MATLAB實(shí)現(xiàn)抽樣定理探討及仿真剖析

1、應(yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)抽樣定理探討及仿真課程設(shè)計(jì)的目的利用MATLAB仿模信號(hào)抽樣與恢復(fù)系統(tǒng)的實(shí)際實(shí)現(xiàn)，探討過抽樣和欠抽樣的信號(hào)以及抽樣與恢 復(fù)系統(tǒng)的性能。二. 課程設(shè)計(jì)的原理f(t)連續(xù)信號(hào)取樣脈沖信號(hào)S(t)二 Ts (t)模擬信號(hào)經(jīng)過(A/D)變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)的過程稱為采樣，信號(hào)采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延 拓，每隔一個(gè)采樣頻率 fs，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號(hào)的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大 于信號(hào)中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。時(shí)域采樣定理從采樣信號(hào)J恢復(fù)原信號(hào) :必需滿足兩個(gè)條件：(1)-:必須是帶限信號(hào)，其頻譜函數(shù)在也叫各處為零；(對(duì)信號(hào)的要求，即只有帶限信號(hào)才能適用采樣

2、定理。)(2)取樣頻率不能過低，必須q> 2 % (或J； > 2人)。(對(duì)取樣頻率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值要足夠多，才能恢復(fù)原信號(hào)。)如果采樣頻率二 Jl' ' J-大于或等于二，即一 Xi ( I為連續(xù)信號(hào)門的有限頻譜)，則采樣離散信號(hào)；能無(wú)失真地恢復(fù)到原來(lái)的連續(xù)信號(hào)-'Il。一個(gè)頻譜在區(qū)間(-I,】)以外為零的頻帶有限信號(hào),可唯一地由其在均勻間隔-(< )上的樣點(diǎn)值-./J.：所確定。根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)稱性，可以由時(shí)fs'tU等抽樣頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜(不混疊)a)(c)b)高抽樣頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜(不混疊)c)低抽樣

3、頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜2.1信號(hào)采樣如圖1所示，給出了信號(hào)采樣原理圖北)T相乘A昭)信號(hào)采樣原理圖由圖1可見，fs(t) = f (t) ®s(t),其中，沖激采樣信號(hào) 6s(t)的表達(dá)式為:0T(t)八沁- nTs)n=0其傅立葉變換為-召('- ns)，其中 - n=Ts設(shè) F(j )，F(xiàn)s(j )分別為 f (t)，fs(t)的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得Fs(j )12O01 O0F(j s ' 、( 一 n 上)' Fj(一 ns) n - ；Ts n -I若設(shè)f(t)是帶限信號(hào)，帶寬為 監(jiān)，f(t)經(jīng)過采樣后的頻譜 Fs(j

4、1;)就是將F(jco)在頻率軸上搬移至0,一 1，二2s，廠ns，處(幅度為原頻譜的1 Ts倍)。因此，當(dāng) 2 -m時(shí)，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)，s ： 2 'm時(shí)，頻譜發(fā)生混疊。信號(hào)重構(gòu)設(shè)信號(hào)f(t)被采樣后形成的采樣信號(hào)為fs(t)，信號(hào)的重構(gòu)是指由fs(t)經(jīng)過內(nèi)插處理后，恢復(fù)出原來(lái)信號(hào)f (t)的過程。又稱為信號(hào)恢復(fù)。若設(shè)f (t)是帶限信號(hào)，帶寬為-，經(jīng)采樣后的頻譜為 Fs(j，)。設(shè)采樣頻率s_2，m，則由式(9)知Fs(j )是以就為周期的譜線?，F(xiàn)選取一個(gè)頻率特性Ts0(其中截止頻率滿足，亍)的理想低通濾波器與Fs(j )相乘，得到的頻譜即為原信號(hào)的頻譜F(j )。顯然，F(xiàn)

5、(jJ =Fs(j JH( j )，與之對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為(10)f(t)=h(t)* fs(t)而fs(t) = f(t)L (t -nTs) <nTs) (t- nTs)n =3Q1«ch(t)二 F H (j )二Ts Sa( .t)兀將h(t)及fs(t)代入式(10)得.t f (t)二 fs(t)*Ts=Sa( ,t)J，f( nTs)Sa c(t-nTs)( 11): : n =式(11)即為用f( nTs)求解f(t)的表達(dá)式，是利用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)的基本關(guān)系式，抽樣函數(shù)Saf ct)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。三、抽樣定理的仿真和探討Sa(t)的臨界采樣及

6、重構(gòu)圖當(dāng)采樣頻率小于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即匕=2，m時(shí)，稱為臨界采樣.修改門 信號(hào)寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運(yùn)行程序，觀察得到的采樣信號(hào)時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào) 與誤差信號(hào)的變化。程序運(yùn)行結(jié)果:3.1.2 Sa(t)的過采樣及重構(gòu)當(dāng)采樣頻率大于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即S 2'm時(shí)，稱為過采樣.在不同采樣頻率的條件下， 觀察對(duì)應(yīng)采樣信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào)與誤差信號(hào)的變化。程序運(yùn)行結(jié)果：sa(t=sinct/pi的黒 信號(hào)-10-8-64-20246310t詢tFsigt/pi)的采樣信號(hào)詩(shī) Q 卜片+-J._J-=-，2 1iiiii-10-6-64

