初中數(shù)學(xué)-九年級(jí)數(shù)學(xué)教案數(shù)學(xué)教案－正多邊形和圓

1、 教學(xué)設(shè)計(jì)示例1 教學(xué)目標(biāo) ： （1）使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理； （2）通過(guò)正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；通過(guò)正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力； （3）進(jìn)一步向?qū)W生滲透“特殊?一般”再“一般?特殊”的唯物辯證法思想 教學(xué)重點(diǎn) ： 正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理 教學(xué)難點(diǎn) ： 對(duì)定理的理解以及定理的證明方法 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)： （一）觀察、分析、歸納： 觀察、分析：1等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？ 2正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？ 歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn) 教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題

2、 （二）正多邊形的概念： （1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做 正多邊形 如果一個(gè)正多邊形有n(n3)條邊，就叫正n邊形等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形 （2）概念理解： 請(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見(jiàn)過(guò)的正多邊形（正三角形、正方形、正六邊形，.） 矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？ 矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟攘庑尾皇钦噙呅?，因?yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟?（三）分析、發(fā)現(xiàn)： 問(wèn)題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？ 發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓 分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分要將圓五等分，把等分點(diǎn)順

3、次連結(jié)，可得正五邊形要將圓六等分呢？ （四）多邊形和圓的關(guān)系的定理 定理：把圓分成n(n 3) 等份： (1) 依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n 邊形； (2) 經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n 邊形 我們以n=5的情況進(jìn)行證明 已知：O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、E的O的切線 求證：（1）五邊形ABCDE是O的內(nèi)接正五邊形； （2）五邊形PQRST是O的外切正五邊形 證明：（略） 引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路： 弧相等 說(shuō)明： (1)要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來(lái)判定外，還可以根

4、據(jù)這個(gè)定理來(lái)判定，即：依次連結(jié)圓的n(n3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形；經(jīng)過(guò)圓的n(n3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形 (2)要注意定理中的 “依次”、“相鄰” 等條件 (3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形 （五）初步應(yīng)用 P157練習(xí) 1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么? 2求證：正五邊形的對(duì)角線相等 3如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E是O的5等分點(diǎn)，畫(huà)出O的內(nèi)接和外切正五邊形 （六）小結(jié)： 知識(shí)：（ 1）正多邊形的概念（2）n等分圓周(n3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形 能力和方法

5、： 正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力 （七）作業(yè) 教材P172習(xí)題A組2、3 教學(xué)設(shè)計(jì)示例2 教學(xué)目標(biāo) ： （1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理； （2）理解正多邊形的對(duì)稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)； （3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念； （4）通過(guò)正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探索、推理、歸納、遷移等能力； 教學(xué)重點(diǎn) ： 理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理 教學(xué)難點(diǎn) ： 對(duì)“正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓”的理解 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)： （一）提出問(wèn)題： 問(wèn)題：上節(jié)課我們 學(xué)習(xí) 了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n3)圓

6、周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形 反過(guò)來(lái)， 是否每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓呢？ （二）實(shí)踐與探究： 組織學(xué)生自己完成以下活動(dòng) 實(shí)踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？ 2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？ 探究1：當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？ 探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對(duì)角線的交點(diǎn)) （2）根據(jù)正方形的哪個(gè)性質(zhì)證明對(duì)角線的交點(diǎn)是它的外接圓圓心？ （3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰(shuí)？ （三）拓展、推理、歸納： （1）拓展、推理： 過(guò)正

7、五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C、作O連結(jié)OA、OB、OC、OD 同理，點(diǎn)E在O上 所以正五邊形ABCDE有一個(gè)外接圓O 因?yàn)檎暹呅蜛BCDE的各邊是O中相等的弦，所以弦心距相等因此，以點(diǎn)O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切可見(jiàn)正五邊形ABCDE還有一個(gè)以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓 （2）歸納： 正五邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn)都不在同一條直線上 它的任意三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即確定了圓心和半徑 其他兩個(gè)頂點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑 正五邊形的各頂點(diǎn)共圓 正五邊形有外接圓 圓心到各邊的距離相等 正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離 照此法證明，正六邊形、正七邊形

8、、正n邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓 定理： 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓 正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做 正多邊形的中心 ，外接圓的半徑叫做 正多邊形的半徑 ，內(nèi)切圓的半徑叫做 正多邊形的邊心距 正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做 正多邊形的中心角 正n邊形的每個(gè)中心角都等于 （3）鞏固練習(xí)： 1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的_ 2、正方形ABCD的內(nèi)切圓O的半徑OE叫做正方形ABCD的_ 3、若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是_度，半徑是_，邊心距是_，它的每一個(gè)內(nèi)角是_ 4、正n邊形的

