模型參考自適應(yīng)控制ModelReferenceAdaptiveControl簡稱MRAC

1、（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章1第九章 模型參考自適應(yīng)控制(Model Reference AdaptiveControl)簡稱MRAC介紹另一類比較成功的白適應(yīng)控制系統(tǒng)，已有較完整的設(shè)計理 論和豐富的應(yīng)用成果(駕駛儀、航天、電傳動、核反應(yīng)堆等等)。 91 MRAC的基本概念系統(tǒng)包含一個參考模型，模型動態(tài)表征了對系統(tǒng)動態(tài)性能的理 想要求，MRAC力求使被控系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)與模型的響應(yīng)相一致。 與STR不同之處是MRAC沒有明顯的辨識部分，而是通過與參考模 型的比較，察覺被控對象特性的變化，具有跟蹤迅速的突出優(yōu)點。設(shè)參考模型的方程為Xm=AmXm+Br式(9-1-1)ym=CXm式(9-

2、1-2)被控系統(tǒng)的方程為.XS=AS*BS式(9-1-3)VsCXS式(9-1-4) 兩者動態(tài)響應(yīng)的比較結(jié)果稱為廣義誤差，定義輸出廣義誤差為e = ym- ys式(9-1-5)；（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章2狀態(tài)廣義誤差為5 = Xm-Xs式(9-1-6)。白適應(yīng)控制的目標(biāo)是使得某個與廣義誤差有關(guān)的白適應(yīng)控制性能指標(biāo)J達到最小。J可有不同的定義，例如單輸出系統(tǒng)的t2J =0e ( )d或多輸出系統(tǒng)的tTJ =eT( )e( )d0式(9-1-8)MRAC的設(shè)計方法目的是得出白適應(yīng)控制率，即溝通廣義誤差 與被控系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)間關(guān)系的算式。有兩類設(shè)計方法：一類是“局部 參數(shù)最優(yōu)化設(shè)計方法

3、”，目標(biāo)是使得性能指標(biāo)J達到最優(yōu)化；另一類 是使得白適應(yīng)控制系統(tǒng)能夠確保穩(wěn)定工作，稱之為“穩(wěn)定性理論的設(shè)計方法。 9 2局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計方法一、利用梯度法的局部參數(shù)最優(yōu)化的設(shè)計方法式(9-1-7)（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章3這里要用到非線性規(guī)劃最優(yōu)化算法中的一種最簡單的方法梯度法(Gradient Method )。1.梯度法考慮一元函數(shù)f(x),當(dāng)：cf (x)/ ex = 0，且Bf2(x) / cx2 0時f(x)存在極小值。問題是怎樣調(diào)整x使得f (x)能達到極小值？x有兩個調(diào)整方向：當(dāng)f(x)/ ex 0時應(yīng)減小x ；當(dāng)8f(x)/Ex 0)。把函數(shù)f(x)在x方向

4、的偏導(dǎo)數(shù)稱為梯度。上式含義為：按照梯度的 負方向調(diào)整白變量x。該結(jié)論可推廣到多元函數(shù)求極值的情況。2.具有一個時變參數(shù)一一可調(diào)增益的MRAC設(shè)計(MIT方案)1958年由麻省理工學(xué)院提出。理想模型（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章4(2004年教案)辨識與自適應(yīng) 第九章5式(9-2-2)參考模型傳函為ym( s ) _ Kmq ( s) r(s) p(s)式中：q(s) = bisn-1+ +bn;p(s) = sn+aisn-1+ an廣義誤差為e = ym - Vs性能指標(biāo)為： 式(9-1-7)。系統(tǒng)的可調(diào)增益為Kc,目標(biāo)是設(shè)計出 隨著e而調(diào)整Kc的規(guī)律，以使J達到最小。J對Kc的梯

5、度為te2edKtoKc由梯度法有：tJ一eKc= -2 e dKKct0c將上式兩邊對t求導(dǎo)數(shù)，得到.:eKc =2eKcdJKc（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章6q(D)ymP(D)rKm代入式(9-2-3),得出:KSKCKmym代入式(9-2-2),得出廣義誤差對輸入信號的傳函為：自適應(yīng)回路開環(huán)情況下系統(tǒng)傳函為引入微分算子：D = d/dt、D2= d2/ dt2，由上式得到微分方程:P(D) e(t) = (Km- KcKs)q(D) r(t)兩端對Kc求偏導(dǎo)數(shù)eP(D-Ksq(D)rKc得到上f r四KcsP(D)由模型的微分方程：p(D) ym(t) = Kmq(D) r

