【步步高通用理】屆高三《考前三個月》專題復習篇【配套word版文檔】專題四第一講資料

1、.專題四 數(shù)列推理與證明第一講 等差數(shù)列與等比數(shù)列1.an與Sn的關(guān)系:Sn=a1+a2+an,an=2.等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義an-an-1=常數(shù)(n2)=常數(shù)(n2)通項公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項公式法:2an+1=an+an+2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項公式法:an=pn+q(pq為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項和公式法:Sn=An2+Bn(AB為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)an為等比數(shù)列,an>0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項公式法:a=an·an+2(n1)(an0)an為等

2、比數(shù)列(3)通項公式法:an=c·qn(cq均是不為0的常數(shù),nN*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a>0且a1)性質(zhì)(1)若mnpqN*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq(2)an=am+(n-m)d(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差數(shù)列(1)若mnpqN*,且m+n=p+q,則am·an=ap·aq(2)an=amqn-m(3)等比數(shù)列依次每n項和(Sn0)仍成等比數(shù)列前n項和Sn=na1+d(1)q1,Sn=(2)q=1,Sn=na11. (2013·江西)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,的第四

3、項等于( )A.-24 B.0 C.12 D.24答案 A解析 由x,3x+3,6x+6成等比數(shù)列得,(3x+3)2=x(6x+6).解得x1=-3或x2=-1(不合題意,舍去).故數(shù)列的第四項為-24.2. (2012·福建)等差數(shù)列an中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列an的公差為( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 方法一 設等差數(shù)列an的公差為d,由題意得 解得d=2.方法二 在等差數(shù)列an中,a1+a5=2a3=10,a3=5.又a4=7,公差d=7-5=2.3. (2013·遼寧)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列an的四個命題:p1:數(shù)列an

4、是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列nan是遞增數(shù)列;p3:數(shù)列是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列.其中的真命題為( )A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4答案 D解析 an=a1+(n-1)d,d>0,an-an-1=d>0,命題p1正確.nan=na1+n(n-1)d,nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d與0的大小和a1的取值情況有關(guān).故數(shù)列nan不一定遞增,命題p2不正確.對于p3:=+d,-=,當d-a1>0,即d>a1時,數(shù)列遞增,但d>a1不一定成立,則p3不正確.對于p4:設bn=an+3nd,則bn+1-bn=an

5、+1-an+3d=4d>0.數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列,p4正確.綜上,正確的命題為p1,p4.4. (2013·重慶)已知an是等差數(shù)列,a1=1,公差d0,Sn為其前n項和,若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8=_.答案 64解析 因為a1,a2,a5成等比數(shù)列,則a=a1·a5,即(1+d)2=1×(1+4d),d=2.所以an=1+(n-1)×2=2n-1,S8=4×(1+15)=64.5. (2013·江蘇)在正項等比數(shù)列an中,a5=,a6+a7=3.則滿足a1+a2+an>a1a2an的最大正整數(shù)n的值為_.

6、答案 12解析 由已知條件a5=,a6+a7=3,即q+q2=3,整理得q2+q-6=0,解得q=2,或q=-3(舍去).an=a5qn-5=×2n-5=2n-6,a1+a2+an=(2n-1),a1a2an=2-52-42-32n-6=2 ,由a1+a2+an>a1a2an可知2n>2 +1,n12.題型一 等差(比)數(shù)列的基本運算例1 (2012·山東)已知等差數(shù)列an的前5項和為105,且a10=2a5.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)對任意mN*,將數(shù)列an中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列bm的前m項和Sm.審題破題 (1)由已知列出關(guān)于首項和

7、公差的方程組,解得a1和d,從而求出an.(2)求出bm,再根據(jù)其特征選用求和方法.解 (1)設數(shù)列an的公差為d,前n項和為Tn,由T5=105,a10=2a5,得解得a1=7,d=7.因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(nN*).(2)對mN*,若an=7n72m,則n72m-1.因此bm=72m-1.所以數(shù)列bm是首項為7,公比為49的等比數(shù)列,故Sm=.反思歸納 關(guān)于等差(等比)數(shù)列的基本運算,一般通過其通項公式和前n項和公式構(gòu)造關(guān)于a1和d(或q)的方程或方程組解決,如果在求解過程中能夠靈活運用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì),不僅可以快速獲解,而且有助于加深對等差(等比)數(shù)