7、-20246810過采樣信號(hào)=|原信號(hào)的溟差error(t)的欠采樣及重構(gòu)當(dāng)采樣頻率小于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即 匕：2 .m時(shí)，稱為過采樣。利用頻域?yàn)V波的方法修改實(shí)驗(yàn)中的部分程序，完成對(duì)采樣信號(hào)的重構(gòu)。程序運(yùn)行結(jié)果：sa(t)=sinc(t/pi| 的原信號(hào)-20-15-10-505101520KTs由S8(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號(hào)重構(gòu)間t)2*20*15-10-505101520誤差分析：絕對(duì)誤差error已大為增加，其原因是因采樣信號(hào)的頻譜混疊，使得在co <©c區(qū)域內(nèi)的頻譜相互“干擾”所致。四、課題研討的小結(jié)該課程設(shè)計(jì)使我們對(duì)采樣定理的一些基本公

8、式得到了進(jìn)一步鞏固。在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中，我們查閱了很多相關(guān)知識(shí)，從這些書籍中我們受益良多。雖然學(xué)習(xí)過采樣過程和恢復(fù)過程，但是認(rèn)識(shí)不深， 實(shí)踐能力也有所欠缺，通過這次實(shí)驗(yàn)對(duì)采樣過程和恢復(fù)過程有了進(jìn)一步掌握。通過實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)使我們對(duì)采樣定理和信號(hào)的重構(gòu)有了深一步的掌握，也讓我們?cè)趯?shí)踐的過程中了解到團(tuán)隊(duì)合作的重要性。雖然在實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)很多錯(cuò)誤，但是在老師的幫助和團(tuán)隊(duì)成員的齊心 協(xié)力下，不斷的修正錯(cuò)誤，同時(shí)也學(xué)會(huì)了MATLAB信號(hào)表示的基本方法及繪圖函數(shù)的調(diào)用。雖然剛開始我們對(duì) MATLAB勺基本使用方法沒有太深刻的認(rèn)識(shí)，但是該實(shí)驗(yàn)使我們對(duì)MATLAB函數(shù)程序的基本結(jié)構(gòu)有所了解，也提高了我們獨(dú)立完成實(shí)驗(yàn)

9、的能力和理論聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用能力。通過這次課程設(shè)計(jì)，我們不僅學(xué)到了學(xué)科知識(shí)，鍛煉了實(shí)踐能力，更重要的是學(xué)到了學(xué)習(xí)的方法和團(tuán)隊(duì)合作的重要性。我們團(tuán)隊(duì)分工有序，每個(gè)人都能按時(shí)完成各自的任務(wù)。在遇到問題時(shí)，大家都能夠互相理解，互相幫助，最后圓滿完成課題！附錄:Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)程序代碼;wm=1;wc=wm;Ts=pi/wm; ws=2.4*pi/Ts; n=-100:100;nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-

10、nTs'*ones(1,length(t); subplot(311);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)grid;的原信號(hào)');t1=-20:0.5:20; f1=sinc(t1/pi); subplot(312);stem(t1,f1); xlabel('kTs'); ylabel('f(kTs)'); title('sa(t)=sinc(t/pi) grid;subplot(313);plot(t,fa)x

11、label('t'); ylabel('fa(t)');title(' 由 sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào)');的臨界采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t)');grid;2.程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析sa(t=sinc(t/pi)的原信號(hào)kTst圖Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)圖t選取的運(yùn)行結(jié)果分析：為了比較由采樣信號(hào)恢復(fù)后的信號(hào)與原信號(hào)的誤差，可以計(jì)算岀兩信號(hào)的絕對(duì)誤差。當(dāng) 數(shù)據(jù)越大，起止的寬度越大。二、Sa(t)的過采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的過采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;wc=1.1*wm;Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts

12、;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10; fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號(hào)');grid;error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f仁 sinc(t1/pi);subp

13、lot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號(hào)');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title(' 由 sa(t)=sinc(t/pi)的過采樣信號(hào)重構(gòu) sa(t)');grid;subplot(414);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(

14、t)');title('過采樣信號(hào)與原信號(hào)的誤差error(t)');grid;2.程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析。sa(t)=sinc(t/pi)的馬信 號(hào)過采樣倍號(hào)與原材號(hào)的誤差error(t)圖Sa(t)的過采樣信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)及兩信號(hào)的絕對(duì)誤差圖時(shí),運(yùn)行分析：將原始信號(hào)分別修改為抽樣函數(shù)Sa(t)、正弦信號(hào)sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指數(shù)信號(hào)e-2tu(t)在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對(duì)應(yīng)采樣信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào)與誤差信號(hào)的變化。三、Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;wc=wm;Ts=2.

15、5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t); error=abs(fa-sinc(t/pi);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號(hào)');grid;t1=-20:0.5:20;

16、f1=sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號(hào) sa(t)');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title(' 由 sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t)');grid;subplot(414);plot(t,error);xlabel('t');ylabel(