哥德爾綱領的實現能支持數學實在論嗎

1、哥德爾綱領的實現能支持數學實在論嗎？高坤摘要：哥德爾綱領是由哥德爾提出的一個旨在解決集合論獨立性問題的研究方略，它對最近半個世紀的集合論研究產生了巨大的影響。當代集合論的一些最新成果顯示，這個綱領有可能面臨一個完美的實現。很多人認為，這將有力地支持數學實在論。但更深入的分析表明，哥德爾綱領的真正基礎是集合的迭代概念，而非實在論；并且，集合的迭代概念以及踐行哥德爾綱領所使用的外在的公理辯護方法，實際上與實在論的立場有潛在的沖突，反倒與反實在論的圖景更為契合關鍵詞：數學哲學；哥德爾綱領；數學實在論哥德爾早早預見到了連續(xù)統問題對通常的集合論公理系統ZFC的獨立性，并提出了一個解決它（以及其他類似的獨

2、立性問題）的研究方略，即尋找新公理加強ZFC，從而確定連續(xù)統基數的大小，后人稱之為“哥德爾綱領”（GödelsProgram）1。這個綱領指引了20世紀70年代以來集合論中的一大批實踐，特別是以武?。℉ughWoodin）、斯蒂爾（JohnSteel）等人為代表的集合論加州學派的一系列重要工作和成果。在這些成果的激勵下，今天有很多人甚至認為，“集合論已經發(fā)展到了這樣的階段，我們有可能面臨著哥德爾綱領的徹底實現”283。哥德爾綱領能否實現，以及眼下它是否已經接近實現，我們當然應尊重集合論學家們的意見。對于這類問題，數學共同體內部有其一定的標準，可容哲學家置喙的余地不多。但擁護哥德爾綱領

3、的人，包括加州學派的集合論學家和一些數學哲學家，通常并不把哥德爾綱領視為一個單純的數學研究綱領，而是賦予它豐富的哲學意蘊，特別是認為，它的實現將有力地支持哥德爾式的數學實在論或柏拉圖主義。本文所關心的，正是這個問題?；邴湹伲≒enelopeMaddy）對數學方法論的自然主義刻畫，以及哥德爾本人的一些論述，本文試圖論證，哥德爾綱領與數學實在論之間并沒有人們通常想象的那種緊密聯系，反實在論框架一樣可以容納它。不僅如此，通過反思集合論實踐中表現出的若干原則和思想，我們發(fā)現它們與實在論有深刻的沖突，反倒更契合反實在論的圖景，這包括與哥德爾綱領密切相關的集合的迭代概念和哥德爾歸納法等。哥德爾在證明了他

4、的兩個著名的不完全性結果之后，逐漸將注意力轉向集合論，而吸引他的第一個問題，就是著名的連續(xù)統問題。自康托爾用對角線法證明連續(xù)統的基數嚴格大于自然數全集的基數后，確定連續(xù)統的基數究竟是多少，就成了集合論的一個重要課題?？低袪柕牟孪胧?，連續(xù)統的基數恰好是第二個無窮基數，亦即第一個不可數基數，用公式表達就是：20=1。這就是所謂的“連續(xù)統假設”（CH）。它相當于是說，不存在實數的子集，其大小嚴格介于自然數全集和實數全集之間?？低袪栠M一步證明了，對于實數的解析子集而言，CH是成立的。但自此以后，集合論中圍繞連續(xù)統問題的研究幾乎毫無進展，直到哥德爾的相關工作出現。哥德爾1938年構造了所謂的“可構成集類

5、”（L），證明它是ZFC的一個模型，并且CH在其中也滿足。這意味著，ZFC不能證明CH是假的，即CH對ZFC具有相對一致性。但哥德爾并沒有因此認為CH為真，而是推測它很可能是獨立于ZFC的。在他于1947年應美國數學月刊之邀所寫的關于連續(xù)統問題的一篇文章中，哥德爾深入探討了這種可能性，并指出，我們可以通過合理地擴充ZFC，比如增加一些大基數公理，來最終判定CH的真假。哥德爾關于連續(xù)統假設獨立性的預言于1963年被科恩（PaulCohen）實現。用他自己發(fā)明的力迫法，科恩證明，ZFC也不能證明CH是真的。與哥德爾的結果合在一起，這完成了CH獨立性的證明?？贫髁ζ确ㄊ且环N十分強大的方法，借助它，更

