整式的乘法與因式分解知識(shí)點(diǎn)

1、整式乘除與因式分解一.知識(shí)點(diǎn)（重點(diǎn)）1 .幕的運(yùn)算性質(zhì)：am an = am+n（m、n 為正整數(shù)）同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.m n2 .（a）= amn（m、n 為正整數(shù)）幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.士 n n - n J n- ，.3 .（ab）=a b（n為正整數(shù)）積的乘方等于各因式乘方的積.練習(xí)：_ 3_2(1) 5x 2x y, 、2 2(4) yz .2yz/ «m -=- nnm-n4. a . a = a一 ，,2 、(2) -3ab (-4b )232(5) (2x y) ,(4xy )(3) 3ab 2a,、 1 35, 2 /2、2(6) - a b

2、6a b c (-ac ) 3（aw0, m、n都是正整數(shù)，且 m>n）同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.例：(1) x8+x2(2) a4+ a(3) (ab) 5+ ( ab) 2（4） （-a） 7+ （-a） 5（5） （-b） 5+（-b）25 .零指數(shù)幕的概念：s° = 1（aw 0）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)幕都等于l .例：若（2a3b）0 =1成立，則a,b滿足什么條件?6 .負(fù)指數(shù)幕的概念：1a p=ap （aw0, p是正整數(shù)）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p （p是正整數(shù)）指數(shù)幕，等于這個(gè)數(shù)的 p指數(shù)幕的倒數(shù).也可表示為：、m J<n（m*0, n*0

3、, p為正整數(shù)）7 .單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為積的因式；對于只在一個(gè)單 項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.21213324例：(1) 3ab 2abc - abc (2) (- m n) (-2m n)328.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積 相加.22、221例：(1) 2ab(5ab +3a b)(2) (-ab -2ab) ab32(3) (-5m2n)，(2n+3m n2)(4)2(x+ y2z + xy2z3) xyz9.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一

4、個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相 乘，再把所得的積相加.例：(1) (1 -x)(0.6-x)(2) (2x + y)( x y)(3) (2m + n)2練習(xí):1 .計(jì)算 2x 3 ( 2xy)( 1 xy) 3 的結(jié)果是22 . (3X 10 8)X( 4X 10 4) =3,若n為正整數(shù)，且x 2n=3,則(3x3n) 2的值為4 .如果(a nb - ab m) 3= a 9b 15,那么 mn 的值是5 . a 2(2a 3a) :6.7.8.9.(4x 2+6x 8) , ( x 2)=222n(- 1 + 3mn ) =若 k(2k5) + 2k(1 k) = 32,貝U

5、 k =2、(3x 2) + (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) =10. 在(ax 2+bx3)(x 2；x + 8)的結(jié)果中不含x 3和x項(xiàng)，貝U a=11. 一個(gè)長方體的長為(a+4)cm,寬為(a3)cm,高為(a+5)cm,則它的表面積 為,體積為12. 一個(gè)長方形的長是10cm,寬比長少6cm,則它的面積是,若將長方 形的長和都擴(kuò)大了 2cm,則面積增大了 。10 .單項(xiàng)式的除法法則：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對于只在被除式 里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.例：(1) 28x4y2 + 7x3y (2) -5a5b3c+15a4

6、b (3) (2x2y) 3 (-7xy2) + 14x4y311 .多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則:多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式， 再把所得的 商相加.(2) (5a3b - 10a2b2 - 15ab3) (- 5ab)例：(1) (3x2 y - 6xy) 6xy練習(xí)：1 .計(jì)算：(1) -3x4y2z3 -x2y2;(2) (-2x2y 3-3 x2y277< 2(3) 16(a-b64-4(a-b2 ,(4) (4x3y2n 2+(2xyn f(5) (4X109 (-2x103 )2 .計(jì)算：(1) 16x3y3 fgx、3 J 一/y | ;(2)'