6、(t)得到W(S廣迥ym(s)ys(s)r(s)r(s)q(s)二(Km- KCKS)-P(s)式(9-2-3)（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章7 Kc= Beym式（9-2-4）其中：B = 2九Ks/ Km,當(dāng)Ks與Km同號時B為正值常系數(shù)，即白適 應(yīng)回路的積分時間常數(shù)。實現(xiàn)的方案如下圖，白適應(yīng)回路由乘法器與 積分器組成。該方案能夠使得J為最小，但是不能確保白適應(yīng)回路是 穩(wěn)定的。需要通過調(diào)整B的大小，使得系統(tǒng)穩(wěn)定且白適應(yīng)跟蹤速度 也比較快。MIT方案應(yīng)用舉例：二階電傳動調(diào)速系統(tǒng)的模型參考白適應(yīng)控制馬潤津等 可控硅電傳動模型參考白適應(yīng)控制“白動化學(xué)報1979。第（2004年教案） 辨

7、識與自適應(yīng) 第九章（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章9 9 3基于李雅普諾夫第二方法穩(wěn)定性理論的MRAC設(shè)計方法1.關(guān)于李雅普諾夫(Liaupunov)穩(wěn)定性的第二方法是關(guān)于動態(tài)系統(tǒng)(無論線性或者非線性)穩(wěn)定性分析的理論，特點是不需要求微分方程的解，而是直接根據(jù)某個特定的函數(shù)(李雅 普諾夫函數(shù))對時間的變化率來判斷其穩(wěn)定性， 因此又稱直接法。 它 特別適用于非線性、線性時變或多變量系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。a)李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性對于以狀態(tài)方程,X= f (X,t)且f(0，t)=0口 式(9-3-1)描述的動態(tài)系統(tǒng)，如果存在一個對時間連續(xù)可微的純量函數(shù)V(X, t )，滿足以下條件：(1)

8、V( X, t )正定；(2) V沿方程式(9-3-1 )解的軌跡對時間 的一階偏導(dǎo)數(shù)V存在， 且為負半定(或負定)， 則稱V(X, t )為李雅 普諾夫函數(shù)， 且系統(tǒng)式(8-3-1)對于狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點X=0為李 雅普諾夫意義下的穩(wěn)定(或漸進穩(wěn)定)的。李雅普諾夫函數(shù)的幾何意義可以理解為：V(X)表示狀態(tài)空間原點到狀態(tài)X的距離的量度，如果其原點到瞬時狀態(tài)X(t)間的距離隨著t的增長而不斷減小則系統(tǒng)穩(wěn)定，V(t)對時間的一階偏導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于X(t)接近原點的速度。（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章10李雅普諾夫函數(shù)的物理意義可以理解為：一個振動著的力學(xué)系統(tǒng)，如果振動的蓄能不斷衰減，則隨著時間

9、增長系統(tǒng)將穩(wěn)定于平衡狀 態(tài)，而李雅普諾夫函數(shù)實質(zhì)上可視為一個虛擬的能量函數(shù)。b）用李雅普諾夫第二方法分析線性定長系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定長系統(tǒng)式(9-3-2)可取一個正定的純量函數(shù)其中P為正定的實對稱矩陣。V沿式（9-3-2 ）的軌線的一階導(dǎo)數(shù)為:V(X) = X PX XTPX = (AX )TPXXTPAX=XT(ATP PA)X= - XTQ X其中Q與P滿足線性代數(shù)方程（稱李雅普諾夫方程）AXV(X) = XTP X式(9-3-3)（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章11如果Q是正定矩陣，則V（X）的一階導(dǎo)數(shù)是負定的，V（X）是李雅普諾ATP PA Q式(9-3-4)（2004年教案）