6、多的獨立性現象被陸續(xù)發(fā)現，比如關于實數投影子集的一些問題：它們是否都是勒貝格可測（Lebesguemeasurable）的，是否都具有完美集性質（perfectsetproperty），等等。然而，一個自然的問題是，獨立性究竟意味著什么？它是否意味著相關問題沒有數學意義？對于這個問題，科恩本人傾向于一種形式主義的立場。他認為ZFC并不是對某種客觀實在的描述，而是一個形式系統；一個集合論語句是真的，當且僅當它是ZFC的定理。根據這種立場，連續(xù)統問題沒有意義，因為CH及其否定都不是ZFC的定理，也就沒有真值。但正如我們已經提到的，哥德爾在更早的時候已經預見到了CH的獨立性，同時卻沒有放棄謀求它的解

7、決，更不用說就此宣稱連續(xù)統問題沒有意義。哥德爾的這一做法與他關于數學的哲學立場密切相關，比如，他寫道：“基于此處采取的立場，一個從已接受的集合論公理出發(fā)對康托爾猜想的不可判定性的證明（與一個對的超越性的證明完全不同），絕不是問題的解決集合論概念和定理描述了一個完全確定的實在，在其中康托爾猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的對它的不可判定性，只能意味著這些公理沒有完備地描述那個實在?！?260也就是說，在數學哲學上，哥德爾持一種與科恩形式主義完全不同的立場，即實在論或柏拉圖主義的立場，并且正是基于這一立場，哥德爾認為，連續(xù)統問題仍有意義，即便CH被證明是獨立于ZFC的?？低袪栕C明連續(xù)統

8、的基數等于自然數集冪集的基數，并把它記作20(其中0讀作阿列夫零)?？低袪栠€把無窮基數按照從小到大的次序排列為0，1，a其中a為任意序數，康托爾猜想，20=1。這就是著名的連續(xù)統假設（簡記CH）。一般來說，對任意序數a，斷定2a=(a+1)成立，就稱為廣義連續(xù)統假設（簡記GCH）。更重要的是，哥德爾指出，上述信念“絕非空想，因為有可能指出一些方向，沿著它們能得到對一個問題的判定，而這些問題對于通常的公理是不可判定的”3260。哥德爾在這里所說的“方向”主要是指大基數公理。在哥德爾看來，它們是我們一般接受的ZFC公理的自然延續(xù)，因為它們斷言一些非常大的基數的存在，而這些大基數與比它們小的基數之間

9、的關系，好比是第一個無窮基數與有窮數（即自然數）之間的關系；大基數公理就相當于更強的無窮公理。并且，哥德爾指出，雖然大基數公理“只直接涉及非常大的超窮序數，但可以證明，由它們產生的推論遠遠超出序數理論的范圍；在相容性的假定下可以證明，每條（現在已經知道的）大基數公理都能判定更多的屬于丟番圖方程領域的命題”3261。這就為借助大基數公理解決連續(xù)統問題提供了希望。此外，哥德爾同時強調，除了大基數公理，還可能存在其他一些、尚未為人所知的集合論公理，“這些公理隱含在邏輯和數學背后的一些概念之中，或許在對這些概念有了更為精深的理解之后，我們才能發(fā)現它們”3261。除了寇尼希（JuliusKön

10、ig）的一個結果，即連續(xù)統基數的共尾數不可能是。即什么是康托爾的連續(xù)統問題？。哥德爾后來（1964年）對這篇文章做過一些修訂，但新版與舊版在主要觀點上并無本質差別3。所謂大基數是ZFC不能判定其存在與否的基數，如不可達基數、馬洛基數、可測基數等，關于它們以及本文涉及的其他集合論概念的技術定義，可參見JechT.,SetTheory:theThirdMillenniumEdition,RevisedandExpanded,Heidelberg:Springer-VerlagPress,2003?？贫骱透绲聽枌H獨立性的態(tài)度，分別代表了之后的集合論實踐中的兩個主要陣營。而隸屬于哥德爾主義陣營的集