7、;2 2 '3(1 2 l5xyN2xy2-1xy(3)/-5an+b2P-1anb2 ,-2anbn |< 2 八 45 5 5)3 .計(jì)算：(1) 4(x y 5(x + y 4 L 6(y -x fx + y 2 (2) 16(a+b 6 (a-b 5 L la + b 3(a-b I .4. 若 (ax3my12) -(3x3y2n)=4x6y8 ,貝U a =, m =12.乘法公式：平方差公式：(a+ b) (ab) =a2b2完全平方公式：(a+ b) 2=a2 + 2ab+ b2(a b) 2 = a22ab+ b2例 1:(1) (7+6x)(7-6x) ;(2

8、) (3y + x)(x-3y) ;(3) (-m +2n)(-m-2n).例 2：(1) (x+6) 2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)練習(xí)：L 4c 3_1、(-a ) (-a )=。 x(x y ) -2(x y) I (-xy ) =2、6a4b3 +12a3b4 8a3b2 =2a3b2()22,、223、x +9y = (x +) ； x +2x-35 = (x+7) ()213114、已知 x + =5 ,那么 x + =; , x - I =。 xxx5、若9x2 +mxy +16y2是一個(gè)完全平方式，那么 m的值是32226、多項(xiàng)式x +x ,x +2x+1,x x

9、2的公因式是 。3 x 7、因式分解： 8+=。272128、因式分解：4m+2mn十一n =。49、計(jì)算：0.131父80.004父80.002父8=。2210、x -y -x + y=(x-y) A,則 A =13.因式分解(難點(diǎn))因式分解的定義.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式 分解.掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)分解對象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個(gè)要素缺一不可；(2)因式分解必須是恒等變形；(3)因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和

10、差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.二、熟練掌握因式分解的常用方法.3 52 4(2) 75x y - 35x y1、提公因式法例：(1) 8a3b2 +12ab3c2、公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：平方差公式：a2b2= (a+b) (a- b)完全平方公式：a2+2ab+ b2= ( a+ b) 2a2ab+ b2= (a b) 2例：(1) a2b2 -0.25c2(2) 9(a b)2 + 6(b a)+1422 22 222(3) a x -4a x y + 4x y(4) (x + y) 12(x + y)z+36z練習(xí)：1、

11、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于。2、x2 +x+m =(x -n)2 貝U m =n =3、2x3y2與12x6y的公因式是4、若 xm - yn = (x + y2 )(x - y2 )(x2 + y4),貝U m=, n=?5、在多項(xiàng)式m2 +n2,-a2 -b2,x4+4y2,Ys2十9t4中，可以用平方差公式分解因 式的有,其結(jié)果是6、若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則 m=。27、x + ()x+2=(x+2)(x+)8、已知 1 + x+x2 + x2004 +x2005 = 0，則 x2006 =.9、若16(a-b)2+M +25是完全平方式

12、M=。2一_、22一_、210、x +6x+(_)=(x+3) , x +()+9=(x-3)11、若9x2 +k + y2是完全平方式，則k=o12、若x2+4x-4的值為0,則3x2+12x_5的值是13、若 x2 ax 15 = (x +1)(x 15)貝U a =。 2214、右 x+y=4,x +y =6jMxy=。15、方程x2+4x = 0,的解是。中考考點(diǎn)解讀:整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面：考點(diǎn)1、哥的有關(guān)運(yùn)算例1. （2009年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（）（A） a3 .a2=a6（B） （a2）3=a5（C） a8 +

