用matlab編程設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器

1、目錄1摘要.32設(shè)計(jì)原理.42.1切比雪夫?yàn)V波器介紹 .42.2濾波器的分類.52.3模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo) .63切比雪夫I型濾波器.73.1切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)原理.73.2切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)步驟 .103.3用matlab編程設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器 .114總結(jié).185參考文獻(xiàn).18摘要隨著信息和數(shù)字時(shí)代的到來(lái)，數(shù)字信號(hào)處理已成為當(dāng)今一門 極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號(hào)中經(jīng) ?；煊懈鞣N復(fù)雜成分， 因此很多信號(hào)的處理都是基于濾波器而進(jìn) 行的。 所以，數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中起著舉足輕重的作用。而數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)都要以模擬濾波器為根底的，這是因?yàn)槟M 濾波器的理論和設(shè)

2、計(jì)方方法都已開展的相當(dāng)成熟，且有典型的模擬濾波器供我們選擇。，如巴特沃思濾波器、切比雪夫?yàn)V波器 等。本次課程設(shè)計(jì)將運(yùn)用MATLAB計(jì)一個(gè)基于切比雪夫低通濾 波器，并出所設(shè)計(jì)濾波器的幅度及幅度衰減特性。關(guān)鍵詞：濾波切比雪夫模擬低通1切比雪夫?yàn)V波器介紹在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。因此，假設(shè) 濾波器的技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來(lái)給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的局部都會(huì)超出技術(shù)指標(biāo)。一種比擬有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布丁通帶或阻帶內(nèi)， 或同時(shí)在通帶和阻帶內(nèi)都 均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾波器階次。通過選擇一種具有等波 紋特性而不是單調(diào)

3、特性的逼近方法可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。切比雪夫型濾波器就具 有這種性質(zhì)：其頻率響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的(稱為I型切比雪夫?yàn)V波器)，也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶 中是等波紋的(稱為II型切比雪夫?yàn)V波器)，其中切比雪夫II型濾波器乂 稱為逆切比雪夫?yàn)V波器。I型切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)是1|Hc(j)|2= 1；2cN(“/“c)其中&是一個(gè)小丁1的正數(shù)，它與通帶波紋有關(guān)，&越大，波紋也越大,式中為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為2 , 、從(2.2)式我們注意到，當(dāng) 0X1時(shí)，cosx是虛數(shù)，所以CN(X)像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加。參考(2.1),|Hc(j

4、O)|2對(duì)丁。5皿1呈現(xiàn)出在1和1/ (E2)之間的波動(dòng)；而對(duì) 丁1單調(diào)地減小。需要用三個(gè)參量來(lái)確定該濾波器：p和 在典型的設(shè)計(jì)中，用容許的通帶波紋來(lái)確定 而用希望的通帶截止頻率來(lái)c。然后選擇適宜的階次N,以便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。(2.1)1 、CN(X)= cos(N cosX)(2.2)當(dāng)N大丁或等丁1時(shí)，從定義切比雪夫多項(xiàng)式可以直接得出由CN(X)和CNX)求CN+(X)的遞推公式。將三角包等式代入(2.2)式，得定義允許的通帶最大衰減P用下式表示:2max Ha( jQ)ap= 10lg !，GXQPmin Ha(jQ)為了求切比雪夫?yàn)V波器在橢圓上極點(diǎn)的位置，我們首先要這樣確定，在

5、大圓和小圓上以等角度 等間隔排列的那些點(diǎn)：這些點(diǎn)對(duì)丁虛軸呈對(duì)稱分 布，并且沒有一個(gè)點(diǎn)落在虛軸上；但當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)要有一個(gè)點(diǎn)落在實(shí)軸上， 而當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，就都不會(huì)落在實(shí)軸上。切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)落在橢圓上，起縱坐標(biāo)由相應(yīng)的大圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)表示， 起橫坐標(biāo)由相應(yīng)的小圓上點(diǎn)的 橫坐標(biāo)來(lái)表示。3切比雪夫I型濾波器3.1切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)原理切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性具有等波紋特性。它有兩種形式：振幅特性 在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫I型濾波器，振幅特 性在阻帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫II型濾波器，如 圖所示分別畫出了濾波器的幅頻特性和衰減函數(shù)。CN1(X)=2

6、XCN(X) -CN項(xiàng)X)(2.3)確定以切比雪夫I型為例介紹其設(shè)計(jì)原理，一一 、.一、“，F(xiàn)2.幅度平萬(wàn)函數(shù)用|H(jQ)表小11 + /CN(: )(2-3-1 ) p式中，&為小丁1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，8越大，波動(dòng) 幅度也越大。Qp稱為通帶截止頻率。令A(yù) = %，稱為對(duì)Qp的歸一化頻 率。定義允許的通帶內(nèi)最大衰減p用下式表示pmax |Ha(jQ)icjcap=10lg !,Q|)式中2maxha(jQ)| =1(2-3-3)21min ha(jQ) =-2(2-3-4 )1；2因此:p =10lg(12)2H(j)(2-3-5 )I乩IlI M)|；2=10*1(