11、合論學者，主要是加州學派的成員，他們按照哥德爾綱領展開了一系列的研究，并且成果卓著?？偟膩碚f，加州學派圍繞連續(xù)統問題的工作主要有兩方面：其一是一個相對局部的策略，通過為三階算術尋找一個“經驗完全”的理論來判定CH的真值；其二是所謂的“內模型計劃”，該計劃試圖為集合論尋找一個終極模型或終極理論，它可以回答包括連續(xù)統問題在內的幾乎所有獨立性問題。下面我們對這兩個方向分別做簡略的介紹。第一個方向上的工作基于這樣的事實和想法：連續(xù)統問題是一個三階算術問題，而對于一階算術和二階算術，我們都能找到經驗完全的理論；如果我們能將這類工作推廣到三階算術上，或許就能解決連續(xù)統問題。這里稱連續(xù)統問題為三階算術問題，

12、是因為它追問的是實數子集的大小，其相關命題以實數子集為概括對象，而由于每個實數相當于一個自然數子集，連續(xù)統問題所談論的對象就成了全體自然數子集所構成的集合的子集。如果稱直接概括自然數的算術為一階算術，以自然數子集或實數為概括對象的算術為二階算術，那么連續(xù)統問題就屬于三階算術。由于哥德爾不完全性定理，我們注定無法獲得一個關于一階算術結構的完全的理論。但如果不考慮哥德爾句這種生造的算術語句，僅考慮那些在數學實踐中有實際趣味的算術問題，那么我們確實擁有一個接近完全的理論，即ZFC，它能判定今天已知的關于一階算術結構的所有有趣問題。這樣的理論，我們稱之為經驗完全的。而加州學派的一個重要工作是，不僅對一

13、階算術結構，我們有經驗完全的理論，對二階算術結構，我們也能找到一個經驗完全的理論，那就是ZFC+PD。其中，PD指投影決定性公理，它斷言實數的投影子集都是可決定的。在假定PD的情況下，已知的關于二階算術結構的有趣的獨立性問題都可得到解答。不僅如此，加州學派進一步的研究表明，類似的情形也有希望在三階算術結構上發(fā)生：如果某些高度似真的假設成立，則存在關于二階算術結構的一個高度完全的理論，并且它包含CH的否定。相比于第一個方向上的工作，加州學派在第二個方向，亦即內模型計劃方向上的工作與本文的主旨更為相關，后者也更符合哥德爾關于連續(xù)統問題求解的原始設想。哥德爾的可構成集類L具有良好的結構性質，并且可以

14、判定CH，但它對集合宇宙限制過甚，不能容納可測基數及其以上的大基數，因而不適合作為新公理。但能否找到一個類似于L、可自下而上地定義的集合論模型，它同時能容納可測基數以及更大的大基數，這就是內模型計劃的動機。此處所謂“內模型”是相對于力迫法的擴張模型而言，后者是通過對集合宇宙進行擴張得到，前者則是對集合宇宙進行收縮限制。內模型計劃的早期工作在20世紀70年代就已開始，并逐步取得了相當的成功，找到了一系列能容納越來越大的大基數的集合論內模型。但是，這個計劃長期面臨一個根本的難題：“每個為滿足某一特定大基數公理的挑戰(zhàn)而新構造的對L的擴張都伴隨著一個定理，這個定理說沒有更強的大基數公理在這個擴張中成立

15、。由于不太可能存在一個最強的大基數公理，這種方法似乎由其本性就不能成功地為澄清集合宇宙概念而提供所需的新公理。”4然而，這種狀況在最近得到改變。這源于武丁的一個革命性發(fā)現：如果存在一個內模型，它能容納一個超緊基數，則目前已知的所有大基數性質都能“反映”到這個模型中，也就是說，它可以容納所有已知的大基數。武丁稱這樣的一個內模型為“終極L”。而一旦能證明終極L確實存在，那無疑將是哥德爾綱領的一個完美實現，連續(xù)統問題也將隨之而解（武丁證明，終極L的存在蘊涵CH成立）。關于加州學派的這些工作，下面只有極為簡略的勾勒，想要對它們有更詳細、更精致的了解，請參見郝兆寬哥德爾綱領2?，F在，一個關鍵的問題是終極

