CH112第二型曲線積分ppt課件

1、第二節(jié)一、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)一、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)二、二、 第二型曲線積分的計算法第二型曲線積分的計算法 第二型曲線積分 第十一章 一、一、 第二型曲線積分的概念與性質(zhì)第二型曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用在在 xOy 平面內(nèi)從點平面內(nèi)從點 A 沿光滑曲線弧沿光滑曲線弧 L 移動到點移動到點 B, 求移求移cosABFW “大化小大化小” “常代變常代變”“近似和近似和” “取極限取極限”變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功解決辦法解決辦法:動過程中變力所作的功動過程中變力所作的功W.ABF

2、 ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO1kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代變常代變”L把把L分成分成 n 個小弧段個小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替近似代替, ),(kk則有則有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功為所做的功為,kWF 沿沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1那么那么用有向線段用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點上任取一點在在kykxO3) “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中

3、其中 為為 n 個小弧段的個小弧段的 最大長度最大長度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO2. 定義定義.設(shè)設(shè) L 為為xOy 平面內(nèi)從平面內(nèi)從 A 到到B 的一條有向光的一條有向光滑滑弧弧,若對若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在都存在,在有向曲線弧在有向曲線弧 L 上上對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分或第二類曲線積分. 其中其中, ),(yxPL 稱為積分弧段稱為積分弧段 或或 積分曲線積分曲線 .稱為被

4、積函數(shù)稱為被積函數(shù) , 在在L 上定義了一個向量函數(shù)上定義了一個向量函數(shù)極限極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作記作),(yxF),(yxQLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ假設(shè)假設(shè) 為空間曲線弧為空間曲線弧 , 記記稱為對稱為對 x 的曲線積分的曲線積分;稱為對稱為對 y 的曲線積分的曲線積分.若記若記, 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd)

5、,(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地類似地, 第二型曲線積分與曲線第二型曲線積分與曲線 L 的方向有關(guān)，對同一曲線，的方向有關(guān)，對同一曲線，當(dāng)方向由當(dāng)方向由 A 到到 B 改為由改為由 B 到到 A 時，每一小曲線段的時，每一小曲線段的方向都改變，從而小曲線段的投影方向都改變，從而小曲線段的投影iiyx ,也隨之也隨之改變符號，故有改變符號，故有dy),(d),(dy),(d),(yxQxyxPyxQxyxPBAAB 而第一型曲線積分的被積分表達(dá)式是函數(shù)值與弧長的而第一型曲線積分的被積分表達(dá)式是函數(shù)值與弧長的乘積，它與曲線乘積，它與曲線 L 的方向無關(guān)的方向無關(guān). 這是兩類曲

6、線積分的這是兩類曲線積分的一個重要區(qū)別一個重要區(qū)別. 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例. 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定義且上有定義且L 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù)連續(xù),存在存在, 且有且有二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終終點點為為起起點點為為 .)

7、()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終點為，終點為起點為起點為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則.,)()()(:)3( 終終點點起起點點推推廣廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例1. 計算計算,dLxyx其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線xy 2解法解法1 取取 x 為參數(shù)為參數(shù), 那那么么OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023

8、xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取取 y 為參數(shù)為參數(shù), 那那么么11:,:2yyxL54d2114yy從點從點xxxd10的一段的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( AyxO例例2. 計算計算其中其中 L 為為,:, 0aaxyBAaa(1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點的圓心在原點的 上半圓周上半圓周, 方向為逆時針方向方向為逆時針方向;(2) 從點從點 A ( a , 0 )沿沿 x 軸到點軸到點 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyL

9、d2ttadsin2203332a(2) 取取 L 的方程為的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00那那么么那么那么例例3. 計算計算,dd22yxxyxL其中其中L為為(1) 拋物線拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xxxx d4103(2) 原式原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式原式y(tǒng)xxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO1.

10、 定義定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)性質(zhì)(1) L可分成可分成 k 條有向光滑曲線弧條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示表示 L 的反向弧的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 計算計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光

11、滑弧對有向光滑弧 對有向光滑弧對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 :O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz1. 知知為折線 ABCOA(如圖), 計算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd思考與練習(xí)思考與練習(xí)2. 設(shè)曲線設(shè)曲線C為曲面為曲面2222azyx與曲面axyx22,)0, 0(的交線az從 O x 軸正向看去為逆時針方向,(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程 ;(2) 計算曲線積分.ddd222zxyzx