10、辨識與自適應(yīng) 第九章12夫函數(shù)，系統(tǒng)式（9-3-2）對于平衡狀態(tài)X=0是漸進穩(wěn)定的2.應(yīng)用李雅普諾夫第二方法設(shè)計可調(diào)增益的MRACx h5鈾J%（Xh* ?Ks 3*57參考模型狀態(tài)方程Xm =A XmBmrym一C Xm式（9-3-5）其中:系統(tǒng)狀態(tài)方程0A=ILa2C= 1 01-ai_Xs =A XsBsr ys =C Xs式（9-3-6）（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章13定義廣義誤差ee=ymys；=XmXs=-e令E = Km- Ks,由式（9-3-5）和式（9-3-6）得出廣義狀態(tài)誤差方程為了保證MRAC系統(tǒng)穩(wěn)定，要找到一個李雅普諾夫函數(shù)V。）。試取純量函數(shù)V（ &

11、;） = F P & +人E2式（9-3-8）其中P為正定實對稱陣，顯然V（&）也是正定的。求V（&）沿式（9-3-7）的軌線對t求導(dǎo)數(shù),T dV/dt = ； PTP ； 2 EE將式(9-3-7)代入上式，有dV/dt = TA+BTrP ； +TPA +Br+2 EE=TATP+TPA+BTrP+TPBr + 2 EEBs0L1KsA a, B r式(9-3-7)其中B = 0,ET（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章14=/ (ATP + PA)&+2 8TPBr + 2 7 EE式(9-3-9)為保證dV/dt負定，須使二次型&T(ATP+

12、PA)8負定，且后兩項之 和為零。由于A為穩(wěn)定矩陣，方陣(ATP+PA)肯定是負定的。由式(9-3-9)的后兩項之和為零的條件，得出:2 EE = 2TPBr-TP B r E -E疽PB =1 P1 P21 1 0 1 , -、LU1 &2】I- c Il = (&1R2 + &2P2) ELP12P22LE所以1 _-、/、E (P121P22)r(t)九由E = Km- Ks，得到白適應(yīng)控制律:1 _Ks(R21P2 2) r = (C0e C1e) r其中：CO= P12/人,CI= P2/禹,或與成:t式(9-3-10)由于（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第

13、九章15Ks= HC。e + Cie) r(t)小 +K。 式(沁、)按照上式實施控制，能夠保證V(&)是正定而dV/dt是負定的，即V(砂 是李雅普諾夫函數(shù)，白適應(yīng)系統(tǒng)對于6 = 0的平衡狀態(tài)是大范圍漸進 穩(wěn)定的，也就是當(dāng)t t必時ST0。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：3.應(yīng)用舉例：直流電傳動白適應(yīng)控制可控硅直流調(diào)速系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，設(shè)。=t1+t2,可簡化為（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章16開環(huán)總增益KS= KiK2/ Ce F為時變且可調(diào)參考模型狀態(tài)方程為1Xml022XM0 =1芻IT1IJrlx 1-1 I LXJ L1J- cr J被控系統(tǒng)狀態(tài)方程為J0 SI I X 0|印=I：|

14、Xs1，rXS2I- 1 -XS2I1J 一可見AS和BS中僅a12= KS/。一個元素是時變的。為了設(shè)計出比較簡單的白適應(yīng)線路，選擇正半定的Q陣由于s 0 ,所以P陣是正定的，將P代入AS的第aj元素的白適應(yīng)調(diào)整律式(9-3-12)式(9-3-13)式(9-3-4)解出:（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章171tajj=廠HP谷 乂*）為7+ Sj（P谷X*）ijfij to得到比例一一積分型的白適應(yīng)律a12 = J（，1 XS 2） d*SI2（8IXS2）ri2 to而a12= Ks（t） /奪,則有% = 一（1Xs2）d&2（、Xs2）r12 to其中的Xs2雖然不能從