16、L是否存在。武丁猜想它存在，但只給出了一些間接的證據，至少目前在數學上還不能真正確定武丁的猜想成立。不過，這本質上是一個數學問題，應該交由數學家們去研究、爭論和裁定。哲學上重要的是，如果數學家最終表明終極L確實存在，哥德爾綱領從而得以實現，這是否就意味著數學實在論獲得了巨大的支持，甚至決定性的勝利？本文關心的是這個問題。將哥德爾綱領與數學實在論相聯系是十分自然的，畢竟哥德爾本人就是這么做的。如同前文談到的，正是由于相信集合論是對某種客觀實在的描述，哥德爾才堅持認為，獨立性證明并不是對連續(xù)統問題的解決，CH仍有確定的意義和真值。因此，人們一般習慣性地以為，哥德爾綱領的實現必定會有力地支持數學實在

17、論。事實上，有些學者甚至對我們前面提到的關于哥德爾綱領內容的那種常見表述不滿意，主張將哥德爾的實在論思想也包含其中。比如，郝兆寬就將哥德爾綱領總結為如下四個命題280：（1）數學既不是人類心靈的創(chuàng)造物，也不是純粹符號的游戲，而是對客觀世界的認識和描述。（2）證明連續(xù)統假設是獨立的并不是對連續(xù)統問題的解決，而是說明ZFC遠遠沒有完全刻畫“集合”這個概念。（3）集合論學家的主要任務是不斷加深對集合這個概念的理解，并將這種更深入的理解總結為新的公理。任何獨立性問題，包括CH，最終會以這種方式得到解決。（4）對新公理的辯護既可以是內在的，也可以是外在的。如果對哥德爾綱領作這樣的理解，那么它與實在論的相

18、互支持關系當然是不言而喻的。但在本文中，我們不進行這種延伸式解讀，而是按照一般的做法，視哥德爾綱領為一個就其內容本身而言相對純粹的數學研究綱領：尋求ZFC的合理擴張，以判定ZFC本身無法判定的命題。在這樣假設的基礎上，我們探討它與實在論的關系。認為哥德爾綱領的實現能有力支持實在論立場的一個顯然的理由是，從實在論的假設出發(fā)，我們必然地會走向哥德爾綱領既然集合論描述客觀實在，CH之類命題的不可判定性當然不意味著它們無意義，我們應該做的是深化對集合宇宙的理解，尋求新公理以判定它們而根據假說推理原則，哥德爾綱領的成功反過來就能支持實在論。這與科學推理中的情況類似：我們根據特定的假設預測一個期望得到的觀

19、察，而所預測的觀察一旦出現，則反過來對那些假設構成確證。應該說，這個理由也正是人們心中暗暗持有的主要理由。但一個關鍵的問題是，盡管實在論可以自然地導向哥德爾綱領不假，但反實在論是否就不能與它相容呢？作為一個數學研究綱領，哥德爾綱領本質上涉及的是數學方法論問題：數學研究應如何進行，獨立性結果下的集合論實踐該去往何方？這與關于數學的哲學問題數學對象是什么，我們如何能認識它們還有一定的距離。特別地，當代自然主義數學哲學的一個著名代表麥蒂甚至主張，數學方法論問題應與數學哲學問題徹底分離。就本文的目的而言，這是一個十分重要的觀點，在此值得更詳細的介紹。麥蒂認為，數學在方法論上是高度自治的，與實在論或反實

20、在論的哲學立場無緊密關系。為了表明這一點，麥蒂仔細考察了歷史上的數學實踐，特別是康托爾以來的集合論實踐，審視了人們在引入集合實體、為某個集合論公理或某種集合論實踐辯護時所慣常援引的理由。例如，她指出，康托爾引入導集的概念是為了推廣一個關于函數的三角級數表示的定理；戴德金引入戴德金切割之類的無窮集是為了嚴格刻畫連續(xù)統，從而為分析提供基礎；策梅洛在為他的集合論公理辯護時，除了指出它們在直觀上的顯明性，主要訴諸它們在數學上的豐富性和前景，強調它們對于保存康托爾、戴德金以來的集合論結果是充分且必要的，同時又不會產生羅素悖論之類的集合論悖論；20世紀70年代以來的很多集合論學家傾向于接受投影決定性公理為

21、一條新公理，理由是它具有種種數學上的優(yōu)點，特別是它能為關于實數可定義子集的經典理論提供一個豐富、深刻的擴張。麥蒂強調，這些理由都不是哲學的，而是來自數學內部，指向明確的數學目標，“從相對局部的問題求解，到提供基礎，再到對有前景的數學道路的更開放的追求”552。另一方面，麥蒂也承認，在數學家們的實際討論中，確實摻雜了一些哲學思辨味十足的文字，比如戴德金曾說，數是人類心靈的自由創(chuàng)造。但考慮到數學家們對這些問題往往持有廣泛不同的意見，很難設想最終接受集合論的他們會認同一個關于集合之哲學本性的單一概念。更恰當的做法是，將這些文字視為“花哨有趣的旁白或啟發(fā)式的輔助，而非該學科之證據結構的一部分”553。

