(教師版)青島中考動點問題

1、搜集青島中考模擬題中的數(shù)學壓軸題動點問題解題策略  近幾年來，運動型問題常常被列為中考的壓軸問題。動點問題屬于運動型問題，這類問題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設計一個或幾個動點，并對這些點在運動變化的過程中伴隨著等量關系、變量關系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關系等進行研究考察。問題常常集幾何、代數(shù)知識于一體，數(shù)形結 合，有較強的綜合性。    解決這類問題的策略一般有：1.把握點運動的全過程，要注意用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，抓住其中的等量關系和變量關系。2.特別關注一些不變的量、不變的關系或特殊關系，化動為靜，由特殊情

2、形（特殊點、特殊位置、特殊圖形等）過渡到一般情形。要抓住圖形在動態(tài)變化中暫時靜止的某一瞬間，將這些點鎖定在某一位置上，問題的實質(zhì)就容易顯現(xiàn)出來，從而得到解題的方法。3.畫出圖形，這一步很重要。 因為隨著點的移動，與之相關的一些圖形肯定隨著改變，而且點移動到不同的位置，我們要研究的圖形可能會改變。所以，一定要畫圖，不能憑空想象。4.當一個問題是有關確定圖形的變量之間的關系時，通常建立函數(shù)模型求解；當確定圖形之間的特殊位置關系或者一些特殊值時，通常建立方程模型求解。一般會涉及到全等和相似?？傊?，動點問題的解題思路是動中取定（或說動中取靜都可以），多畫幾個圖形，通常一種情況畫出一個圖形，就

3、可以把動點轉(zhuǎn)化成一般的幾何證明了。如果設時間為t,一般情況將從以下12個問題中選出（1）求某條線段的長度（2）求某個三角形的面積s與時間t的函數(shù)關系式（3）求兩個圖形重疊部分或動點所帶的射線掃某個圖形部分的面積s與時間t的函數(shù)關系式并求面積的最大值（4）t取何值時兩直線平行（5）t取何值時兩直線垂直？（6）t取何值時某三角形為等腰三角形三角形？（7） t取何值時某三角形為直角三角形？（8）t取何值時某四邊形為特殊四邊形？（9） t取何值時兩個三角形全等或相似（10）當動點所帶的射線把某個中心對稱圖形的面積二等分時求t.（11）點在運動的過程中，某個圖形的面積或角度是否發(fā)生變化，若不變，求出這個

4、面積或角的度數(shù)，若變化，說明怎樣變？（12）當拋物線等分某些特殊點的數(shù)量時求t的取值范圍2、練習：（2006浙江臺州）如圖(1)，直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊AOB，點C為x正半軸上一動點(OC1)，連結BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊CBD，直線DA交y軸于點E.xy圖(1)（1）OBC與ABD全等嗎？判斷并證明你的結論;（2）隨著點C位置的變化，點E的位置是否會發(fā)生變化? 若沒有變化，求出點E的坐標；若有變化，請說明理由.二、與四邊形有關的動點問題1. 例題：（2006晉江）在平行四邊形ABCD中，AD=4 cm，A=60°，BDA

5、D. 一動點P從A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿ABC的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PMAD .(1) 當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求APE的面積；(2) 當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿ABC的路線運動，且在AB上以每秒1 cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運動. 過Q作直線QN，使QNPM. 設點Q運動的時間為t秒(0t10)，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm2 . 求S關于t的函數(shù)關系式； (附加題) 求S的最大值。解題思路：第（1）問比較簡單，就是一個靜態(tài)問題當點P運動2秒時，AP=2 cm，由A=60°

6、;，知AE=1，PE=. SAPE=第（2）問就是一個動態(tài)問題了，題目要求面積與運動時間的函數(shù)關系式，這就需要我們根據(jù)題目，綜合分析，分類討論，P點從ABC一共用了12秒，走了12 cm，Q 點從AB用了8秒，BC用了2秒，所以t的取值范圍是 0t10不變量：P、Q 點走過的總路程都是12cm，P點的速度不變，所以AP始終為：t+2若速度有變化，總路程 =變化前的路程+變化后的路程=變化前的速度×變化點所用時間+變化后的速度×（t變化點所用時間）如當8t10時，點Q所走的路程AQ=1×8+2（t8）=2t-8 當0t6時，點P與點Q都在AB上運動，設PM與AD交于

7、點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=. 此時兩平行線截平行四邊形ABCD是一個直角梯形，其面積為（PG + QF ）×AG÷2 S=. 當6t8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動. 設PM與DC交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，DF=4-（總量減部分量），QF=，AP=t+2，BP=t-6（總量減部分量），CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（總量減部分量），PG=，而BD=，故此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為平行四邊形的面積減去兩個三角形面積S=.當8t10時，點P和點Q都在BC上運

8、動. 設PM與DC交于點G，QN與DC交于點F，則AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8） =20-2t，（難點）QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=. 此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.26. （10分）巳知：如圖，梯形ABCD中，ADBC，ABCD3cm，C60°，BDCD 求BC、 AD的長度； 若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm秒的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm秒的速度運動，當 P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍（不包含點P在B、C兩點的情況