9、一個(gè)外角度數(shù)與它的_角的度數(shù)相等 （四）正多邊形的性質(zhì)： 1、各邊都相等 2、各角都相等 觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對(duì)稱圖形？如果是，它們又各應(yīng)有幾條對(duì)稱軸？ 3、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心 4、邊數(shù)相同的正多邊形相似它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方 5、 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓 以上性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學(xué)生的探究問(wèn)題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的研究意

10、識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作 學(xué)習(xí) 精神 （五）總結(jié) 知識(shí)：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念； （2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì) 能力：探索、推理、歸納等能力 方法：證明點(diǎn)共圓的方法 （六）作業(yè)  P159中練習(xí)1、2、3 教學(xué)設(shè)計(jì)示例3 教學(xué)目標(biāo) ： （1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理； （2）通過(guò)證明和畫(huà)圖提高學(xué)生綜合運(yùn)用分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力； （3）通過(guò)例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識(shí)及選優(yōu)意識(shí) 教學(xué)重點(diǎn) ： 綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來(lái)解決問(wèn)題，要理解通過(guò)對(duì)具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注

11、意與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)想和化歸 教學(xué)難點(diǎn) ： 綜合運(yùn)用知識(shí)證題 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)： （一）知識(shí)回顧 1什么叫做正多邊形？ 2什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？ 3正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對(duì)稱性、相似性、有兩圓且同心) 4正n邊形的每個(gè)中心角都等于 5正多邊形的有關(guān)的定理 （二）例題研究： 例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形 已知：如圖，在五邊形ABCDE中，A=B=C=D=E，邊AB、BC、CD、DE、EA與O分別相切于A、B、C、D、E 求證：五邊形ABCDE是正五邊形 分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可 教師引導(dǎo)學(xué)生分析，

12、學(xué)生動(dòng)手證明 證法1：連結(jié)OA、OB、OC， 五邊形ABCDE外切于O BAO=OAE，OCB=OCD，OBA=OBC， 又BAE=ABC=BCD BAO=OCB 又OB=OB ABOCBO，AB=BC，同理  BC=CD=DE=EA 五邊形ABCDE是正五邊形 證法2：作O的半徑OA、OB、OC，則 OAAB，OBBC、OCCD B=C 1=2 = 同理  = = = ， 即切點(diǎn)A、B、C、D、E是O的5等分點(diǎn)所以五邊形ABCDE是正五邊形 反思： 判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來(lái)判定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn)由同樣的方法還可以證明“各

13、角相等的圓外切n邊形是正邊形” 此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)。 拓展1 ： 已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于O，AB=BC=CD=DE=EA 求證：五邊形ABCDE是正五邊形（證明略） 分小組進(jìn)行證明競(jìng)賽，并歸納學(xué)生的證明方法 拓展2 ： 已知：如圖，同心圓O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N 求證：五邊形ABCDE是正五邊形（證明略） 學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程，對(duì)B、C層學(xué)生教師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)

14、生的證明成果，特別是對(duì)證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表?yè)P(yáng) 例2、已知：正六邊形ABCDEF 求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓 作法：1過(guò)A、B、C三點(diǎn)作OO就是所求作的正六邊形的外接圓 2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓 用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓 練習(xí)： P161 1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形 2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個(gè)反例 (1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形； (2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形 3、已知：正方形ABCD求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓 （三）

15、小結(jié) 知識(shí)：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法 能力與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的判定正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫(huà)法 （四）作業(yè) 教材P172習(xí)題4、5；另A層學(xué)生：P174B組3、4 探究活動(dòng) 折疊問(wèn)題：（1）想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形 （提示：對(duì)折；再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可） （2）想一想：能否把一個(gè)邊長(zhǎng)為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形 （提示：可以主要應(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理參考圖形如下： 對(duì)折成小正方形ABCD； 對(duì)折小正方形ABCD的中線； 對(duì)折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的中線上（即B）； 則B、B為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形） 探究問(wèn)題： （安徽省2002）某 學(xué)習(xí) 小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論： 甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形； 乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形如圖一，ABC是正三角形,    形， = = ，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形； 丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也 是正多邊形 (1)請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等 (2)請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正