不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題問(wèn)題詳解

1、不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1.已知平面流場(chǎng)的速度分布為xy，Uy22xy 5y 求在點(diǎn)（1,-1）處流體微團(tuán)的線變形速度，角變形速度和旋轉(zhuǎn)角速度。解：（1）線變形速度:Ux2xUy4xy角變形速度:uy旋轉(zhuǎn)角速度:將點(diǎn)（1, -1）UxuyUx32y2代入可得流體微團(tuán)的z 3/2； z 1/22.已知有旋流動(dòng)的速度場(chǎng)為Ux2y32,Uy 2z 3x,Uz 2x 3y。試求旋轉(zhuǎn)角速度，角變形速度和渦線方程。解：旋轉(zhuǎn)角速度:UzUy角變形速度:UxUzuyUxuyUzUxUzuy上dx由dydz 積分得渦線的方程為:3.已知有旋流動(dòng)的速度場(chǎng)為Ux c/y2 z2 , Uy 0, uz 0 ,式中 c為

2、常數(shù),試求流場(chǎng)的渦量及渦線方程0解：流場(chǎng)的渦量為:UzUyUxUzczUyUxcy,y2旋轉(zhuǎn)角速度分別為:則渦線的方程為:dydz可得渦線的方程為:4.求沿封閉曲線X2Ux Ay , Uy 0 ；0的速度環(huán)量。（i）Ux Ax , Uv 0； xyA/'r 。其中a為常數(shù)。解：（1）由封閉曲線方程可知該曲線時(shí)在 z=0的平面上的圓周線。在z=0的平面上速度分布為:Ux Ax , Uy渦量分布為:根據(jù)斯托克斯定理得:（2）渦量分布為:根據(jù)斯托克斯定理得:zdAzA b2由于ur 0 , uA/rAyAx，Uy r bbA則轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為：ux2yxrUy Ux 2A2x y b根據(jù)斯托

3、克斯定理得：s A zdAz 2 A5.試確定下列各流場(chǎng)是否滿足不可壓縮流體的連續(xù)性條件?答：不可壓縮流體連續(xù)性方程一 UxUyUz（i）直角坐標(biāo)： 0xyz Ur Ur U Uz柱面坐標(biāo)：L z0r r r z(i) Ux kx, Uy ky, Uz 0代入（i） 滿足(2)ux y z,Uv z x,Uz xxyz Uxk(x2xy y2),Uyk(x2y代入（i） 滿足y2）,Uz 0 代入（i） 不滿足代入（i） 不滿足(5)ur0,u kr,uz 0代入（2）滿足(4)ux ksin xy, Uyksin xy,Uz 0k代入（2）滿足(6)ur ,u0,uz 0r ur 2rsin

4、 cos ,u2r sin2 ,Uz 0代入（2） 滿足6.已知流場(chǎng)的速度分布為Ux3y，Uz22z。求（3,1, 2）點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度。解:axUxUxUxUx uy一Uzux0 z2x y 2xy_23 2_ 23y x 0 2x y 3x yayuyUxuyUyuyUzuyazUzUz將質(zhì)點(diǎn)ax(3, 1,9yUx x2）代入ax、UzUy 一yUzUzay、az中分別得:ay 9, az 648z27.已知平面流場(chǎng)的速度分布為ux 4t2y22x速度解:uxUxuxUxuy 一 y4t2y-2xF。求t y2x 2y0 時(shí)，在（i,i）點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的加0時(shí),ax8xy22x 2x2

