1.3環(huán)上的測(cè)度

1、1.3環(huán)上的測(cè)度設(shè)X是某個(gè)取定的集，也稱為基本空間。以X的某些子集為元素所成的集稱為X上的集類，或簡(jiǎn)稱為類。集類用黑體英文字母表示，例如E, F, M等。設(shè)E是X上的某個(gè)集類，M是E的某個(gè)子集，集類M =aM AE E 1.3.1環(huán)、匚-環(huán)、代數(shù)、匚-代數(shù)定義1.3.1設(shè)X是基本空間，R是X上的集類，若對(duì)- E- E2三R，有E1 E2 R, Et - E2 R ,(1.3.1)則稱R是X上的環(huán).若還有X R，則稱R是X上的代數(shù)，或域。注 由定義1.3.1可知：環(huán)是對(duì)集的“”和“-”運(yùn)算封閉的非空集，而代數(shù)是對(duì)余”運(yùn)算也封閉的環(huán)。探定義1.3.2設(shè)X是基本空間，S是X上的集類，若對(duì)任意一列集E

2、i S (i =1,2,)，有Q0Ej 二 S, E E2 二 S ,(1.3.2)i =4則稱S是X上的&環(huán)，若還有X S，則稱S是X上的0-代數(shù)，或(T域。注 由定義1.3.2可知：二-環(huán)是對(duì)集的“可列并”和“-”運(yùn)算封閉的非空集；而匚-代數(shù)是對(duì)“余”運(yùn)算也封閉的匚-環(huán)。例1.3.1設(shè)X是任意集，X的有限子集(包括.一)全體所成的集類 R是X上的一個(gè)環(huán)； 當(dāng)X R時(shí)，R是X上的一個(gè)代數(shù)。例1.3.2 設(shè)R 1是實(shí)數(shù)全體，R 0是由R1中的有限個(gè)左開(kāi)右閉的有限區(qū)間的并集nE = (ai ,bi 全體所成的集類，則r0是R 1上的一個(gè)環(huán).i =1n注 由R1中的有限個(gè)左閉右開(kāi)的有限區(qū)間

3、的并集E =V. ai,bi)全體所成的集類也是 R1上i ±的一個(gè)環(huán)。但由R1中的有限個(gè)有限開(kāi)區(qū)間 （或閉區(qū)間）的并集全體所成的集類不是 R1上的環(huán)。因 為兩個(gè)開(kāi)區(qū)間的差集可以不再是開(kāi)區(qū)間（對(duì)閉區(qū)間的情況也是如此） 例1.3.3設(shè)R 1是實(shí)數(shù)全體，R1是由R1中的有限個(gè)有限區(qū)間（無(wú)論是開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、還n是半開(kāi)半閉區(qū)間）的并集e =U （務(wù)七）全體所成的集類，則 R1是R1上的一個(gè)環(huán)i 2例1.3.4設(shè)X是任意無(wú)限集，X的有限子集（包括、）及可列子集全體所成的集類S是X上的一個(gè)；-環(huán)；當(dāng)X三S時(shí)，S是X上的一個(gè)；一-代數(shù).例1.3.5設(shè)X是任意集，X的所有子集全體所成的集類s =

4、2X是X上的一個(gè)二-代數(shù).定理1.3.1 （環(huán)的性質(zhì)） 設(shè)X是非空集，R是X上的環(huán)，貝U二三R ;（2）若 E1, E R，貝y E1 E2 R ；n（3）若 Ei R （i =1,2,，n）,則 ER ；i 土（4）X上任意個(gè)環(huán)（或代數(shù)）的交集仍是X上的環(huán)（或代數(shù)）.定理1.3.2 （滬環(huán)的性質(zhì)） 設(shè)X是非空集，S是X上的二-環(huán)，則（1）二三s，且S是X上的環(huán)；cd（2）若 Ei S （i =1,2，），則 Ei S ；i z!（3）若 Ei S （i =1,2,），貝U lim EnS, lim EnS ；（自習(xí)）n_（4）X上任意個(gè)二-環(huán)（或；-代數(shù)）的交集仍是 X上的;-環(huán)（或;-代數(shù)