9、）； 在的前提下，是否存在某一時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為15？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由26.（本小題滿分10分）把兩個全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角滿足條件：0°90°)，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖）.(1)在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關系？四邊形BHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結論；(2)連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設BH=，GKH的面積為，求與之間

10、的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；AG(O)ECBF(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面積恰好等于ABC面積的？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由.解：(1)(2)(3)26（本小題滿分10分）（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BHCK，四邊形CHGK的面積不變. 2分證明：連結CG ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點 CG=BG,CGAB.ACG=B=45°.BGH與CGK均為旋轉(zhuǎn)角，BGH=CGK.BGHCGK.BH=CK,SBGH=SCGK.S四邊形CHGK=SCHG+SCGK=SCHG+SBGH=SABC=××4×4=

11、4.HAG(O)ECBFK即：S四邊形CHGK的面積為4，是一個定值，在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化.5分(2)AC=BC=4,BH=，CH=4-,CK=.由SGHK=S四邊形CHGK-SCHK，得=0°90°，04.8分(3)存在.根據(jù)題意，得 解這個方程，得 即：當或時，GHK的面積均等于ABC的面積的10分24（本小題滿分12分）如圖，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O 是EFG斜邊上的中點如圖，若整個EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB

12、方向平移，在EFG 平移的同時，點P從EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，EFG也隨之停止平移設運動時間為x（s），F(xiàn)G的延長線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2)（不考慮點P與G、F重合的情況）（1）當x為何值時，OPAC ?（2）求y與x 之間的函數(shù)關系式，并確定自變量x的取值范圍（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由（參考數(shù)據(jù)：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62

13、 21.16）24（本小題滿分12分）解：（1）RtEFGRtABC ，F(xiàn)G3cm 2當P為FG的中點時，OPEG ，EGAC ，OPAC x ×31.5（s）當x為1.5s時，OPAC 4（2）在RtEFG 中，由勾股定理得：EF 5cmEGAH ，EFGAFH AH（ x 5），F(xiàn)H（x5）6過點O作ODFP ，垂足為 D 點O為EF中點，ODEG2cmFP3x ，S四邊形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·（x5）·（x5）×2×（3x ）x2x3 7（0x38（3）假設存在某一時

14、刻x，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHP×SABCx2x3××6×8106x285x2500解得 x1， x2 （舍去）0x3，當x（s）時，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為13241224（本小題滿分12分）已知：如圖，在中，點由出發(fā)沿方向向點勻速運動，速度為1cm/s；點由出發(fā)沿方向向點勻速運動，速度為2cm/s；連接若設運動的時間為（），解答下列問題：（1）當為何值時，？（2）設的面積為（），求與之間的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻，使線段恰好把的周長和面積同時平分？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；

15、AQCPB圖AQCPB圖（4）如圖，連接，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時刻，使四邊形為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由24（本小題滿分12分）解：（1）在RtABC中，由題意知：AP = 5t，AQ = 2t，若PQBC，則APQ ABC，圖BAQPCH 3（2）過點P作PHAC于HAPH ABC， 6（3）若PQ把ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ， 解得：若PQ把ABC面積平分，則， 即3t=3 t=1代入上面方程不成立， 不存在這一時刻t，使線段PQ把RtACB的周長和面積同時平分9（4）過點P作PMAC于，PNBC于N，P BAQPC圖MN若

16、四邊形PQP C是菱形，那么PQPCPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC， ， ，解得：當時，四邊形PQP C 是菱形 此時，在RtPMC中，菱形PQP C邊長為121、例題：(05重慶課改)如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動,設點P、Q移動的時間為t秒yxOPQA B(1) 求直線AB的解析式；(2) 當t為何值時，APQ與AOB相似？ (3) 當t為何值時，APQ的面積為個平方單位？解：（）設直線AB的解析式為ykx

17、byxOPQA B由題意，得 b68kb0 解得 k b6所以，直線AB的解析式為yx6（）由AO6， BO8 得AB10所以APt ，AQ102t yxOPQA B1°當APQAOB時，APQAOB所以 解得t(秒)2°當AQPAOB時，AQPAOB所以 解得t(秒)（）過點Q作QE垂直AO于點EyxOPQA BE在RtAOB中，SinBAO在RtAEQ中，QEAQ·SinBAO(10-2t)·8t所以，SAPQAP·QEt·(8t) 4t解得t2（秒）或t3（秒）24（本小題滿分12分）已知：如圖，ABC是邊長3cm的等邊三角形，

18、動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動設點P的運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當t為何值時，PBQ是直角三角形?（2）設四邊形APQC的面積為y（cm2），求y與t的關系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應的t值；不存在，說明理由；（3）設PQ的長為x（cm），試確定y與x之間的關系式解：24（本小題滿分12分）解： 根據(jù)題意：APt cm，BQt cmABC中，ABBC3cm，B60°，BP(3t ) cmPBQ中，BP3t，BQt，若PBQ是直角三角形，則BQP90°或BPQ90°當BQP90°時，BQ BP即t (3t )，t1 (秒)當BPQ90°時，BP BQ3t t，t2 (秒)答：當t1秒或t2秒時，PBQ是直角三角形 4 過P作PMBC于M RtBPM中，s