(完整版)初中數(shù)學(xué)競賽專題選講-配方法(含答案)

1、 初中數(shù)學(xué)競賽專題配方法 一、內(nèi)容提要2a1. 配方：這里指的是在代數(shù)式恒等變形中，把二次三項式2 寫成完全平方式±2ab+b2有時需要在代數(shù)式中添項、折項、分組才能）. （a±b. 寫成完全平方式 常用的有以下三種：2222 +b2ab由a+b配上， 由2 ab配上a， 22. b配上由a±2ab 2.運(yùn)用配方法解題，初中階段主要有： 用完全平方式來因式分解 4. +4 因式分解例如：把x242222 +2)4x原式x+44x=(x4x222ab. 配上+b這是由 a這就需要把被開方數(shù) 二次根式化簡常用公式：，2 a?a. 寫成完全平方式. 例如：化簡625?3

2、 2寫成5我們把2 2326 22232)(2)3(2. ）（3222. a配上2 ab這是由+b- 1 - 求代數(shù)式的最大或最小值，方法之一是運(yùn)用實(shí)數(shù)的平方2 時，當(dāng)a=00， 是非負(fù)數(shù)，零就是最小值.即a2. 是最小值的值為a0 2. +2a2 的最值例如：求代數(shù)式a2223 2= aa+2a+2a+13=(a+1)2 3. 2有最小值當(dāng)a=1時, a+2a2 2b2ab配上這是由a± 有一類方程的解是運(yùn)用幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個非負(fù)數(shù)都是零，有時就需要配方. 22x, y. +2x-4y+5=0 的解:：求方程x+y例如 220. 4 解：方程x+y+2x-4y+122=

3、0. （x+1）+(y2)配方的可化為0?x?1?. 要使等式成立，必須且只需?0?2y?1x? 解得?2y? 此外在解二次方程中應(yīng)用根的判別式，或在證明等式、不等式時，也常要有配方的知識和技巧. - 2 - 二、例題2222+1. ba+4ab因式分解：例1. ab22222222) baab+2ab+1+(+2abb解：aa+4abb+1 （折項，分組） 22 （ab+1）(ab) （配方）(ab+1-a+b) （ab+1+a-b） （用平方差公式分解）. 本題的關(guān)鍵是用折項，分組，樹立配方的思想 2.例 化簡下列二次根式：. ； ； 210?243?32?3?74 解：化簡的關(guān)鍵是把被開

4、方數(shù)配方 2)?(2334?3223?7?4. 2 33?22)423(323?1? ?23?2222 2)2(3?16? . 22 2)2?1(10?42243?10? ）142（10? 2?2226?4?2?4- 3 - . =222)(2?2= 求下列代數(shù)式的最大或最小值：例3.226x+1 . 2x x+5x+1； 22555?22+1 xx+2解：x×+5x+1? 422?2152. ）（x+ 4252. 是最小值0x+，其中）0（ 22152. x=即當(dāng)+5x+1時，x有最小值 42122 +3x-2（x）2x6x+1 299132) x+=2(x+2×? 44

5、221132 +）2（x+ 2232 是最大值，0（x+，其中）02 21132. 6x+1有最大值時，2xx=當(dāng) 22 解下列方程：4.例 242 ；+2xy+y xx+1=0 22+4y+10=0. x+2xy+6x+2y 2242 =0 . +2xy+y（折項，分組）解：（x2x）（1x222 （配方） 1) (x+(x+y)=0. - 4 - 根據(jù)“幾個非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個非負(fù)數(shù)都應(yīng)等于零”. 2?0?x?1? 得 ?0?x?y?x?1x?1,? 或?y?1y?1?222x+2xy+y+6x+6y+9+y2y+1=0 . (折項，分組) 222y+1=0. +9+y(x+y)+6

6、（x+y）22 （配方）(x+y+3)+(y1)0. 0y?3?x?x?4? ?01?y?y?1?2222例5. 已知：a, b, c, d 都是整數(shù)且m=a+b, n=c+d, 則mn也可以表示為兩個整數(shù)的平方和，試寫出其形式. 222222222222 +d解：mn=( a+b)( c)= ac+ +ad +b c+ b d22222222分 c2abcd ( +b= ac+ b d+2abcd+ ad) 組，添項2 2+(ad-bc)=(ac+bd)22例6. 求方程 x+y-4x+10y+16=0的整數(shù)解 22) +10y+25=25 (添項解：x-4x+16+y22 （配方）（x4）

7、+(y+5)25 16. 和；9折成兩個整數(shù)的平方和，只能是250和252222?16?(x?4)x(x?4)?25（?4)?9?x（?4)0? 或或或?2222?9y?5)?16?0?25?y5)?(y5)?(y5)?(?x?4?0x?4? 得由?y?5?5y?0?- 5 - 4x?1?xx?9? 個解同理，共有12?10?y?55y?-y? 三、練習(xí) 因式分解：1. 22 4 422 -2xy+y-6x+6y+9 ； x+xy+y；x224+1. +xx-2ax-a 2. 化簡下列二次根式：53 ）；（x< 2225?4x?20x94x?12x? 22322x?4?3?xx (1&l

8、t;x<2)；?x?24x? ； ； 212?175?3 ； ；3?2411?45?3?5?32. ； ）（6）÷（3）（142x?53516?8xx? 3求下列代數(shù)式的最大或最小值：122+x-1. 2x+10x+1 ； x 2b?a22. 2b+5 . 的值求：4.已知：a+b4a223?222 的值. 求：+c=111, ab+bc+ca=29 . a+b+c5.已知：a+ba+b+c=0, abc=8 . a, b, c 滿足等式6.已知：實(shí)數(shù)111 . 值的正負(fù) 試判斷代數(shù)式? cba432?16xx?23x?6x?2. ,求：7.已知：x= 3?198 215?x?x8 - 6 - 參考答案 2 ）31. （xy2?10 ， 2. 8， 0.5x， 3 22 2 ， 2 310 ）x3 72x 3（， 5235時，有最 x=1時，有最小值 3. 當(dāng)x= 221 大值 2 324. a=2, b=1 代數(shù)式值是22ab+ac+bc<0 得出）=0 （ 6.負(fù)數(shù)。由a+b+c5. ±13 ，代入分母值為2， 先化簡已知為4 可4. 值為5。328x+13