彈性力學讀書報告

1、莈彈性力學讀書報告芇一、彈性力學的發(fā)展及基本假設肅彈性力學是伴隨著工程問題不斷發(fā)展起來的，它是固體力學的一個分支，是 研究彈性體由于外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、 應變和位移的一門學 科。最早可以追溯到伽利略研究梁的彎曲問題、 胡克的胡克定律。 之后牛頓三定 律的形成以及數(shù)學的不斷發(fā)展，后經(jīng)納維、柯西、圣維南、艾瑞、基爾、里茨、 迦遼金等人的不斷努力。 使得彈性力學具有了嚴密的理論體系并且能都求解各種 復雜的問題，能夠解決強度、 剛度和穩(wěn)定性等問題。 目前彈性力學的相關(guān)理論在 土木工程、水文地質(zhì)工程、石油工程、航空航天工程、礦業(yè)工程、環(huán)境工程以及 農(nóng)業(yè)工程等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應用。蚃

2、彈性力學的幾個基本假設。 1 、連續(xù)體假設：假設無題是連續(xù)的，沒有任何 空隙。因此，物體內(nèi)的應力、應變、位移一般都是逐點變化的，它們都是坐標的 單值連續(xù)函數(shù)。 2、 彈性假設：假設物體是完全彈性的。在溫度不變時，物體 任一瞬間的形狀完全取決于在該瞬間時所受的外力。而與它過去的受力狀況無 關(guān)。當外力消除后， 它能夠恢復原來的形狀。 彈性假設就是假設物體服從虎克定 律，應力與應變成正比關(guān)系。 3、 均勻性假設：假設物體是均勻的，各部分都具 有相同的物理性質(zhì)，其彈性模量和泊松系數(shù)是一常數(shù)。 4、各向同性假設：假設 物體內(nèi)每一點各個方向的物理和機械性質(zhì)都相同。 5、小變形假設： 假設物體的 變形是微小

3、的， 即物體受力后， 所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸， 應變 都很小。這樣， 在考慮物體變形后的平衡狀態(tài)時， 可以用變形前的尺寸來代替變 形后的尺寸。肀二、三維方程肆 2.1 三維應力狀態(tài)下的平衡微分方程膃物體處在平衡狀態(tài)，其內(nèi)部的每一點都處于平衡狀態(tài)。使用一個微六面體代表 物體內(nèi)的一點， 則作用在該微六面體上的所有力應滿足平衡條件， 由此可以導出 平衡微分方程。螀如圖一所示， 取直角坐標系的坐標軸和邊重合， 各邊的長度分別為 dx，dy ，dz在微六面體X=0面上，應力是（T xT xy T xz；在X=dX面上的應力，薇圖一螅根據(jù)應力函數(shù)的連續(xù)性并按泰勒級數(shù)對 x=0 的面展開，略去

4、高階項，可得芃同理，可由 y=0， z=0 面上的應力表示 y=dy， z=dz 面上的應力。最后，所有各 面上的應力如圖一示。膀當彈性體平衡時，P點的平衡就以微元體平衡表示。這樣，就有 6個平衡方程 艿考慮微單元體沿 x 方向的平衡，可得袇整理上式并除以微單元體的體積 dxdydz，得幕x ' yx zx X =0 (2-1.1).x .:y-z薁同理，建立y、z方向的平衡條件，可得:x:y:z:x=0-0(2-1.2)蚆這就是彈性力學的平衡微分方程，其中 X, 丫, Z是單位體積里的體積力沿x, y, z方向上的分量。莃考慮圖一中微單元體的力矩平衡。對通過點C平衡于x方向的軸取力矩

5、平衡得羂于是力矩平衡方程在略去高階項之后只剩兩項葿由此可得蒞同理可得蒂這既是剪應力互等定理。它表明：在兩個互相垂直的平面上，與兩個平面的交 線垂直的剪應力分量的大小相等，方向指向或者背離這條交線。根據(jù)剪應力互等 定理，式（1-1 ）中包含的九個應力分量中只有 6個是獨立的，這6個應力描述 了物體內(nèi)部的任意一點的應力狀態(tài)。莃 2.2 三維應力狀態(tài)下的幾何方程袇 2.3 三維應力狀態(tài)下的物理方程蒈物理方程的矩陣形式薂其中矩陣 D 稱為三維應力狀態(tài)下的彈性矩陣蒀三、在極坐標系下的基本方程蕿 3.1 應力坐標變換膇我們知道，直角坐標系和極坐標系變量之間的關(guān)系為稱為螞彈性體在一定的應力狀態(tài)下，可以在已知

6、直角坐標系中求解應力分量，也可以 在極坐標中求解。 因而應力分量在兩種坐標系中的表達式就有一定的聯(lián)系， 應力的坐標變化。袁在直角坐標系中求出三角微元體的應力分量為 芁在直角坐標系下的應力分量表示可在極坐標系下表示，變換后可得方程羆 3.2 極坐標下的平衡方程螂 3.3 極坐標下的幾何方程為莂四、彈性力學解題的主要方法蝿 4.1 位移解法螅位移解法是以位移分量作為基本未知量的解法。把平衡方程、本構(gòu)方程和幾何 方程簡化為三個用位移分量表示的平衡方程， 從中解出位移分量。 然后再代回幾 何方程和本構(gòu)方程，進而求出應變分量和應力分量。袂 4.2 應力解法螃應力解法是以應力分量作為基本的未知數(shù)的解法。由