8、列問題的認識.變式訓練1 (2013·浙江)在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.(1)求d,an;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解 (1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)設數(shù)列an的前n項和為Sn.因為d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.當n11時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-n2+n.當n12時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S1

9、1=n2-n+110.綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=題型二 等差(比)數(shù)列性質(zhì)的應用例2 (1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列an,前20項和為100,則a7·a14的最大值是( )A.25 B.50 C.100 D.不存在(2)在等差數(shù)列an中,a1=-2 013,其前n項和為Sn,若-=2,則S2 013的值為( )A.-2 011 B.-2 012 C.-2 010 D.-2 013審題破題 (1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),a7+a14=a1+a20,S20=可求出a7+a14,然后利用基本不等式;(2)等差數(shù)列an中,Sn是其前n項和,則也成等差數(shù)列.答案 (1)A (

10、2)D解析 (1)S20=×20=100,a1+a20=10.a1+a20=a7+a14,a7+a14=10.an>0,a7·a142=25.當且僅當a7=a14時取等號.(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得數(shù)列也是等差數(shù)列,根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項=a1=-2 013,公差d=1,故=-2 013+(2 013-1)×1=-1,所以S2 013=-2 013.反思歸納 等差數(shù)列和等比數(shù)列的項,前n項和都有一些類似的性質(zhì),充分利用性質(zhì)可簡化解題過程.變式訓練2 (1)數(shù)列an是等差數(shù)列,若<-1,且它的前n項和Sn有最大值,那么當Sn取得最小正值時,n等于(

11、 )A.11 B.17 C.19 D.21答案 C解析 an的前n項和Sn有最大值,數(shù)列為遞減數(shù)列.又<-1,a10>0,a11<0,得a10+a11<0.而S19=19·a10>0,S20=10(a10+a11)<0.故當n=19時,Sn取得最小正值.(2)公比為2的等比數(shù)列an的各項都是正數(shù),且a3a11=16,則log2a10等于( )A.4 B.5 C.6 D.7答案 B解析 a3·a11=16,a=16.又等比數(shù)列an的各項都是正數(shù),a7=4.又a10=a7q3=4×23=25,log2a10=5.題型三 等差數(shù)列等比

12、數(shù)列的綜合應用例3 已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足條件2Sn=3(an-1),其中nN*.(1)證明:數(shù)列an為等比數(shù)列;(2)設數(shù)列bn滿足bn=log3an,若cn=anbn,求數(shù)列cn的前n項和.審題破題 (1)利用an=Sn-Sn-1求出an與an-1之間的關(guān)系,進而用定義證明數(shù)列an為等比數(shù)列.(2)由(1)的結(jié)論得出數(shù)列bn的通項公式,求出cn的表達式,再利用錯位相減法求和.(1)證明 由題意得an=Sn-Sn-1=(an-an-1)(n2),an=3an-1,=3(n2),又S1=(a1-1)=a1,解得a1=3,數(shù)列an為首項為3,公比為3的等比數(shù)列.(2)解 由(1)得an=

13、3n,則bn=log3an=log33n=n,cn=anbn=n·3n,設Tn=1·31+2·32+3·33+(n-1)·3n-1+n·3n,3Tn=1·32+2·33+3·34+(n-1)·3n+n·3n+1.-2Tn=31+32+33+3n-n·3n+1=-n·3n+1,Tn=.反思歸納 等差等比數(shù)列的判斷與證明方法是由已知條件求出an或得到an+1與an的遞推關(guān)系,再確認an+1-an=d(nN*,d為常數(shù))或=q(nN*,q為非零常數(shù))是否對一切正整數(shù)均成立

14、.變式訓練3 已知等差數(shù)列an的首項a1=1,公差d>0,且第2項第5項第14項分別是等比數(shù)列bn的第2項第3項第4項.(1)求數(shù)列anbn的通項公式;(2)設數(shù)列cn對nN*,均有+=an+1成立,求c1+c2+c2 013.解 (1)a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,d>0,(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2.則an=1+(n-1)×2=2n-1.又b2=a2=3,b3=a5=9,等比數(shù)列bn的公比q=3.bn=b2qn-2=3×3n-2=3n-1.(2)由+=an+1,得當n2時,+=an,兩式相減,得=an+1-an=2

