專(zhuān)題由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式(含答案)

1、.專(zhuān)題由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、目標(biāo)要求通過(guò)具體的例題，掌握由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法：二、知識(shí)梳理求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，高考也往往通過(guò)考查遞推數(shù)列來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索能力，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項(xiàng)的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問(wèn)題化為熟悉的等差或等比數(shù)列。三、典例精析S1n11 、公式法 ：利用熟知的公式求通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為公式法。常用的公式有 ann及Sn Sn 12等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。例 1已知數(shù)列 an 中 a1 2 ， sn2 an 的通項(xiàng)公式n +2 ，求數(shù)列

2、評(píng)注在運(yùn)用ansnsn 1 時(shí)要注意條件n2 ，對(duì) n=1 要驗(yàn)證。2、累加法：利用恒等式an a1a2 a1+.+anan 1 求通項(xiàng)公式的方法叫累加法。它是求型如an 1an +f n的遞推數(shù)列的方法（其中數(shù)列fn的前 n 項(xiàng)和可求）。例 2an 中a1aa+1，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式已知數(shù)列，n 1212nn+3n2評(píng)注此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵累加可消中間項(xiàng)，而f ( n）可求和則易得an3、 .累乘法a2a3anan0 求通項(xiàng)公式的方法叫累乘法。它是求型如：利用恒等式a n a1a2an 1a1an 1g n an 的遞推數(shù)列的方法數(shù)列g(shù)n可求前n項(xiàng)積.例 3已知數(shù)列 an 中 sn1na n，

3、求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式評(píng)注a ng n ，且式子右邊累乘時(shí)可求積，而左邊中間項(xiàng)可消。此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是化an14 、轉(zhuǎn)化法：通過(guò)變換遞推關(guān)系，將非等差（等比）數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比有關(guān)的數(shù)列而求得通項(xiàng)公式的方法稱(chēng)為轉(zhuǎn)化法。常用的轉(zhuǎn)化途徑有：湊配、消項(xiàng)變換如將一階線(xiàn)性遞推公式a n 1qa nd （ q, d為常數(shù)，q0, q1 ）通過(guò)湊配變成an 1dd= q an，或消常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為an 2 an 1 q an 1 anq1q 1例 4 、已知數(shù)列 an 中， a11 ， an2an 11 n2 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式點(diǎn)評(píng) ：此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是利用配湊或消項(xiàng)變換將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列can1d11（

4、）倒數(shù)變換 如將一階分式遞推公式an 1（ c,d 為非零常數(shù)）取倒數(shù)得2an da n 1canc例 5已知數(shù)列 a n 中， a1an，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式1 ， an 12 an1點(diǎn)評(píng) ：此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是取倒數(shù)使其轉(zhuǎn)化為一階線(xiàn)性遞推數(shù)列然后可用湊配、消項(xiàng)變換。p對(duì)數(shù)變換 如將一階分式遞推公式an 1 ca n an 0, c 0, p 0, p 1 取對(duì)數(shù).可得lg an 1p lg anlg c已知數(shù)列 an 中， a110 ， an0 ，且 an 12例 610an ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式點(diǎn)評(píng)： 此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是取對(duì)數(shù)使其轉(zhuǎn)化為關(guān)于an 的對(duì)數(shù)的一階線(xiàn)性遞推數(shù)列即可用湊配、消項(xiàng)變

5、換nq 1， d 1）換元變換 如將一階分式遞推公式an 1 qa n d （ q,d 為非零常數(shù)，an 1qa變換成n 1dddnn1an，令 bnn ，則轉(zhuǎn)化為一階線(xiàn)性遞推公式dd例 7 在數(shù)列 an 中， a11 ， an 1 3an +2n*，求數(shù)列 ann N 的通項(xiàng)公式評(píng)注： 此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是通過(guò)換元將其轉(zhuǎn)化為一階線(xiàn)性遞推公式5、待定系數(shù)法遞推公式為an 2pan 1qa n （其中p， q 均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 2san 1t ( an 1sa n )stp其中s， t 滿(mǎn)足，再應(yīng)用前面轉(zhuǎn)化法（4）類(lèi)型的方法求解。stq21例 8 . 已知數(shù)列a n 中， a