7、協(xié)調(diào)方程、本構(gòu)方程和平 衡方程簡化出六個用應力分量表示的協(xié)調(diào)方程， 再加上平衡方程和力邊界條件解 出六個應力分量。 然后由本構(gòu)方程求出應變分量， 再對幾何方程積分即可得到位 移分量。由于應力與應變間的胡克定律是代數(shù)方程， 應變解法的求解難度不會比 應力解法有實質(zhì)性的改善， 而邊界條件用應力表示則方便很多， 所以很少采用應變解法蒀4.3應力函數(shù)解法螈在位移解法中，引進三個單值連續(xù)的位移函數(shù)，使協(xié)調(diào)方程自動滿足，問題被 歸結(jié)為求解三個用位移表示的位移方程。應變分量可由位移偏導數(shù)的組合來確定。與此類似，在應力解法中也有可以引進某些自動滿足平衡方程的函數(shù)，稱之為應力函數(shù)，把問題歸結(jié)為求解用應力函數(shù)表示

8、的協(xié)調(diào)方程。應力分量可由應力 函數(shù)偏導數(shù)的組合來確定。羂應力函數(shù)解法既保留了應力解法的優(yōu)點 （能直接求出應力分量），又吸收了位移 解法的思想（能自動滿足平衡方程，基本未知數(shù)降為三個），所以是彈性力學理 論中最常用的解法之一。衿五、彈性力學的應用舉例羈例一：懸臂梁（1）（2）薆確定應力函數(shù)的邊界條件羂圖芀以A （ 0，h/2）為起始點，調(diào)整二 ax by c中的任意常數(shù)使蝕A = 0 ex.0;廠 a : y芅選左手坐標系且M以逆時針為正，應力函數(shù)在邊界條件上滿足莆逆時鐘向:=M ；.x=Ry；r創(chuàng)一 Rx (b)r蟻順時鐘向:Wr=-M；.x肇其中，r為流動邊界點。Rx， Ry和簡化的主矢量和

9、逆時鐘向主距。M分別是從A點起算的邊界載荷對r占莈在下邊界AB上，載荷處處為零。由（b）式得:荽= 0;勺蘭XEI、=0；=0r內(nèi)rj = h/2(d)肂左邊界AC是放松邊界，不必逐點給定©及其偏導數(shù)值。在邊界 CD上，按順時鐘向公式（c）得qx2)； £*= (P+qx);時=0 0 < l A2exrrly = -h/ 2(e)初 -(M Px肇（2）選擇域內(nèi)應力函數(shù)薅由應力函數(shù)沿主要邊界的分布規(guī)律可看出，©沿x方向按二次多項式規(guī)律變化,沿y方向的規(guī)律未知，由此可選2x篆二 fo(y) xfi(y) f2(y) (f)2羋帶入邊界條件(d (e)可以定出

10、待定函數(shù)的邊界條件祎當 y=h/2 時，fo=fi= f2=0dfo dfi df2 薅0(g)dy dy dy薀當 y= 2 時，fo= M ; fi= P; f2= q羀魚二叫二並“ (h)dy dy dy艿(3)求待定函數(shù)艿由邊界條件(g)可得出各待定常數(shù)：AE = 0；c4；Dh3，2h22P3PPE_h3；F =0;G;R =-薅2h2H2Mq ；K =0;,3M qh L =一 h310h；2h 80N 二M肂進而可得224yh1hyq80y- hy :3-/Vp 一 23 一 3yll4+y ：3-/Vq- 2y :4+yII3-/VM -2節(jié)荿最后帶回到公式（f）中得4y2h2

11、£）普（ih 80qx2)(1Px 1螃（4）求應力肁把（k ）式代入應力公式葿可以得到xy123 y(Mh6I I2、-3(P qx)( y ) h42 y y23Px qx) q (4 2)h h 52y)2hh22、(I)芁例二：圓環(huán)或圓筒受均布壓力衿圖三蕿設一軸向長度很長的圓環(huán)或者圓筒的截面如圖三示，起內(nèi)外徑分別為a, b,內(nèi)徑表面受內(nèi)壓力qa和外壓力qb作用薃考慮邊界條件薈將式A硏=p + B(1+2ln r) +2C ra蠶-B(3 2ln r) 2C(b) r環(huán)二巾=°羄代入后得到蟻式中有三個未知數(shù),值條件，即蝿要使其單值，必須有蒞將其代回應力分量式（肅上述應

12、力表達式中A2B(1 2ln a) 2C - -qa莁 a( c)A2 B(1 2ln b) 2C =qb b連個方程不能確定。對于多連體問題，位移須滿足位移單B=0，由式（c）得b）得應力分量為(3)(4) 螈若qb=O (而qaz 0),則徑向應力和環(huán)向應力分別為螆可見，二r總是壓應力，；總是拉應力。(5)(5) 薁若qa=0 (qbz0),徑向應力和環(huán)向應力分別為腿可見，二r , -總是壓應力。袈(4)若b；：(qa =0)，則轉(zhuǎn)化為具有圓形孔道的無限大彈性問題，則有膇例三：矩形薄板的位移，受力如圖芃圖四膂取坐標軸如圖所示，把位移函數(shù)設為羈所以芄不論各系數(shù)如何取值，上式都滿足固定邊的位移

13、邊界條件:羅按瑞利-里茲法求解。板的應力邊界條件為羈板上邊界:肇板下邊界:蚅板右邊界:Xumdxdy亠 iiXUmdScAn螀*蒂將位移試函數(shù)代入式:UYVmdxdy 亠 i iYvmdS/Bns匚膈將位移試函數(shù)代入應變勢能表達式，通過積分運算，將結(jié)果代入上面六個方程可確定待定系數(shù)。其結(jié)果是：所得的位移分量為：u = 0 V = TxE僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwende