五年級(jí)奧數(shù)立體圖形問題

1、課程五(1)(3)立體圖形問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 長方體、正方體表面積的計(jì)算2. 長方體、正方體的切割問題3. 長方體、正方體的體積4. 不規(guī)則物體的體積重 點(diǎn)計(jì)算長方體和正方體的表面積應(yīng)注意的問題（1） 找出必備條件（長、寬、高或棱長），如題中沒有直接給出，則先求出必備條件，再求表面積（有蓋還是無蓋）。（2）統(tǒng)一計(jì)量單位，單位不統(tǒng)一的，一般要通過化、聚，使單位統(tǒng)一 后再計(jì)算。（3 ）求所需用的面積材料時(shí)，一般用“進(jìn)一法“取近似值。（4）用同樣多的立體拼圖，由于拼法不同，重疊的次數(shù)不同，表面積 就會(huì)發(fā)生變化，每重疊一次，就減少兩個(gè)面；每切一刀，就增加兩個(gè)面。1. 長方體和正方體的體積概念及其計(jì)算公式

2、（1）長方體體積=長寬*高V 長方體abc（2 ） 正方體體積=棱長x棱長X棱長V正方體=a32. 求不規(guī)則物體的體積水中物體的體積=容器的底面積x水上升或下降的高度。 水上升或下降的高度=水中物體的體積十容器的底面積容器的底面積=水中物體的體積十水上升或下降的高度5厘米的小正方體,有一個(gè)長15厘米，寬10厘米，高8厘米的長方體，現(xiàn)在要在這個(gè)長方體中挖去一個(gè)棱長為那么剩下部分的表面積是多少分析與解法根據(jù)長方體的特征我們可以知道，挖去小正方體的位置有3種情況，可能是在面上，如圖（1），可能在頂點(diǎn)上,例7如圖（2）,可能在棱上，如圖（3）。在面上時(shí)，可以用長方體的表面積+小正方體4個(gè)面的面積；在角

3、上時(shí)，正好等于長方體的表面積；在棱上時(shí)，要用長方體的表面積+小正方體2個(gè)面的面積。解：原長方體表面積為：（15 X 10+15 X 8+10 X 8） X 2=700 （平方厘米）在角上時(shí)，剩下部分的表面積是700 （平方厘米）；在面上時(shí)，剩下部分的表面積是：700+5 X 5X 4=800 （平方厘米）在棱上時(shí)，剩下部分的表面積是：700 + 5 X 5X 2 = 750 （平方厘米）所以剩下部分的表面積是 700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。說明：本題也是要考慮可能出現(xiàn)的各種情況，要做到不重不漏。例2如圖棱長是2分米的正方體，沿與AB棱垂直的方向切3刀，沿與BC棱垂直的方向

4、切4刀，沿與BF棱垂直的方 向切5刀，共得到大小長方體 120個(gè)。問這120個(gè)長方體的表面積之和是多少平方分米。卜分析與解法在這道題中，120個(gè)長方體表面積的總和是由原來正方體的表面積與所有切面的面積兩部分組成。每切一刀, 就增加2個(gè)邊長是2分米的正方形，共切 12刀，增加了 24個(gè)邊長是2分米的正方形。解：2 X 2 X 6+ 2 X 2 X （3+ 4 + 5）X 2=24 + 96=120 （平方分米）答：這120個(gè)長方體的表面積是 120平方分米。說明：此題并沒有要求是平均切，所以只能考慮在原來基礎(chǔ)上增加了多少。例3有一根長米的方木，把它截成3段，表面積增加了 144平方厘米，這根方木

5、的體積是多少立方分米分析與解法把方木截成三段要截 2次，每截一次要增加 2個(gè)面，截2次增加4個(gè)面，4個(gè)面的面積為144平方厘米，144十 4= 36 （平方厘米），根據(jù)體積公式就能求出方木的體積。解：144 - 4= 36 （平方厘米）36X 350= 12600 （立方厘米）=（立方分米）答：這根方木的體積是立方分米。說明：切n刀分出（n+1）段，增加2n個(gè)面。一個(gè)長方體的表面積是平方分米，底面積是19平方分米，底面周長是分米，這個(gè)長方體的體積是多少分析與解法表面積減去兩個(gè)底面積，差就是長方體的側(cè)面積，側(cè)面積除以底面周長是長方體的高。根據(jù)公式“底面積x高”求出長方體的體積。(x 2) +=(

