyxF二二階階方方程程的的一一般般形形式式為為方方程程求求解解。不不全全出出現(xiàn)現(xiàn)，可可降降為為一一階階若若yx,的的通通解解求求方

2、方程程例例2211xyx 解解將方程化為將方程化為，211xy 兩邊積分，得兩邊積分，得，11Cxxy ，212ln2CxCxxy ，322132ln6CxCxCxxxxy 故通解為故通解為35243ln6CxCxCxxxy nnCxCxCxCxxfy dddd)(121)(),(yxfy ，令令)(xpy ，則則xpydd ，),(ddpxfxp 化為一階方程求解，化為一階方程求解，得得到到),(1Cxpy 兩邊積分，得到通解兩邊積分，得到通解21d),(CxCxy ),(yxfy 3)0( 1)0(2 )1(22 yyxyyx，滿足初始條件滿足初始條件求微分方程求微分方程例例的特解的特解解

3、解，令令)(xpy ，則則xpydd 原方程可化為原方程可化為，xppx2)1(2 分離變量，得分離變量，得，21d2dxxxpp 兩邊積分，得兩邊積分，得，12ln)1ln(lnCxp 即即y )1(21xCp ，由由3)0( y，得得31 C，即即有有)1(32xy 兩邊積分，得兩邊積分，得，233Cxxy ，由由1)0( y，得得12 C故所求特解為故所求特解為133 xxy的的通通解解求求方方程程例例 2)(3yy 解解，令令)(xpy ，則則xpydd 原方程可化為原方程可化為，pxp 2)dd(，即即pxp dd分分離離變變量量，xppdd 兩邊積分，得兩邊積分，得，12Cxp 2

4、1)(41Cxp 即即212)()1(41Cx )()(411222CCCxp 于是原方程的通解為于是原方程的通解為 xCxyd)(4122332)(121CCx 例例4在在何何處處相相遇遇？、的的軌軌跡跡方方程程，并并求求，試試求求質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)其其大大小小為為度度的的方方向向始始終終指指向向同同時(shí)時(shí)出出發(fā)發(fā)，速速）與與，從從點(diǎn)點(diǎn)（速速度度為為常常數(shù)數(shù)軸軸正正向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，）出出發(fā)發(fā)，沿沿從從點(diǎn)點(diǎn)（質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)BABvAABvyA2,00,0 , 1解：解：,時(shí)時(shí)刻刻設(shè)設(shè)出出發(fā)發(fā)后后，經(jīng)經(jīng)t), yxB到到達(dá)達(dá)位位置置（質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)),1 vtA，的的位位置置為為（則則此此時(shí)時(shí)xyB B 的軌跡應(yīng)滿足方程

5、的軌跡應(yīng)滿足方程xyvty 1), 1(tvA),(yxB1OAB（1 1列方程列方程另一方面，另一方面，沿沿曲曲線線走走過(guò)過(guò)的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)）出出發(fā)發(fā)至至點(diǎn)點(diǎn)，自自點(diǎn)點(diǎn)（),(00yxBvtdxyx2102 代入上式，得代入上式，得dxyyyxx 02121)1(求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊對(duì)兩邊對(duì)x2121)1(yyx （2 2初始條件為初始條件為0)0(, 0)0( yypypy 則則令令,xy), 1 (tvA),(yxB1OAB（3 3解方程解方程可降階的二階方程可降階的二階方程于是于是21)1(2pdxdpx 分離變量，得分離變量，得)1(212xdxpdp 積分，得積分，得12ln)1ln(

6、21)1ln(Cxpp 即即2112)1(1 xCpp1,0)0(1 Cy得得代代入入初初始始條條件件于是于是212)1(1 xyy其倒數(shù)為其倒數(shù)為212)1(1xyy 兩式相減，得兩式相減，得2121)1(21)1(21xxy 積分得：積分得：223)1(311Cxxy 320)0(2 Cy得得，由由初初始始條條件件于是于是B B的軌跡方程為的軌跡方程為32)1()1(312123 xxy)10( x）處相遇。）處相遇。，在點(diǎn)（在點(diǎn)（、所以，所以，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)321,321BAyx 的通解的通解求方程求方程例例1)()(522 yy解解，令令)( xpy ，則則xpydd 原方程可化為原方程

7、可化為，1)dd(22 pxp即即21ddpxp ，xppd1d2 兩種情形分別求解：兩種情形分別求解：，得得1arcsinCxp ；即即)sin(1Cxp ，xppd1d2 ，得得2arccosCxp )cos(2Cxp 即即)2sin(2 Cx因因此此，)sin(3 Cxpy ，43)cos(CCxy 通通解解為為543)sin(CxCCxy ),( yyfy ，令令)(ypy ddyypy 則則，),(ddpyfypp 化為一階方程求解，化為一階方程求解，得到得到),(1Cypy 分分離離變變量量xCyyd),(d1 yppdd 解解兩兩邊邊積積分分，即即可可得得到到通通),( yyfy

8、 的通解的通解求方程求方程例例0)(62 yyy解解，令令)(ypy y則則yppdd原原方方程程化化為為，0dd2 pyppy時(shí)時(shí)，0 p，有有pypy dd，即即yyppdd ，得得1lnlnlnCyp yCp1 即即)0(也也包包含含在在內(nèi)內(nèi)顯顯然然， p，于于是是有有yCxy1dd ，即即xCyydd1 兩邊積分，得兩邊積分，得，21lnlnCxCy 所所以以通通解解為為xCeCy12 的的特特解解，滿滿足足初初始始條條件件求求方方程程例例2)0(1)0(0)(72 yyyyyy解解，令令)(ypy y則則yppdd原方程化為原方程化為，0dd2 ppyppy，由于由于0 p)2)0(

9、)1(相相矛矛盾盾否否則則，與與 yp，則有則有1dd pypy，即即yyppd1d 兩兩邊邊積積分分得得，1lnln)1ln(Cyp ，即即11 yCpy，代代入入2)0(1)0( yy得得11 C從從而而1 yy，則則xyyd1d ，可可得得2ln)1ln(Cxy ；即即12 xeCy，代入代入1)0( y得得22 C故故所所求求特特解解為為12 xey解解代入原方程得代入原方程得解方程解方程, 得得例例8的的通通解解。求求微微分分方方程程21yy )(xpy 令令py 則則21pp dxpdp 211arctanCxp 1tanCxdxdy 1tanCxp 即即 211coslntanC

10、CxdxCxy .3的通解的通解求方程求方程yyy 解解,dydppy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 ,3ppdydpp ,3ppdydpp 即即，由由12 pdydp ,tan1Cyp 可可得得 .sin21xeCCy 原方程通解為原方程通解為 ,tan1Cydxdy 例例91. 方程方程)(yfy 代換求解代換求解 :可令可令)(xpy 或或)(ypy 一般說(shuō)一般說(shuō), 用前者方便些用前者方便些. 均可均可. 有時(shí)用后者方便有時(shí)用后者方便 .例如例如,2)( yey 2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意的問題解二階可降階微分方程初值問題需注意的問題 (1) 一般情況一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便.(