22、作為歷史事實判斷，麥蒂的上述觀點在細節(jié)上未必完全準確，因為它涉及復雜具體的歷史和作為主觀個人的數學家。但可以確定的是，它至少揭示了一種理論詮釋上的高度可能性，即將數學方法論問題與關于數學的哲學立場相分離。麥蒂由此提出要為數學實踐所展現出的方法論提供一個自然主義的刻畫，按照這個刻畫，數學所追蹤的是某種無關乎本體論問題的數學深刻性（mathematicaldepth）。而就本文的范圍而言，麥蒂的這一思想啟發(fā)我們將哥德爾綱領與實在論解綁：即使不假設實在論的本體論立場，我們也可以在方法論上接受哥德爾綱領，并完全基于數學內部的理由為之辯護。事實上，哥德爾本人的一些論述已經暗示了這一點。盡管如前文談到的，

23、哥德爾確實從實在論的角度為CH的有意義性做了辯護，但他同時又說，對于CH是否有意義這個問題，數學對象客觀存在與否不是決定性的。實際上，單憑一個心理事實就足以賦予CH之類的命題以意義，這個事實就是：“存在一種足夠清晰的直覺，它能產生集合論的公理以及它們的擴張的一個開放序列?！?268在哥德爾看來，“集合論公理遠沒有形成一個自我封閉的系統；恰恰相反，作為這些公理基礎的集合概念自身暗示著還可以添加新的公理來擴張這個系統，這些新公理斷言我們仍然可以進一步迭代的集合這一運算?！?260哥德爾這里的意思是，從我們關于集合的直覺（或直觀）概念看，集合論公理能夠以數學上自然的方式被不斷擴張，形成一個沒有終點的

24、無限序列。哥德爾心目中的集合概念，就是已被人們普遍接受的集合迭代概念：集合宇宙是從空集（或一些本身不是集合的個體對象）出發(fā)，不斷應用“的集合”運算得到的。在這個過程中，需要使用愈來愈強的無窮公理斷定愈來愈大的無窮集的存在。ZFC只包含一條無窮公理，但從上述集合迭代概念看，增加更強的無窮公理（即大基數公理）來擴張ZFC，是十分自然的。在這樣的圖景下，CH對ZFC的獨立性就絕不是問題的結束，因為我們可以期待，合理擴張后的ZFC能夠最終判定CH。這就是說，不必援引實在論立場，僅從純粹數學的考慮出發(fā)，從我們關于集合的直覺概念出發(fā)，一個集合論學家也能自然地接受哥德爾綱領，投身于尋求新公理的事業(yè)。真正關鍵

25、的實際上不是本體論立場，而是我們心靈中關于集合的直覺概念具有怎樣的特征這樣的心理事實，是我們的集合概念本身的開放性決定了哥德爾綱領的自然性和合理性。即使一個人持一種反實在論的數學哲學觀點，比如把數學理解成一種概念想象活動，他也可以自然地接受哥德爾綱領，只要他按照集合的迭代概念那樣去想象集合。當然，與實在論者將集合的直覺概念神秘地對應于某種心靈之外的數學實在不同，反實在論者認為，它是心靈的創(chuàng)造，或者更確切地說，是人類大腦的創(chuàng)造（至少對物理主義者而言是如此）。而這可能會立即招致一種反駁，因為談到數學是心靈的創(chuàng)造，人們總會聯想到布勞威爾的直覺主義，進而想到他對排中律和實無窮概念的拒斥。但應該說明的是

26、，今天的反實在論者很少在布勞威爾的意義上談論“數學創(chuàng)造”和“數學直覺”。在當代的更具包容性和更具自然主義精神的反實在論哲學中，排中律和實無窮概念可以是我們的經典數學想象的一部分，而數學直覺和創(chuàng)造也能得到一種基于當代認知科學研究成果的自然化說明。不過，限于本文的篇幅和目的，這里不可能也不必詳細闡述這種反實在論數學哲學。接下來，我們仍然緊扣哥德爾綱領的直觀概念基礎和它引發(fā)的實踐，討論它與實在論的關系。根據前面的分析，從集合的迭代概念看，哥德爾綱領自有其數學上的合理性，無須借助于實在論或柏拉圖主義。但實在論者或許會反駁說，盡管集合的迭代概念為擴張ZFC提供了一定的動機和理由，但它并不像實在論那樣必然

