因式分解的9種方法

1、因式分解的多種方法-知識(shí)延伸,向競(jìng)賽過度1. 提取公因式：這種方法比擬常規(guī)、簡(jiǎn)單,必須掌握.常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：2x2 _3x = 0解：x(2x-3)=0,x1=0,x2=3/2這是一類利用因式分解的方程.總結(jié)：要發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=a時(shí),該式分解后必有一個(gè) (x-a)因式,這對(duì)我們后面的學(xué)習(xí)有幫助.2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式.注意：使用公式法前,局部題目先提取公因式.例二：X2 -4分解因式分析：此題較為簡(jiǎn)單,可以看出4=2 2,適用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相

2、乘法是做競(jìng)賽題的根本方法,做平時(shí)的題目掌握了這個(gè)也會(huì)很輕松.注意：它不難.這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1?a2,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1?c2,并使a1c2+a2c1 正好是一次項(xiàng) b,那么可以直接寫成結(jié)果例三：把2x2 -7x - 3分解因式.分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角,再分解常數(shù)項(xiàng),分別寫在十字交叉線的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項(xiàng)系數(shù)分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù))：2 = 1X2 = 2X1 ；分解常數(shù)項(xiàng)：3=1 X 3=3X 1=(-3) X(-1)=(-1) X-3).用畫十字交叉

3、線方法表示以下四種情況：經(jīng)過觀察,第四種情況是正確的,這是由于交叉相乘后,兩項(xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)-7.解原式=(x-3)(2x-1).總結(jié)：對(duì)于二次三項(xiàng)式axA2+bx+c(a工0),如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積,即a=a1a2,常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積,即c=c1c2,把a(bǔ)1 , a2 , c1 , c2,排列如下：a1 c1Xa2 c2a1c2+a2c1按斜線交叉相乘,再相加,得到 a1c2+a2c1 ,假設(shè)它正好等于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b,即a1c2+a2c仁b ,那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2 之積,即ax2+bx+c

4、=(a1x+c1)(a2x+c2).這種方法要多實(shí)驗(yàn),多做,多練.它可以包括前兩者方法.4. 分組分解法也是比擬常規(guī)的方法.一般是把式子里的各個(gè)局部分開分解,再合起來(lái),需要可持續(xù)性！2 2例四：x 4x y可以看出,前面三項(xiàng)可以組成平方,結(jié)合后面的負(fù)平方,可以用平方差公式解：原式 =(x+2 ) A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)總結(jié)：分組分解法需要前面的方法作根底,可見前面方法的重要性.5. 換元法整體代入,免去繁瑣的麻煩,亦是建立的之前的根底上2例五：(x y) -2(x y) 1分解因式考慮到x+y是以整體出現(xiàn),展開是十分繁瑣的,用a代替x+y那么原式=aA2-2a+1 =(a-

5、1)A2,回代原式=(x+y-1 ) A26. 主元法這種方法要難一些,多練即可.即把一個(gè)字母作為主要的未知數(shù),另一個(gè)作為常數(shù)例六：因式分解 I6y 2x2(y -1)2 8x2y x4(y -1)2分析：此題尚且屬于簡(jiǎn)單例用,只是稍加難度,以y為主元會(huì)使原式極其煩瑣,而以x為主元的話,原式的難度就大大降低了.原式=x4(y _1)2 2x2(y _1)2 8x2y 16y 主元法=(xA2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2) 【十字相乘法】可見,十字相乘十分重要.7. 雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多.是用來(lái)分解形如ax2 bxy cy2 dx e f的二次六項(xiàng)式在草稿紙上

6、, a = mn, c = pq, f = jk如果mq + np = b, pk + qj = e , mk + nj = d,即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)那么.那么原式=(mx + py + j)( nx + qy + k)要訣：把缺少的一項(xiàng)當(dāng)作系數(shù)為0, 0乘任何數(shù)得 0,2例七：ab + b + a b 2分解因式解：原式= 0X1 XaA2 + ab + 匕人2 + a b 2=(0 Xa + b + 1 )( a + b 2)=(b + 1 )( a + b 2 )8. 待定系數(shù)法將式子看成方程,將方程的解代入,這時(shí)就要用到“1 中提到的知識(shí)點(diǎn)了當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解 x=

7、a時(shí),該式分解后必有一個(gè) (x-a)因式例八：x2 x2該題可以用十字相乘來(lái)做,這里介紹一種待定系數(shù)法我們可以把它當(dāng)方程做,xA2+x-2=0一眼看出,該方程有一根為x=1,那么必有一因式為(x-1)結(jié)合多項(xiàng)式展開原理,另一因式的常數(shù)必為2 (由于乘-1要為-2)一次項(xiàng)系數(shù)必為1 (由于與1相乘要為1),所以另一因式為(x+2 ),分解為(x-1)(x+2)9. 列豎式讓人拍案叫絕的方法.原理和小學(xué)的除法差不多.要建立在待定系數(shù)法的方程法上,缺乏的項(xiàng)要用0補(bǔ)除的時(shí)候,一定要讓第一項(xiàng)抵消例九：3x3 5x22分解因式提示：x=-1可以使該式=0,有因式(x+1)那么該式分解為(x+1) (3xA2+2x-2)因式分解有9種方法,這么多其實(shí)是不止的,還有很多很多.不過了解這些,初中的因式分解是不會(huì)有問題了. 考慮到每種方法只有一個(gè)例題,下面提供一些題目,供大家練習(xí).322 222 33a b c -6a b c 9ab cxy + 6 2x 3y2 2(3a -b) _4(3a _b)(a 3b) 4(a 3b)(x + 2)(x 3) + (x+ 2)(x + 4)2 2 212x 2