6、分米)19x=(立方分米)例5一個(gè)長方體正塊，長 5分米，寬3分米，高4分米，在它的六個(gè)面上都漆滿油漆然后鋸成棱長都是1分米的正方體木塊，鋸成的小正方體木塊中，幾個(gè)三面有紅色兩個(gè)面、一個(gè)面有紅色的各有幾個(gè)有沒有六個(gè)面都沒有紅色的 如果有，有幾個(gè)憐分析與解法切開后三個(gè)面是紅色的 8個(gè)頂點(diǎn)處；兩個(gè)面是紅色的在每條棱的中間 (兩頭各去掉1個(gè))；一面是紅色的在每個(gè) 面的中間(上下和左右都各去掉 1個(gè))。六個(gè)面都沒有紅色的， 在原來的長方體的正中， 也就是把原來長方體涂色的 面都去掉剩下的長方體。解：切開后三面有紅色的有 8個(gè)；兩個(gè)面有紅色的有 (5-2) + ( 3- 2) + ( 4 2) X 4

7、= 24 (個(gè))一個(gè)面有紅色的有(5 2)X( 3 2) + ( 5 2)X( 4 2) + ( 3 2)X( 4 2) X 2= 22 (個(gè))六個(gè)面都沒有紅色的有(5-2 ) X( 3-2 ) X( 4-2 ) =6 (個(gè))說明：平時(shí)要多動(dòng)手，多培養(yǎng)自己的動(dòng)手能力和空間想象能力。憐例6在長為16厘米，寬為15厘米的長方體水箱中有 10厘米深的水。現(xiàn)在往水箱里放一塊石頭完全沉入水中， 這時(shí) 水面上升了 4厘米。如果把石頭取出來又放入一個(gè)鐵球(球浸沒在水中，且水沒有溢出)，這時(shí)水深17厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容積和鐵球、石頭的體積。分析與解法水上升4厘米的體積就是石頭的體積。17 10=

8、 7 (厘米)，這7厘米高的水的體積就是鐵球的體積，由這些已知條件，再根據(jù)長方體的體積公式就能 分別求出它們的體積。解：16X 15 X 4= 960 (立方厘米)16X 15X( 17 10)= 1680 (立方厘米)16X 15X 17 = 4080 (立方厘米)答：水箱的容積是 4080立方厘米，鐵球的體積是 1680立方厘米，石頭的體積是 960立方厘米。說明：仔細(xì)讀題，注意“上升了”，“水深”等詞語，很容易解題。一個(gè)棱長都是整數(shù)的長方體的表面積是110平方厘米，已知它的 6個(gè)面中有2個(gè)相對(duì)面是正方形，它的體積是多少分析與解法根據(jù)題意得知，這個(gè)長方體6個(gè)面中有兩個(gè)面是正方形，假設(shè)它的長

9、、寬相等。假設(shè)長和寬用字母a表示，高用h表示，根據(jù)等量關(guān)系式就能找到答案。解：設(shè)長方體的長和寬都是a厘米，高是h厘米。由題意可知：22a +4ah=110即 a （a+2h） =55=5X 11因?yàn)閍和h都是整數(shù)，所以a = 5, a+ 2h= 11所以 a=5,h=3長方體的體積是 5 X 5 X 3= 75 （立方厘米）答：長方體的體積是 75立方厘米。說明：當(dāng)題目出現(xiàn)未知數(shù)時(shí)，列方程解方程是比較簡便的方法。憐例8小明在桌面上擺了一些大小一樣的正方體木塊，擺完后從正面看如圖（1）,從側(cè)面看如圖（2）,那么他最多用了多少塊木塊最少用了多少塊木塊分析與解法（1 ）最多用了 25塊正方體，第一層

10、放 3 X 4= 12塊，第二層放3 X 3 = 9塊，第三層的4角各放一塊共4塊，總 共用了 12 + 9+ 4 = 25 塊。（2）在（1）的基礎(chǔ)上不影響視圖（1 ）、（2）的情況下逐步減少正方體，最少用 9塊。我們用圖來說明小正方體312321223123300000200103最少9塊最多25塊左圖顯示在一個(gè)4X3的方格長方形中，每個(gè)小方格中標(biāo)有的數(shù)字表示在這個(gè)小方格中摞起的小正方體的個(gè)數(shù)。最多用25塊小正方體；右圖顯示最少用 9塊小正方體。1. 圖（練是用習(xí)長1厘米的立方體搭成的一個(gè)空間圖形，問其體積是多少表面積是多少2.從一個(gè)長方體上截下一個(gè)體積是32立方厘米的長方體后，剩下的部分正好是棱長為4厘米的正方體，問原來3.這個(gè)長方體的表面積是多少平方厘米 下面圖中哪些可以拼成正方體（4. 一根鐵絲圍成的長方體，長15分米，寬8分米，高7分米，如果還用這根鐵絲改圍成一個(gè)正方體，那么這個(gè)正方體的棱長是多少分米5. 用棱長是1厘米的立方塊拼成如圖的立體圖形，從正面看和從右面看得到的是什么樣的圖形6. 一個(gè)長方體的水箱，從里面量長8分米，寬6分米，先倒入102升水，再放入一塊棱