7、2-3-6 )(2-3-13 )這樣，可以根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減ap,可求出參數(shù)階數(shù)N影響過渡帶的寬度，同時(shí)也影響通帶內(nèi)波動(dòng)的疏密,因?yàn)镹等丁通帶內(nèi)的最大值和最小值的總個(gè)數(shù)。設(shè)阻帶的起點(diǎn)頻率為Os,那么有H(j-s)1 ;2CN2(2-3-7 )令令，s =，由s1,有p1CN-s=ch Narchs=Ha(jQs)(2-3-8 )可以解出arch1|2 1Ha(jd |arch ,s(2-3-9 )= QpchLrch13dB截止頻率用 d 表示,12Hajs(2-3-10 )(2-3-11 )按照2-3-1 式，有-larch1N(2-3-12 )經(jīng)過一系歹0推論Ga:fc)i W得歸一化系統(tǒng)

8、函數(shù)為；2=10*1(2-3-6 )(2-3-13 )(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Gap去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為- 1N-ps =NF；2Np-ppi 43.2切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟(1)確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：邊帶頻率Qp,通帶最大衰減app p阻帶最大衰減阻帶截至頻率 d,它們滿足(2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)(2-3-17 )(2-3-18 )K1archk/N =archs這樣，先由(2-18 )式求出 K1*,代入(2-3-19),求出階數(shù)N,最后取大丁或等丁N的最小整數(shù)o:-p = 10lgHa三j*2(2-3-15 ):s=10lg2Ha三j-s(2-3-16 )Ha(s) = Ga(

9、p)(2-3-14 )(2-3-19 )(2-3-20 )Ga P )=NcN以以 I . P - Pii 4(4)將去歸一化，得到實(shí)際的HasHa(s)=G(p)SQ(2-3-21 )3.3用MATLAB計(jì)切比雪夫低通濾波器(1) Matlab的信號(hào)處理工具箱提供了頻譜分析函數(shù)：fft函數(shù)、filter函數(shù)和freqz函數(shù)。fft函數(shù)filter函數(shù)功能：利用IIR濾波器和FIR濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。調(diào)用格式：y=filter(b,a,x)y,zf=filter(b,a,x)y=filter(b,a,x,zi)說明：filter采用數(shù)字濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，其實(shí)現(xiàn)采用移位直接皿型結(jié)構(gòu)，因而適

10、用丁IIR和FIR濾波器。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為Hbpz b2z qz生bmz1 az &z a3zyz#即濾波器系數(shù)a=a0 a1 a2 .an,b=b0 b1 .bm,輸入序歹0欠量為x。這里，標(biāo)準(zhǔn)形式為a0=1，如果輸入欠量a時(shí)，a0 1, WJ MATLAB將自動(dòng)進(jìn)行歸一化系數(shù)的操作；如果a0=0,那么給出出錯(cuò)信息。y=filter(b,a,x)利用給定系數(shù)欠量a和b對(duì)x中的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，結(jié)果放入y欠量中，y的長(zhǎng)度取max(N,M)。y=filter(b,a,x,zi)可在zi中指定x的初始狀態(tài)。y,zf=filter(b,a,x)除得到欠量y夕卜，還得到x的最終狀態(tài)欠量zf(2-

11、3-20 )freqz函數(shù)功能：離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)格式：h,w=freqz(b,a,n)h,f=freqz(b,a,n,Fs) h=freqz(b,a,w)h=freqz(b,a,f,Fs)freqz(b,a,n)說明：freqz用于計(jì)算數(shù)字濾波器H(Z)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej3 )。h,w=freqz(b,a,n)可得到數(shù)字濾波器的n點(diǎn)復(fù)頻響應(yīng)值，這n個(gè)點(diǎn)均 勻地分布在0,兀上，并將這n個(gè)頻點(diǎn)的頻率記錄在w中，相應(yīng)的頻響值記 錄在h中。要求n為大于零的整數(shù)，最好為2的整數(shù)次籍,以便采用FFT計(jì)算， 提高速度。缺省時(shí)n =512。h,f=freqz(b,a,n,Fs)用于對(duì)H(ej 3)在

12、0,Fs/2上等間隔采樣n點(diǎn)，采樣點(diǎn)頻率及相應(yīng)頻響值分別記錄在f和h中。由用戶指定FS(以HZ為單位)值。h=freqz(b,a,w)用于對(duì)H(ej 3 )在0,2兀上進(jìn)行采樣， 采樣頻率點(diǎn)由 矢量w指定。h=freqz(b,a,f,Fs)用于對(duì)H(ej 3)在0,FS上采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢 量f指定。freqz(b,a,n)用于在當(dāng)前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。fft函數(shù)函數(shù)功能：對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換。格式：fft(X)fft(X,N)fft(X,DIM)或fft(X,N,DIM)說明:fft(X)是對(duì)輸入信號(hào)X的離散傅里葉變換。fft(X,N)是N點(diǎn)的傅里葉變換，如果X少于N點(diǎn)那么補(bǔ)