5、將（i,1）代入得axayuy uyT Ux三2y22 2yuyuy4t當(dāng)t=0時(shí)，將（1, 1）代入得:8.設(shè)兩平板之間的距離為 2h,分布。ay平板長(zhǎng)寬皆為無(wú)限大,解：Z方向速度與時(shí)間無(wú)關(guān)，質(zhì)量力:fxg運(yùn)動(dòng)方程：Z方向:d 2u dx2x方向：0積分：pgx f(z)p對(duì)z的偏導(dǎo)與x無(wú)關(guān),積分：u邊界條件:得：C10, C22x2y2 x224y2 2 y2y x2如圖所示口z方向的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為Cx C2ph2 z4x22x-2x4xy2 2 y試用粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程，求此不可壓縮流體恒定流的流速d2u dy29.沿傾斜平面均勻地流下的薄液層，試證明：（1）流層內(nèi)的速度分布為22by

6、 y sin ；（2）單位免度上的3 .流重為q - b sin3解：x方向速度與時(shí)間無(wú)關(guān)，質(zhì)量力 fx g sinfyg cos運(yùn)動(dòng)方程：X方向:0 gsin1 p d 2u- ax dy2y方向:積分p0 g cosgycosPaPag(h y)cosf(x) b 常數(shù) p與x無(wú)關(guān)可變?yōu)閐2u獷gsingb cos f (x)積分ugsin 1 2(2y GyC2)邊界條件:dudyC1b, C2 0gsin2y(2b y)2L(2by2、 .y )sinb0udy02(2by2、y )sin dy一b3 sin 310.描繪出下列流速場(chǎng)右 _、+ dx解：流線方程： dyuy3，代入流線

7、方程，積分:3y -x4(a) ux 4, uy直線族(b) u*4, uv 3x ,代入流線方程，積分:x y拋物線族(c) ux 4y , uy 0 ,代入流線方程，積分:直線族(d) u* 4y, uv 3,代入流線方程，積分: x y2 2 3y拋物線族(e) ux 4y , u3x，代入流線方程，積分:3x224y c橢圓族,.、一 ,22(f) ux 4y,uy 4x,代入流線方程，積分： x y c雙曲線族22(g) ux 4y, uy 4x,代入流線萬(wàn)程，積分：x y c(h) ux 4, uy0,代入流線方程，積分：y Cy直線族2x(I) ux 4, uv4x,代入流線方程

8、，積分：y cxy拋物線族(j) ux 4x, uy 0,代入流線方程，積分： y C直線族(k) ux 4xy , uy 0,代入流線方程，積分： y直線族c0,由換算公式:(i) urrx0r rcx2 x ycux 一uxur cosu sinuyur sin ucosuycy2 y代入流線方程積分:直線族(m ur0, uuxcycx22x y代入流線方程積分:11.在上題流速場(chǎng)中，哪些流動(dòng)是無(wú)旋流動(dòng)，哪些流動(dòng)是有旋流動(dòng)。如果是有旋流動(dòng)，它的旋轉(zhuǎn)角速度的表達(dá)式是什么?解：無(wú)旋流有：u ya (或工 -u-l(a) , (f), (h), (j ), (l),(nt為無(wú)旋流動(dòng),其余的為有

9、旋流動(dòng)對(duì)有旋流動(dòng)，旋轉(zhuǎn)角速度:2（uy巴) y(b)(g)3一(c)24 (i(d)2 (e)(k)2x12.在上題流速場(chǎng)中，求出各有勢(shì)流動(dòng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)。解：勢(shì)函數(shù)u*dx uvdyxy ，流函數(shù)Uxdy Uydx(a)4dx 3dy 4x 3y4dy 3dx3x 4y(e)4ydxx3xdy x 4y°dxx0yo3xdy取(xO, y°)為(0,0)積分路線可選其中 0,0x,0 : dyo,yx,0 x,y0,xx(°°dx3xdy)y(04ydx3xdy)(00)(0 3xy) 3xy4ydy3xdx2y2 lx其他各題略13.流速場(chǎng)為（a）