27、要求這種擴張。特別地，科恩等形式主義者甚至反對這種擴張，主張在ZFC中工作，雖然他們顯然接受集合的迭代概念。這或許表示，哥德爾綱領的實現還是更有利于實在論。確實，如果一個人持反實在論的立場，他當然可以選擇不再擴張自己的數學想象。實際上，他甚至可以選擇收縮已有的想象，比如在ZF中工作，或拋棄無窮公理，等等。但無論他自己喜歡在怎樣的假設下工作，他總不能否認別人在不同的假設下無論擴張還是收縮所做工作的意義，因為這些工作都能理解為是在證明一些假言命題，或者說發(fā)現了某個推理鏈條和邏輯關系。事實上，自力迫法誕生以來，集合論學家們已經逐漸習慣于在各自偏好的不同假設（如V=L、PD和各種大基數公理，甚至CH和

28、¬CH）下工作，同時又彼此承認對方工作的意義，以至于一些人開始支持和論證一種被稱為“集合論多宇宙觀”（multiverseviewofsettheory）的立場。比如，哈姆金斯（J.D.Hamkins）就認為，集合論發(fā)展的現實表明，實在論者所期望的連續(xù)統問題的理想解決方案已經不可能了，當前的集合論研究更應該著眼于探求各種獨立性命題在哪些集合論宇宙中是如何成立的，以及這些集合論宇宙之間的關系6。集合論的這種現實狀況符合反實在論的基本精神。事實上，在反實在論圖景下，擴張ZFC與否，更多地是個語言表述問題，因為在額外假設下所做的集合論工作總可以解釋成是ZFC之中的工作，即在ZFC中證明一些

29、假言命題。這也讓我們再次想到麥蒂的那個論點：隱藏在數學實踐中的客觀性是一種無關乎抽象對象的數學深刻性。這里的“深刻性”，可以部分地理解成邏輯蘊涵關系上的深刻性。至于科恩等基于ZFC的形式主義者，他們以一種近乎實在論的態(tài)度特殊化地對待ZFC，視ZFC中可證的命題為字面真理，而對擴張ZFC則表現出敵意，反映了一種不徹底的形式主義立場。實際上，作為工作數學家，這些人往往對本體論、認識論等哲學問題不太關心，也沒有充分、融貫的數學哲學立場。他們的形式主義，通常僅僅是一種比較具體的數學工作態(tài)度的表達，比如，相比于尋找新公理判定CH，證明CH以及其他一些命題相對于ZFC的獨立性，在他們看來更有意義。然而，針

30、對以上的回答，實在論者可以進一步加強自己的反駁：與反實在論相比，實在論真正的優(yōu)勢不在于要求ZFC的擴張，而在于要求ZFC的唯一的擴張（因為那個實在的集合宇宙是唯一的），而哥德爾綱領當前所面臨的可能的實現，亦即終極L的愿景，恰恰印證了這種唯一性的要求。我們之前談到，主張哥德爾綱領的實現能支持實在論的一個理由是基于假說推理原則，而這里的論證則為我們引出了第二個重要理由，那就是終極L模型的特殊性。終極L可以容納所有已知的大基數，且具有良好的結構性質，能夠判定所有已知的自然的獨立性問題；并且，它對通常的獨立性證明方法（即力迫法）是免疫的。基于此，實在論者提出了一個對自身立場的辯護，比如，郝兆寬說：“終

31、極L的這種特殊性自然需要哲學上的解釋。武丁多次強調，這種特殊性源自它十分接近V，那個真實的集合論宇宙。除了這種柏拉圖主義的解釋，我們暫時看不到任何其他的哲學立場能夠做到這一點?！?171這里，終極L模型的特殊性可以等效地理解成相應理論ZFC+V=終極L的特殊性。說終極L十分接近V，相當于說ZFC+V=終極L是對ZFC的一個近似的完備化。而上述論證的一般形式可總結為：因為某個理論具有如此這般的“好性質”，所以它是對某種客觀實在的（近似）描述。但這樣一種論證，顯然是有問題的。因為，“好性質”反映的是人們的主觀理論偏好，而實在之為實在，恰恰在于它很可能背離我們的偏好。比如，在物理學中，經典力學的確定

