——函數(shù)的連續(xù)性

1、第四章 函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié) 連續(xù)性的概念一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性1、函數(shù)的直觀圖解2、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義（1）極限形式定義定義1：設(shè)在內(nèi)有定義，若，則稱在點(diǎn)連續(xù)。例、在處連續(xù)。注：討論在點(diǎn)連續(xù)，要求在（包括點(diǎn)）由定義。在點(diǎn)連續(xù)，意味著下面的運(yùn)算法則成立 （2）增量極限形式定義記自變量（在點(diǎn)）的增量，則定義：若，則稱在處連續(xù)。（3）語(yǔ)言定義若有，則稱在點(diǎn)連續(xù)。例、證明在連續(xù)，其中，為狄利克雷函數(shù)。（4）左、右極限形式定義定義2：設(shè)在在某區(qū)間（或）內(nèi)由定義，且 （或）則稱在點(diǎn)右（左）連續(xù)（5）歸結(jié)到數(shù)列極限定義 在點(diǎn)連續(xù)二、間斷點(diǎn)及其分類(lèi)1、間斷點(diǎn)定義定義3：設(shè)在某內(nèi)有定義，若在無(wú)定義，或在處有定

2、義但是不連續(xù)，則稱點(diǎn)為的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)。2、間斷點(diǎn)的分類(lèi)（1）第一類(lèi)間斷點(diǎn)（特點(diǎn)：左、右極限都存在） 可去間斷點(diǎn)若、在點(diǎn)無(wú)定義，或則稱為的可去間斷點(diǎn)。 跳躍間斷點(diǎn)若、都存在、則稱為的跳躍間斷點(diǎn)。（2）第二類(lèi)間斷點(diǎn)（特點(diǎn)：至少有一側(cè)極限不存在）三、區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)1、在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義若在上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為上的連續(xù)函數(shù)。注：若是在區(qū)間的端點(diǎn)連續(xù)，指左或右連續(xù)。2、在上的分段函數(shù) 在上的分段函數(shù)即指在上僅有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)。例、證明：黎曼函數(shù) 在內(nèi)任何無(wú)理點(diǎn)處都連續(xù)，任何有理點(diǎn)處都不連續(xù)。四、課堂練習(xí)1、習(xí)題42、五、作業(yè)第二節(jié) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【教學(xué)內(nèi)容】1、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，

3、2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，3、反函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。一、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)可以推出連續(xù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。1、局部有界性定理4.2：若在點(diǎn)連續(xù)在某內(nèi)有界，即，有。2、局部報(bào)號(hào)性定理4.3：若在點(diǎn)連續(xù)，且（或），則對(duì)（或），使得，有（或）3、四則運(yùn)算性質(zhì)定理4.4：若在點(diǎn)連續(xù)，則（滿足）也都在點(diǎn)連續(xù)。例、連續(xù)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)連續(xù)4、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理4.5：若 、在點(diǎn)連續(xù)，、在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)連續(xù)。注： 定理4.5可以展為 復(fù)合函數(shù)求極限公式 這里不一定要，或在無(wú)定義也可以，但要在連續(xù)。例、（1）求。（） （2）求。（） （3）設(shè)，證明

4、：在連續(xù)，但在不連續(xù)。（）二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)（證明在第七章）1、最值性定理4.6：，則在上有最大值與最小值，即，使得。推論（有界性）：，則在上有界。問(wèn)：在上無(wú)界，為什么？（因?yàn)樵诓贿B續(xù)）2、介值性定理4.7：設(shè) 、，、，、，且（或），則至少存在一點(diǎn)，使得。注：推論（零點(diǎn)定理）：設(shè) 、，、，至少存在一點(diǎn)，使得。3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用例：（1）證明：若，則存在唯一，使得。（例3） （2）若，且，則，或。（）三、反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8：設(shè) 、，、在上嚴(yán)格單調(diào)，則在或上連續(xù)。（回憶反函數(shù)存在定理（定理1.2）例：在上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，則。四、課堂練習(xí)1、設(shè) 、，、，證明：、在上有界，、