10、urc一，(b)ur r0,u2r時(shí)，求半徑為r1和r2的兩流線間流量的表達(dá)式。解：dQ durdu dr(a)cdr rcln rricln r2( cln r1) cln -(b)2rdr222(r；r；)14.流速場(chǎng)的流函數(shù)是3x2y它是否是無(wú)旋流動(dòng)？如果不是，計(jì)算它的旋轉(zhuǎn)角速度口證明任一點(diǎn)的流速只取決于它對(duì)原點(diǎn)的距離。繪流線解： 6xyx6y3x23y26yUx流線是無(wú)旋流3x2 3y222. jUx U y3(x2uyy2)6xy2 3r即任一點(diǎn)的流速只取決于它對(duì)原點(diǎn)的距離2 即 3x2 yy2) 2i當(dāng)水平流速變化時(shí),也變化用描點(diǎn)法：22y (3xy i,xy i,xy 2,xy

11、2,x（圖略）15 .確定半無(wú)限物體的輪廓線，需要哪些量來(lái)決定流函數(shù)。要改變物體的寬度，需要變動(dòng)哪些量。以某一水平流動(dòng)設(shè)計(jì)的繞流流速場(chǎng)，當(dāng)水平流動(dòng)的流速變化時(shí)，流函數(shù)是否變化？解：需要水平流速v0 ,半無(wú)限物體的迎來(lái)流方向的截面 A,由這兩個(gè)參數(shù)可得流量 Q v0A。改變物體寬度，就改變了流量。Q x yVo y - arctg :16 .確定朗金橢圓的輪廓線主要取決于哪些量？試根據(jù)指定長(zhǎng)度l 2m ,指定寬度b 0.5m ,設(shè)計(jì)朗金橢圓的輪廓線。解：需要水平流速v0, 一對(duì)強(qiáng)度相等的源和匯的位置a以及流量QVoyQyr(arctgT, y 、 arctg)x a駐點(diǎn)在y 0, X22lx y

12、 ,一處，由l 2,b 0.5得橢圓輪廓方程： y一7 121(0.25)2即：x216y2117.確定繞圓柱流場(chǎng)的輪廓線，主要取決于哪些量？已知R 2m ,求流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)。解：需要流速v0,柱體半徑Rv0(rR2) sinv0(r4) sin rv0(rv0(r18.等強(qiáng)度的兩源流，位于距原點(diǎn)為R2、)cos ra的x軸上，求流函數(shù)。并確定駐點(diǎn)位置口如果此流速場(chǎng)和流函數(shù)為vy的流速場(chǎng)相疊加，繪出流線，并確定駐點(diǎn)位置。解：疊加前， y ，(arctg arctg 一 x a x匕)ax a(-2 ，22y (x a)x a272y (x a)R2)cos ruy(2 J 2y (x a)uy

13、Qy (y2a2)ux 0a)uy 0.駐點(diǎn)位置(0,0)疊加后/ y(arctgx aarctg流速為零的條件： u V 、，nvxy nyQ2 (x a)Q2 (x a)122解得：x- Q Q (2a v)即駐點(diǎn)坐標(biāo)： Q . Q2 (2a v)2 ,02 v '12-v.Q2一(2a-v)2 ,02 ,19.強(qiáng)度同為60m /s的源流和匯流位于 x軸，各距原點(diǎn)為a3m o計(jì)算坐標(biāo)原點(diǎn)的流速。計(jì)算通過(guò) (0,4)點(diǎn)的流線的流函數(shù)值，并求該點(diǎn)流速。Q / yy 、解： (arctg arctg)2 x a x aUxy 0,Q60,a 3112y xx a6.37m/ suy(0,4)的流函數(shù):,4(arctg -,4、 arctg )Q arctg 4Ux Q 60,x 0,y 4,a 3y11)1 J)2x ax a180m/ s25Uy 020.為了在 (0,5) 點(diǎn)產(chǎn)生10的速度，在坐標(biāo)原點(diǎn)應(yīng)加強(qiáng)度多大的偶極矩？過(guò)此點(diǎn)的流函數(shù)值為何?2解：M 2 v0R