6、11 , a22 , a n 2an 1a n ，求 a n 。33.7、疊代法例 9a n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿(mǎn)足 Snn已知數(shù)列2a n ( 1) , n 1 求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。8 、歸納法 ：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納法猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法。例 10數(shù)列 an 滿(mǎn)足 sn 2n an n N* 的通項(xiàng)公式,求數(shù)列 an四、實(shí)戰(zhàn)演練、·遼寧卷已知等比數(shù)列n 為遞增數(shù)列，且2n an 2n 1，則數(shù)列 an的通項(xiàng)公12012a5 a10,2(a5a a )式為an _.2、在數(shù)列 an 中， a1 31，求通項(xiàng)公式 an .

7、, a n 1 ann (n1)3、設(shè)數(shù)列 a n 是首項(xiàng)為221 的正項(xiàng)數(shù)列，且(n 1) an 1 nana n 1an 0 （ n=1,2,3 ），則它的通項(xiàng)公式是a n =.4、已知數(shù)列 a n ，其中 122，且當(dāng) n 3 時(shí)， a n 2 an 1 a n 21 ，求通項(xiàng)公式 a n 。a 1, a5、設(shè)正數(shù)列a0 ， a1 ， a n ， a n ， 滿(mǎn)足an an 2an 1 an 2 = 2an 1( n2) 且 a0a11 ，求 an 的通項(xiàng)公式.五、能力提升a n 的前 n 項(xiàng)和 S n 與 a n 滿(mǎn)足： an , Sn , Sn1且 a11 ，求數(shù)列（逆推法）已知數(shù)列

8、(n 2) 成等比數(shù)列，2a n 的前 n 項(xiàng)和 Sn點(diǎn)評(píng)： 本題的常規(guī)方法是先求通項(xiàng)公式，然后求和，但逆向思維，直接求出數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn 的遞推公式，是一種最佳解法.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式答案22例 1 解：當(dāng) n2 由 ansnsn 1 = n +2-n1+2= 2n1當(dāng)n1時(shí)3, n1不滿(mǎn)足故a1 s1 3an1,n 22n例 2解：由aa+1可知 an1an111n 1nn2 +3 n 2n23n 2 n 1 n 2aaaa +.+aa1+1111.11=n2n121nn1=nn22334n1n1當(dāng) n 1 時(shí)也成立。故有an =n1n例 3解：當(dāng)n=1 時(shí) 由 a1s

9、11a1可得 a112由 an 1sn 1sn = 1 n 1 an 11 nan 可得an1nann2a na2a3an1123n 2 n 11a1a2an 1=n=n n 1a12345n 1當(dāng) n=1時(shí)也成立。故有an =1n n1例 4解法一湊配變換：由 an2an 11 可得 an 12an 11 ，又 a112 ，故數(shù)列an 1 是首項(xiàng)為 2，公比為2 的等比數(shù)列，n 1nan 1 2 2 ，即 an 21解法二（消項(xiàng)變換）an2an 11an 12an1 - 得 an 1an2 anan 1n2 ，故數(shù)列an 1an 是首項(xiàng)為a2a12 公比為2 的等比數(shù)列即 an 1 annn

10、2 ，再用累加法得an 2 1例 5an1111解 :由 an 1可得an2 即22an 1an 1an 1an11 為首項(xiàng)2 為公差的等差數(shù)列。11數(shù)列是以an=1+2 （ n-1 ） ,即 anan2 n 1例 6 解：由 an0 ，且 an 12lg an 1110 an 可得 lg an 11 2lg an ，即2lg an1.數(shù)列l(wèi)g an1 是以 lg a112 為首項(xiàng)以2 為公比的等比數(shù)列l(wèi)g a nn即 an2n 11 = 210例 7 解：由 an 13an +2nan 13an1an 113an1)an可得n12n即n 12(n令 bnn1222222nbn 13bn數(shù)列b

11、n 是以3為首項(xiàng)以3 為公比的等比數(shù)列即bn32222ann=3即 annnn132bn22例 8 解：由 an 22an 113a n 可轉(zhuǎn)化為 an 2 sa n 1 t (a n 1 san )3s t2s 13即 a n 2 ( s t) an 1 sta n1 或1stt33s1這里不妨選用1（當(dāng)然也可選用t31s3t11s3，大家可以試一試），則t1a n 21( a n 1 a n )a n 1 an 是 以 首 項(xiàng) 為 a2a11，公比為1an 1的等比數(shù)列,所以33a n 11n 11 的方法，分別令 n 1,2 ,3, ( n1) ，代入上式得(n 1) 個(gè)等式累加之，a