32、性對我們來說是一個顯著的“好性質”，但對微觀事物的精細觀察表明，它與實在不符。在數學中，也有類似的例子，比如歐幾里得幾何理論，它具有種種好性質直觀上的顯明性、完備性等，但自非歐幾何流行以來，恐怕很少有人會認為，歐氏幾何模型的這種特殊性源自它完美地接近點、線、面等幾何對象的客觀宇宙。并且，設若訴諸終極L特殊性的論證有效，那么為了一般地支持實在論的數學本體論立場，我們也將完全沒必要訴諸它，因為相比于這個存在與否尚不確定的模型，我們有太多理論優(yōu)點顯著的數學結構可資利用，如自然數結構、連續(xù)統結構等。這些結構是經典數學的核心部分，被數學共同體普遍接受，不僅帶來好的理論結果，直觀上也十分自然。如果這些特征

33、只能用“完美近似于抽象對象的客觀宇宙”來解釋，那么不必考慮關于終極L的那些復雜深奧的數學結果，柏拉圖主義就已經能夠得到確立。誠然，應當承認，在集合論實踐中，數學家們經常利用公理的某些理論優(yōu)點為公理做辯護。加州學派為投影決定性公理所做的辯護就是一個例證。而它不過是對哥德爾關于公理的外在辯護方法或“哥德爾歸納法”的經典論述的一個回響。哥德爾指出，即使一個新公理沒有內在的必然性（直觀上的顯明性，或包含在集合的概念之中），我們也可以通過歸納研究它的“成功”，對其真值作出裁定。這里的成功指后承的豐富性，“或許存在這樣一些公理，它們的可驗證后承是如此豐富，它們對一個領域的闡釋是如此清晰，它們提供的解決問題

34、的方法是如此強大（甚至能最大限度地以構造性的方式解決它們），以至于無論它們自身是否是內在必然的，它們都必須被接受”3261。但是，在集合論方法論上接受這種辯護策略和方法論原則，與支持實在論的哲學立場完全是兩回事。特別地，麥蒂在她關于集合論方法論的研究中著重指出了集合論實踐的上述事實，但她接著強調，集合論學家接受的這種方法論實際上與柏拉圖主義不相容。一個理論具有數學家偏愛的某些性質，滿足某種數學目的，如何就能保證它為真？如果實在論者將集合論看作對某種客觀獨立的實在的描述，那么“實在完全可以令人悲傷地拒絕合作”558。關于集合論方法論與實在論哲學觀點的沖突，麥蒂的論述集中在公理的外在辯護方法上。但

35、沿著她的思路，我們可以挖掘更多。我們認為，甚至集合論學家普遍接受的集合直觀概念，亦即集合的迭代概念，也與實在論相沖突。根據實在論，集合像蘋果、原子、自然數等一樣，是客觀存在的對象。但問題是，后面幾種對象都可以任意地“匯集”為集合，而根據集合的迭代概念，這種情況在集合卻是不被容許的。這究竟是何緣故呢？當然，眾所周知，如果不作這種限制，就會產生悖論。但避免悖論這個數學的理由，并不能替代我們要求的哲學解釋：什么樣的本體論原因使得集合這種對象不能像其他個體對象一樣被任意地匯集起來構成一個集合？我們認為，實在論者有義務對此進行解釋。除了對集合的任意匯集或大小進行限制，憑借基礎公理，集合的迭代概念還排除了無窮下降鏈的存在。從實在論的角度看，這似乎也毫無道理可言，而數學上的理由，則完全是實用的：無窮下降鏈雖然不會產生矛盾，但排除它也不會造成任何數學損失；而借助基礎公理，集合宇宙可以變得更整齊，特別是具有一種自下而上的構造特征。我們認為，在反實在論的圖景下，集合迭代概念的上述特征可以得到更自然的理解。這是因為，人類有自下而上、一層一層地想象事物的自然傾向。從給定的一些原子對象出發(fā)，不斷地應用“的集合”這個運算向上構造，就像從地基開始建造一座高塔一樣，在想象上十分自然。唯一可能的障礙是