13、 a2=a4（D） （ab2）2=a2b4分析:哥的運(yùn)算包括同底數(shù)哥的乘法運(yùn)算、哥的乘方、積的乘方和同底數(shù)哥的除法運(yùn)算哥的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確解決哥的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則.解：根據(jù)同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算法則知a3 a2 =a342 =a5,所以（A）錯(cuò)；根據(jù)哥的乘方運(yùn)算法則知（a2）3 =a2* =a6，所以（B）錯(cuò)；根據(jù)同底數(shù)塞的除法法則知a8 -a2 =a8/ =a6，所以（C）錯(cuò)；故選（D）.例 2. （2009 年齊齊哈爾）已知 10m =2, 10n =3,貝 U 103mH2n= 分析：本題主要考查哥的運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)哥的乘法法則 am a

14、n =am+，將指數(shù)相加化為哥相乘的形式 ，再逆用哥的乘方的法則 （am）n =amn,將指數(shù) 相乘轉(zhuǎn)化為哥的乘方的形式，然后代入求值即可.解：103mH2n =103mx 102n =（i0m）3 xa。）2 = 23 x 32 =72.考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算例 3. （2009 年賀州）計(jì)算：（_2a） （1a31） =.4分析:本題主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.計(jì)算時(shí)，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，注意符號(hào)的變化.解：（-2a） （1a3 -1） = （-2a） -a3 -（-2a） 1 = -a4 +2a .442考點(diǎn)3、乘法公式2例 4. （2009 年山西?。┯?jì)算

15、：（x+3） （x 1 Xx 2）分析:運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同類項(xiàng)222斛：（x+3 ） （x1*x2）=x +6x+9（x 2xx*2）=x2 6x 9 -x2 2x x -2 = 9x 7.3例5. (2009年寧夏)已知：a+b=5，ab = 1 ,化簡(a 2)(b2)的結(jié)果是.分析:本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.首先按照法則進(jìn)行計(jì)算，然后靈活變形，使其出現(xiàn)(a+b)與ab,以便求值.3 一解：(a 一 2)(b 2) = ab -2a-2b + 4=ab-2(a+b)+4 = 1-2x- + 4=2.2考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值例6. (

16、2009年長沙)先化簡，再求值：(a+b)(a b)+(a+b)22a2 ,其中1 a =3, b =.3分析:本題是一道綜合計(jì)算題，主要在于乘法公式的應(yīng)用.2_2解：(a+b)(ab)+(a+b) -2a =a2 -b2 a2 2ab b2 -2a2 -2ab1 .1 一當(dāng) a3, b =-時(shí)，2 ab =2父3父| = 23 . 3.考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算例 7. (2009 年廈門)計(jì)算:(2xy)(2x+y) + y(y6x) 2x分析:本題的一道綜合計(jì)算題，首先要先算中括號(hào)內(nèi)的，注意乘法公式的使用，然后再進(jìn)行 整式的除法運(yùn)算.解：(2x-y)( 2x+ y) + y(y- 6x) -

17、2x= (4x2-y2+y2-6xy) -2x 2=(4x 6xy) -2x= 2x- 3y.考點(diǎn)6、定義新運(yùn)算例8. (2009年定西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其法則為：a。b = a2-b2,求方程(43) © x=24的解.分析:本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式a®b = a2 -b2可知，在本題中“份”定義的是平方差運(yùn)算，即用“ 日”前邊的數(shù)的平方減去 “學(xué)”后邊的數(shù)的 平方.解：= a© b =a2 -b2 ,(43)3x = (42 32伸 x = 75 x = 72x2.考點(diǎn)7、乘法公式例3( 1)(2009年白銀市)當(dāng)x = 3、y = 1時(shí)，代數(shù)式(x+y)(xy) + y2的值是.(2) (2009年十堰市)已知：a+b=3, ab=2,求a2+b2的值.解析：問題(1)主要是對乘法的平方差公式的考查.原式=x 2-y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.問題(2)考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，=(a+b)2 =a2+2ab+b2, a2 b2 = (a b)2 -2ab = 32 -2 2=5 .說明：乘法公式應(yīng)用極為廣泛，理解公式的本質(zhì)，把握公式的特征，熟練靈活地使用乘法公式，可以使運(yùn)算變得簡單