13、0湊齊位數(shù)，長(zhǎng)于N點(diǎn)那么截?cái)?。如果x是個(gè)矩陣，列的長(zhǎng)度將會(huì)以同樣的方式調(diào)整，fft會(huì)對(duì)每列進(jìn)行傅里葉 變換，并返回一個(gè)相同維數(shù)的矩陣。fft(X,DIM)或fft(X,N,DIM)是離散傅里葉變換在DIM尺度上的應(yīng)用。DIM可適應(yīng)于任意維度的fft運(yùn)算。(2)確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：N-橢圓濾波器最小階數(shù);Wn為橢圓濾波器的帶寬;Wp-W圓濾波器通帶截止角頻率;Ws-ffi圓濾波器阻帶起始角頻率；Rp-通帶波紋(dB);Rs-阻帶最小衰減(dB);設(shè)計(jì)要求是低通濾波器，需要屏蔽的是15Hz和30Hz的波形，所以可令fp=5Hz，設(shè)fs=8Hz, Rp40dB(3)連續(xù)信號(hào)的產(chǎn)生及采樣：cle

14、arf1=5;f2=15;f3=30;N=100;fs=100;n=(0:N-1); %采樣點(diǎn)數(shù)為Nx1=sin(2*pi*f1*n/fs);x2=sin(2*pi*f2*n/fs);x3=sin(2*pi*f3*n/fs); %模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)x=x1+x2+x3; %信號(hào)疊加plot(n,x); %作出時(shí)間-幅值圖像xlabel(時(shí)間(s);ylabel(幅值);grid;連續(xù)信號(hào)仿真圖時(shí)間(s)(4)低通濾波器的設(shè)計(jì)Wp=8;Ws=12;Rp=2;Rs=40;%S置指標(biāo)參數(shù)N,wp1=cheb1ord(Wp/(fs/2),Ws/(fs/2),Rp,Rs);%利用cheblord函

15、數(shù)求濾波器最小階數(shù)b,a=cheby1(N,Rp,wp1); %計(jì)算切比雪夫I型模擬低通濾波器系統(tǒng)函 數(shù)系數(shù)H,f=freqz(b,a,512,100); %求幅值H,頻率fplot(f,abs(H);切比雪夫I型模擬低通濾波器仿真圖17nr11rrT11r0.90.6/ u/ V V0,7.0.6-D.5-一0 4-0.3-0.2-0.1 -Vn1J|111H10510152。253。35404550(5)對(duì)濾波后的信號(hào)進(jìn)行分析和變換sf=filter(b,a,x);%對(duì)原信號(hào)進(jìn)行濾波plot(n,sf);xlabel(時(shí)間(s);ylabel(幅值);axis(0 1-1 1);X=fft

16、(x,512); %濾波前信號(hào)的傅里葉變換SF=fft(sf,512); %濾波后信號(hào)的傅里葉變換f=(0:255)/256*(fs/2);plot(f,abs(X(1:256) SF(1:256); % xlabel(頻率(Hz);ylabel(傅立葉變換圖);濾波前后信號(hào)圖像比照grid;legend(before,after)信號(hào)通過橢圓低通濾波器的仿真圖注：圖中藍(lán)色曲線代表濾波前的幅頻曲線，綠線代表濾波后的幅頻曲線3.4設(shè)計(jì)結(jié)果分析(1)求得階數(shù)N=通帶邊界頻率為wp = 0.1600 ,說明階數(shù)越大，模 擬低通濾波器越理想，且接近矩形。(2)從圖上可以看出：切比雪夫I型濾波器是在通帶頻率響應(yīng)幅度等波 紋的濾波器，通帶內(nèi)具有等波紋起伏特性，阻帶內(nèi)單調(diào)下降且衰減更大:幅 度在低頻處通過，隨著頻率的增加，逐漸衰減至零；綜上所看：本設(shè)計(jì)符合 要求。(3)切比雪夫?yàn)V波器的特點(diǎn)是在通帶內(nèi)，具有相等的波紋。截頻衰減陡度比同階數(shù)巴特沃斯特性更陡度比同階數(shù)程時(shí)的衰減就超過6NdB在階數(shù)N一定時(shí)，波紋越大，截頻衰減陡度越陡。相位響應(yīng)也是非線性，但較之比巴 特沃斯為差?？偨Y(jié)經(jīng)過了將近一個(gè)周的課程設(shè)計(jì)， 我學(xué)會(huì)的如何使用matlab來(lái)進(jìn)行濾波器的 設(shè)計(jì)，通過這次課程設(shè)計(jì)我不僅學(xué)到了許多關(guān)于matlab的知識(shí)，認(rèn)識(shí)到了matlab的強(qiáng)大功能，更