5、）.定理1.3.3設(shè)E是由集X的某些子集所構(gòu)成的集類，則必存在惟一的環(huán)（或代數(shù)）R，使得E R ；（2）若R是包含E的環(huán)（或代數(shù)），貝U R二R .注1 定理1.3.3中的環(huán)（或代數(shù)）R是包含E的最小的環(huán)（或代數(shù)），稱之為由集E所張 成的環(huán)（或代數(shù)）。由E所張成的環(huán)（或代數(shù)）一般用R （ E ）（或F （E ）表示.注2 若E是X上的非空集類，R ( E )就是由E中任意取有限個(gè)元素 E1, E2/'l , En ,經(jīng)過(guò) 有限次 U”，門”，二”運(yùn)算后所得集的全體。若 X.二 E ，貝V R ( E ) = F (E ).探定理1.3.4設(shè)E是由集X的某些子集所構(gòu)成的集類，則必存在惟一

6、的 二一環(huán)(或匚一代數(shù))S，使得(1) E S ；(2) 若S是包含E的環(huán)(或代數(shù))，則S S .注1 定理1.3.4中的二一環(huán)(或二一代數(shù))S是包含E的最小的二-環(huán)(或二-代數(shù))，稱之為由集E所張成的o-環(huán)(或 討弋?dāng)?shù)).由E所張成的；環(huán)(或二_代數(shù))一般用S (E )(或F ( E )表示注2 若E是X上的非空集類，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為 S (E )就是由E中任意取一列集En, 經(jīng)過(guò)一系列 U”， fl”， “”運(yùn)算后所得集的全體。一般地，對(duì)一列集En，中間插入上述運(yùn)算符號(hào)，依次運(yùn)算所得的集的序列不一定有極限；即使有極限，將這些極限集的全體拿來(lái)也只是S ( E )中的一小部分。所以 S (E )

7、的結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比R ( E )復(fù)雜推論 S ( E ) = S ( R (E ) 證明：(自證！)1.3.2測(cè)度的基本概念定義 1.3.3 記 R = R 1 U -O0,中立 =-«, +°0 , E 是一個(gè)集類。設(shè)4 : Et F?是 E 到 R 的映射，則稱 是集函數(shù)(Set function)。注 由定義1.3.3知：集函數(shù)4是以集為 自變?cè)保≈凳菍?shí)數(shù)或如的函數(shù)。定義1.3.4設(shè)X是基本空間，R是X上的環(huán)，是R上的集函數(shù)，若 滿足下列性質(zhì)：(1)(- )=0 ；(2) 非負(fù)性：對(duì)- E R, J(E) -0 ；(3) 可列可加性：若對(duì)任意一列EjE R (i =1,

8、2；)當(dāng)EEj =0 (心j)且qQEj ：= R時(shí)，必有i丄(1.3.3)/ QO、OO卩 U Ei =Z 出 Ej)2丿7則稱集函數(shù)J為環(huán)R上的測(cè)度，稱ME)為集E的測(cè)度.性質(zhì) 設(shè)X是基本空間，R是X上的環(huán)，.1是R上的測(cè)度，則(1)有限可加性：對(duì)任意一列Ej R (i =1,2,，n),若Ej Ej (i = j)，則n山EJ ；(1.3.4)(2)單調(diào)性：若E1,E2 R，且 Ei 二 E2，貝V MEJ 空叵)；可減性：若E1,E2 三 R，且 E 一 E2 ,(EJ ：二，則1乍2 EJ = .1乍2)MEJ ；(1.3.5)5#(4)次可列可加性fl對(duì)任意一列 Ej R (i =1,2,)及E R，若E二、.Ei則i氓<"EJ ；j a(1.3.6)例1.3.6設(shè)X是任意集，R是由X的有限子集(包括.一)全體所成的環(huán)；在 R上定義集函 數(shù)如