15、,cn=2bn=2×3n-1 (n2)而當n=1時,=a2,c1=3.cn=c1+c2+c2 013=3+2×31+2×32+2×32 012=3+=3-3+32 013=32 013.典例 (12分)已知數(shù)列a1,a2,a30,其中a1,a2,a10是首項為1,公差為1的等差數(shù)列;a10,a11,a20是公差為d的等差數(shù)列;a20,a21,a30是公差為d2的等差數(shù)列(d0).(1)若a20=40,求d;(2)試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式,并求a30的取值范圍;(3)續(xù)寫已知數(shù)列,使得a30,a31,a40是公差為d3的等差數(shù)列,依次類推,把已知數(shù)列推廣

16、為無窮數(shù)列.提出同(2)類似的問題(2)應當作為特例),并進行研究,你能得到什么樣的結(jié)論?規(guī)范解答解 (1)由題意可得a10=10,a20=10+10d=40,d=3.3分(2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)=10(d0).5分當d(-,0)(0,+)時,a307.5,+).7分(3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列an,其中a1,a2,a10是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,當n1時,數(shù)列a10n,a10n+1,a10(n+1)是公差為dn的等差數(shù)列.8分研究的問題可以是:試寫出a10(n+1)關(guān)于d的關(guān)系式,并求出a10(n+1)的取值范圍.研究的結(jié)論可以是:由a40=a30+10d

17、3=10(1+d+d2+d3),9分依次類推可得a10(n+1)=10(1+d+dn)=11分當d>0時,a10(n+1)的取值范圍為(10,+).12分評分細則 (1)列出關(guān)于d的方程給1分;(2)求a30的范圍時沒有注明d0扣1分.閱卷老師提醒 本題從具體數(shù)列入手,先確定d,然后利用函數(shù)思想求a30的范圍,最后通過觀察尋求一般規(guī)律,將結(jié)論進行推廣,要求熟練掌握數(shù)列的基本知識,靈活運用數(shù)列性質(zhì).1. 已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù),且a3·a7=4a,a2=2,則a1等于( )A.1 B. C.2 D.答案 A解析 設數(shù)列an的公比為q(q>0),由a2>0,知a4

18、>0,a5>0,由于a3·a7=a,所以a=4a,從而a5=2a4,q=2,故a1=1.2. 已知an為等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示數(shù)列an的前n項和,則使得Sn取得最大值的n是( )A.21 B.20 C.19 D.18答案 B解析 設數(shù)列an的公差是d,則a2+a4+a6-(a1+a3+a5)=3d=99-105=-6,即d=-2.又3a3=105,所以a3=35.所以an=a3+(n-3)d=41-2n.令an>0得n<20.5,即數(shù)列an的前20項均為正,自第21項起以后各項均為負,因此使得Sn達到最大值的n為

19、20.3. 首項為-24的等差數(shù)列an從第10項開始為正數(shù),則公差d的取值范圍是( )A.d<3 B.<d<3C.<d3 D.d3答案 C解析 設等差數(shù)列an的公差為d,由已知得即所以d的取值范圍是<d3.4. (2013·遼寧)已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列,Sn是an的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=_.答案 63解析 a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩根,且q>1,a1=1,a3=4,則公比q=2,因此S6=63.5. (2012·浙江)設公比為q(q>0)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S2

20、=3a2+2,S4=3a4+2,則q=_.答案 解析 方法一 S4=S2+a3+a4=3a2+2+a3+a4=3a4+2,將a3=a2q,a4=a2q2代入得,3a2+2+a2q+a2q2=3a2q2+2,化簡得2q2-q-3=0,解得q=(q=-1不合題意,舍去).方法二 設等比數(shù)列an的首項為a1,由S2=3a2+2,得a1(1+q)=3a1q+2.由S4=3a4+2,得a1(1+q)(1+q2)=3a1q3+2.由-得a1q2(1+q)=3a1q(q2-1).q>0,q=.6. (2013·安徽)如圖,互不相同的點A1,A2,An,和B1,B2,Bn分別在角O的兩條邊上,