12、n ( ),應(yīng)用類(lèi)型31 01 111(1 ) n 1即 a na1(n 23)133313a11 ，所以 a n731n 1又4(3)。4例 9解：由a1S2a11a1112 時(shí)，有 a nn當(dāng) nS nSn12( ana n1 )2(1) ,an2an2(n111),n2a n 12 an22(1), ， a22a12.n 1n 1n 22n 1an 2 a1 2(1)2( 1)2(1)2n 1(1)n (2)n 1( 2) n 2(2)n 12n 1(1)n21 (2)32n 2(n 1 21).3.經(jīng)驗(yàn)證 a12n 2n 11 也滿(mǎn)足上式，所以an 2( 1)3n 1anan 1an2

13、an 12方法二、an 2an 1 2 ( 1) ,222(nn 1( 1)nn 1)( 1)(1)3(1)3an2公比為 -21構(gòu)造數(shù)列n首項(xiàng)為的等比數(shù)列（以下略）( 1)333715n1解：易求 a1 1,a22例 10，a3, a4，由此可猜想 ann 1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng) n 1248211時(shí)，左邊 = a121，右邊 =1 1 =1，猜想成立；2k21假設(shè)n=k 時(shí)命題成立，即akk1，那么由已知sk2 kak2sk 12( k1)ak 1由 - 可得a k 12ak 1akakk1k 1k 11221 2k 1 時(shí)命題也成立。ak 1 1= 1k=kk 11 ，即當(dāng) n22

14、22*由，可知命題對(duì)任何nN都成立。點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)的ak 證明 n=k+1 時(shí)命題成立。方法二、 n1 時(shí)a1S 12a 1 a 1 1n2 時(shí)anSnSn1( 2 n an) 2 ( n 1 ) a1n an11an12可構(gòu)造等比數(shù)列（以下略）四、實(shí)戰(zhàn)演練1、 (公式法 )2n解析 本小題主要考查等比數(shù)列的概念與性質(zhì)解題的突破口為靈活應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)變形式，是解決問(wèn)題關(guān)鍵由已知條件 為等比數(shù)列，可知，2(a a) 5an 1?a nnn 22，又因?yàn)?a n 是遞增數(shù)列，210 得 a55所以 q 2.由 a5 a q 2(a n a n·25an2 5q 2 0

15、?q1或q )q? 2q2n 1n32 ，所以 a1 2 ， a n a 1 q 2 .2、（累加法）解：原遞推式可化為：a n 1a n11則 a 2a111 ,a 3a211nn 11223a 4 a311， ， an a n 111 逐項(xiàng)相加得：a na111. 故 a n41.34n 1nnn3、（累乘法）解：原遞推式可化為：( n 1)a n 1 na n ( a n 1 an ) =0an 1nan 1 a n 0，n 1a n.a 21a 32a43ann 1a n11.則2,3,4, ，n逐項(xiàng)相乘得：n，即 an =a1a 2a3a n 1a1n4 、（換元法與累加法的綜合）解

16、由 an2 an 1an 21 得： (a nan 1 )( a n 1a n 2 )1 ，令bn 1a nan 1 ，則上式為bn 1bn 21 ，因此 b n 是一個(gè)等差數(shù)列，b1a 2a11 ，公差為1. 故bnn . 。由于 b1b2bn 1a 2a1a3a 2anan 1a n1又 b1b2b nn (n1)12所以 a n111) ，即5、（換元法與累乘法綜合）解a n 1 an 2 整理得：n( n將遞推式兩邊同除以2a na n12an1an 12an，則 b1a12bn 1 1 ，故有 bn2bn 1 1設(shè) bn =1 ， bna n1a0b2b1 b 1 2(b1)b1是公比為2，首項(xiàng)為2 的等比數(shù)列nn 1nn 1n bn 2 n1 即a n = 2 n1. an(2 n1) 2an 1an1逐項(xiàng)相乘得：a n = (