5、問(wèn)：在上必有最大值或最小值？（）2、設(shè)任意小，問(wèn)能不能推出？第二節(jié) 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）一、函數(shù)的整體連續(xù)性 一致連續(xù)1、連續(xù)定義中對(duì)的依賴性連續(xù)定義：，使得當(dāng)時(shí)，有，則。注：這里，表示與和的依賴關(guān)系。例1、考察在上的連續(xù)性。解：，限制，就有，取，則，有，顯然，與有關(guān)，有時(shí)特記為。2、一致連續(xù)性定義：設(shè)定義在上，使，只要，就有，則稱在上一致連續(xù)。注：用定義驗(yàn)證一致連續(xù)的方法：，確定存在，為此，從不失真地放大式子入手，使在放大后的式子中，除外，其余部分不含有與，然后使所得式子，從而解出。例2、證明在上一致連續(xù)。證明：，由于，取，則，只要，就有，即在上一致連續(xù)。3、一致連續(xù)的否定否定定義：，盡管，

6、但有。例3、證明在內(nèi)不一致收斂。（例9）證：取，令，則，但，所以在內(nèi)不一致收斂。4、一致收斂的判定定理4.9：若，則在上一致收斂。注：若在上一致收斂，且的右端點(diǎn)即是的左端點(diǎn)，且，則在上一致收斂。（證明見(jiàn)例10）第三節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性注：在本章中已證明了三角函數(shù)、反三角函數(shù)、有理指數(shù)冪函數(shù)等都是其定義域上的連續(xù)函數(shù)。 下面證明其他基本初等函數(shù)的連續(xù)性。一、基本初等函數(shù)的連續(xù)性1、指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性定理4.10：設(shè)，為任意實(shí)數(shù)，則 定理4.11：指數(shù)函數(shù)證明分析：時(shí)時(shí)令，則2、對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性由第三章第五節(jié)的例4，當(dāng)時(shí)有，即的值域?yàn)?，同理時(shí)亦是如此。作為的反函數(shù)，3、實(shí)指數(shù)冪函數(shù)的連續(xù)性設(shè)，即與的

7、復(fù)合，由和的連續(xù)性，以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，得。二、初等函數(shù)的連續(xù)性定理4.12：一切基本初等函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù)。定理4.13：任何初等函數(shù)都是在其定義域上的連續(xù)函數(shù)，因?yàn)槌醯群瘮?shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算得到的。三、課堂練習(xí)1、求。（）2、證明：在上一致連續(xù)。（）3、設(shè)，且存在，證明：在上一致連續(xù)。（）第四節(jié) 本章習(xí)題顆一、內(nèi)容精析（一）函數(shù)極限內(nèi)容1、函數(shù)極限定義的定義：，有成立。注：等情形。2、函數(shù)極限的性質(zhì)主要性質(zhì)有： 局部有界性， 局部保號(hào)性， 迫斂性。3、函數(shù)極限存在的判別方法 海涅歸結(jié)原則形式1：，有形式2：，有收斂。 柯西收斂準(zhǔn)則 ，有。4.兩個(gè)主要極限和5

8、、無(wú)窮小量（無(wú)窮大量）及其階 高階無(wú)窮小量 若，則記，稱為的高階無(wú)窮小量。 同階無(wú)窮小量 若，則稱與為同階無(wú)窮小量。注：當(dāng)時(shí)，稱與為等價(jià)無(wú)窮小量。（二）連續(xù)函數(shù)內(nèi)容1、函數(shù)連續(xù)性定義各種等價(jià)形式 極限形式：， 增量極限形式：， 語(yǔ)言：，有。2、間斷點(diǎn) 第一類(lèi)間斷點(diǎn)：左右極限都存在，包含可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)兩種。 第二類(lèi)間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在。3、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 局部有界性， 局部保號(hào)性， 四則運(yùn)算， 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 有界性定理 最值定理在上可以取到最大值和最小值 介值定理 ，則可以取到和間的所有值。5、一致連續(xù)性 在區(qū)間上一致連續(xù)，則，有。判斷一致收斂的方法：在上一致收斂。6、初等函數(shù)的連續(xù)性二、例題