21、所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等.設OAn=an,若a1=1,a2=2,則數(shù)列an的通項公式是_.答案 an=解析 由已知S梯形AnBnBn+1An+1=S梯形An+1Bn+1Bn+2An+2,SOBn+1An+1-SOBnAn=SOBn+2An+2-SOBn+1An+1,即SOBnAn+SOBn+2An+2=2SOBn+1An+1由相似三角形面積比是相似比的平方知OA+OA=2OA,即a+a=2a,因此a為等差數(shù)列且a=a+3(n-1)=3n-2,故an=.專題限時規(guī)范訓練一選擇題1. (2013·課標全國)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S3

22、=a2+10a1,a5=9,則a1等于( )A. B.- C. D.-答案 C解析 設等比數(shù)列an的公比為q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.2. 等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若2S4=S5+S6,則數(shù)列an的公比q的值為( )A.-2或1 B.-1或2C.-2 D.1答案 C解析 方法一 若q=1,則S4=4a1,S5=5a1,S6=6a1,顯然不滿足2S4=S5+S6,故AD錯.若q=-1,則S4=S6=0,S5=a50,不滿足條件,故B錯,因此選C.方法二 經(jīng)檢驗q=1不適合,則由2S4=S5+S6,

23、得2(1-q4)=1-q5+1-q6,化簡得q2+q-2=0,q=1(舍去),q=-2.3. 已知an為等差數(shù)列,a2+a8=,則S9等于( )A.4 B.5 C.6 D.7答案 C解析 an為等差數(shù)列,a2+a8=a1+a9=,S9=6.4. 一個由實數(shù)組成的等比數(shù)列,它的前6項和是前3項和的9倍,則此數(shù)列的公比為( )A.2 B.3 C. D.答案 A解析 等比數(shù)列中,S6=9S3,S6-S3=8S3,=q3=8,q=2.5. 已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn,且=,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 D解析 由等差數(shù)列的前n項和及等

24、差中項,可得=7+ (nN*),故n=1,2,3,5,11時,為整數(shù).6. 已知an為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項,Sn為an的前n項和,nN*,則S10的值為( )A.-110 B.-90C.90 D.110答案 D解析 a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又a7是a3與a9的等比中項,(a1-12)2=(a1-4)·(a1-16),解得a1=20.S10=10×20+×10×9×(-2)=110.7. 已知數(shù)列an滿足1+log3an=log3an+1(nN+),且

25、a2+a4+a6=9,則log(a5+a7+a9)的值是( )A. B.- C.5 D.-5答案 D解析 由1+log3an=log3an+1得=3,an為等比數(shù)列,公比為3.a5+a7+a9=27(a2+a4+a6)=27×9=35,log(a5+a7+a9)=log35=-5.8. 設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足S15>0,S16<0,則,中最大的項為( )A. B. C. D.答案 D解析 由S15=15a8>0,得a8>0.由S16=<0,得a9+a8<0,所以a9<0,且d<0.所以數(shù)列an為遞減數(shù)列.所以a1,a8為

26、正,a9,an為負,且S1,S2,S15>0,S16,S17,Sn<0,則<0,<0,>0.又S8>S7>S6>0,a6>a7>a8>0.>>,故最大.二填空題9. (2013·課標全國)若數(shù)列an的前n項和Sn=an+,則an的通項公式是an=_.答案 (-2)n-1解析 當n=1時,a1=1;當n2時,an=Sn-Sn-1=an-an-1,故=-2,故an=(-2)n-1.10.(2013·課標全國)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為_.答案 -49

27、解析 由題意知a1+a10=0,a1+a15=.兩式相減得a15-a10=5d,d=,a1=-3.nSn=n·=f(n),f(n)=n(3n-20).令f(n)=0得n=0(舍)或n=.當n>時,f(n)是單調(diào)遞增的;當0<n<時,f(n)是單調(diào)遞減的.故當n=7時,f(n)取最小值,f(n)min=-49.nSn的最小值為-49.11.設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當Sn取最小值時,n=_.答案 6解析 設等差數(shù)列的公差為d,則由a4+a6=-6得2a5=-6,a5=-3.又a1=-11,-3=-11+4d,d=2,Sn=-11n+×2=n2-12n=(n-6)2-36,故當n=6時Sn取最小值.12.在數(shù)列an中,如果對任意nN*都有=k(k為常數(shù)),則稱數(shù)列an為等