15、系統(tǒng)中直接測量，但是可由以下關(guān)系式XS2很容易重構(gòu)，得出XS2的估計量。下圖示出了可控硅電傳動MRAC實驗系統(tǒng)的簡化原理圖:（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章18實驗結(jié)果如下圖，被控系統(tǒng)開環(huán)增益Ko=3.4Km,加入白適應(yīng)控制后，能夠白動調(diào)整KS使得系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)與參考模孑加盹克一外加心攜-型的一致。 9 4基于超穩(wěn)定理論的MRAC設(shè)計方法超穩(wěn)定理論最初由波波夫在研究非線性系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性時提出 的，該理論對研究非線性時變反饋的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性很有用途， 特別是I.D.Landau等將超穩(wěn)定理論用于MRAC系統(tǒng)的設(shè)計，取得良 好效果。本節(jié)僅就其基本概念和主要結(jié)果作一些簡要介紹。（2004

16、年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章19一、關(guān)丁超穩(wěn)定性理論的基本概念1.直觀概念先從簡單的直觀概念出發(fā)，體會穩(wěn)定性的含義。討論一個由線性定常的正向通道和非線性時變的反饋通道組成的單輸入- 單輸出閉環(huán)系統(tǒng)（見下圖）。如果該閉環(huán)系統(tǒng)能夠滿足以下兩個條件：a）線性定常的正向通道動態(tài)性能等價于一個無源網(wǎng)絡(luò)；b）非線性反饋通道為正向通道提供的總能量（系統(tǒng)儲能）是有限的,則該系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。由網(wǎng)絡(luò)理論，以上的條件a）等價于傳遞函數(shù)Z（s）= y（s）/u（s）是正實函數(shù)；條件b）可以用以下積分不等式來表示：T2u(t) y(t) dt& 式(9-4-1)0其中：T 0 , d為某一有限值的常數(shù)。（2

17、004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章202.關(guān)于正實和嚴(yán)格正實函數(shù)函數(shù)的正實性概念是從網(wǎng)絡(luò)分析中引申來的，數(shù)學(xué)的正實函數(shù)概 念上與物理的無源網(wǎng)絡(luò)相關(guān)。無源網(wǎng)絡(luò)能量的非負性，其傳遞函數(shù)是 正實的。Z (s)是正實函數(shù)的定義是：(1) s為實數(shù)時Z (s)也為實數(shù)；(2)Z(s)無右半開平面的極點；(3)對于任意實的 缶，(-與0，則函數(shù)Z(s)是嚴(yán)格正實函數(shù)。正實和嚴(yán)格正實傳遞函數(shù)有以下特點：(1)嚴(yán)格正實傳遞函數(shù)對于缶 0的乃奎斯特圖的矢端曲線完 全在第四象限內(nèi)(正實傳遞函數(shù)的乃氏圖可能與虛軸相切) ，即輸出 對輸入的相位滯后不超過900；(2)如果Z(s)正實，則1/Z(s)、Z (1/s)

18、和c Z (s)也正實(c為大于零的常數(shù))；(3)如果Z1(s)和Z1(s)正實，則它們的串聯(lián)Z1(s) - Z“s)、并聯(lián)Z1(s)+Z1(s)和反饋聯(lián)接如Z1(s) / (1+ Z1(s) - Z1(s)均也正實。（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章213.關(guān)于超穩(wěn)定(Hyperstable )和漸進超穩(wěn)定(Asymptotically Hyperstable )的定義:考慮一個多輸入-多輸出系統(tǒng)X = AX + B U式(8-4-2)Y = C X式(8-4-3)其中U和Y分別為m維的輸入和輸出量，U為有界函數(shù)，且它的拉 氏變換存在；X為n維狀態(tài)向量，假定該系統(tǒng)是某一傳遞函數(shù)矩陣Z(s)的最小實現(xiàn)Z(s) = C (sI- A)-1B超穩(wěn)定的定義是：如果對于任何T0 ,輸入和輸出向量滿足必有以X(0)為初始狀態(tài)的解X(t)滿足IIX(t) II水(IIX(t) II+ 6 )式(8-4-5)(K 0的常數(shù))，則稱平衡點X = 0是超穩(wěn)定的，簡稱為系統(tǒng)是超穩(wěn) 定的。式中的IIX II表示向量X的模(長度)。如果超穩(wěn)定的系統(tǒng)對于U(t)的任意解X(t)(在任意初始狀態(tài)下) 都有TUT(t) Y(t) d式(8-4-4)30的常數(shù))（2004年教案） 辨識與自適應(yīng) 第九章22limX(t廣0t 二則平衡點X =