2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇復(fù)賽試題-Word版含答案(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽一、填空題（每題8分，滿分64分，將答案填在答題紙上）1.若數(shù)列滿足，則的值為 2.若函數(shù)對于任意都滿足，則的最小值是 3.在正三棱柱中，分別是側(cè)棱上的點，則截面與底面所成的二面角的大小是 4.若，則 5. 設(shè)是實數(shù)，則的最大值是 6. 設(shè),則中能被整除但不能被整除的數(shù)的個數(shù)是 7. 在直角平面坐標系中，分別是雙曲線的左、右焦點，過點作圓的切線，與雙曲線左、右兩支分別交于點，若，則的值是 8. 從正邊形的頂點中任取若干個，順次相連成多邊形，其中正多邊形的個數(shù)為 二、解答題 9.已知，且，求的最小值.10.在平面直角坐標系中，橢圓的

2、上頂點為，不經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點，且（1）直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由.（2）過兩點分別作橢圓的切線，兩條切線交于點，求面積的取值范圍.11.設(shè)函數(shù)（1）求證：當時，；（2）設(shè)，若存在使得，求證：2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽參考答案與評分標準加試1. 已知圓的內(nèi)接五邊形中與相交于點的延長線交圓于點，且求證： 2.設(shè)是非負實數(shù)，若是兩個不相鄰的整數(shù)，求的值，3.平面上個點，無三點共線，任意兩點間連線段，將其中任意條線段染成紅色.求證：三邊都為紅色的三角形至少有個.4.設(shè)為正整數(shù)，其中為互素的正整數(shù)，對素數(shù)，令集合，證明：對每一個素數(shù)，集合中至少有三個元素.

3、試卷答案1. 2. 3. 4.5. 6.252 7. 8.3432 二、解答題9.解：因為，所以，所以當時，所以的最小值為10.解：（1） 因為，所以直線與軸平行時，或與重合，不合題意.設(shè)，則將代入，得所以同理所以，直線,即，化簡得直線縱截距是常數(shù)，故直線過定點（2）由 （1） ，同理，所以 不妨設(shè)，令，則，可化得，即 設(shè)，則切點弦的方程是，又在上，所以，從而所以到的距離因此的面積令，則，化得當時，遞增，所以，即，當且僅當，即時，等號成立，故的面積的取值范圍是11.解： （1） 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（）當時，令，則恒成立，所以在區(qū)間為增函數(shù)，又因為，所以，即（）假設(shè)時，命題成立，即當時，則時

4、，令，則，所以在區(qū)間為增函數(shù)，又因為，所以恒成立，即，所以時，命題成立.由（）（）及歸納假設(shè)可知，當時，（2）由（1）可知，即，所以，即，下證：下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當（）當時，令，則，所以在區(qū)間單調(diào)增，又，故，即（）假設(shè)時，命題成立，即當時，則當時，令，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，又，故，即.由（）（）及歸納假設(shè)，可知當時，對成立，所以，從而即，證畢.復(fù)賽加試答案1.證明：連接因為五邊形內(nèi)接于圓，所以,所以,所以 同理，, 由得因為,所以所以，即點是弧的中點，所以2.解：因為是不相鄰的整數(shù)，所以由于是整數(shù)，所以設(shè)，即，則，則，于是，從而，故又因為 令，得，代入得，于是，因此，并且，即，解之得，從

5、而，且，故所以3. 證明：首先證明一定存在紅色三角形（三邊均為紅色的三角形為紅色三角形，下同）.設(shè)從頂點出發(fā)的紅色線段最多，由引出的紅色線段為，則若中存在兩點，不妨設(shè)為使線段為紅色線段，則為紅色三角形，若相互之間沒有紅色線段相連，則從出發(fā)的紅色線段最多有條，所以這個點紅色線段最多有與題設(shè)矛盾，所以存在以為頂點的紅色三角形，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，（1）當時，平面上有四個點中兩兩連線共有條，其中有條為紅色，只有一條非紅色，設(shè)為則與均為紅色三角形，命題成立，（2）假設(shè)時，命題成立，即至少存在個紅色三角形，當時，有個點，且有條紅色線段，一定存在一個紅色三角形，設(shè)為考察從引出的紅色線段分別記為條，不妨設(shè)若，則除去點余下的個點之間至少有,由歸納假設(shè)可知存在至少個紅色三角形，再加上至少有個紅色三角形，若，則,故從出發(fā)向其它個點引出紅色線段至少有條，因為這線段至少有對線段有公共點（不包括）故至少存在個紅色三角形，再加上，則至少有個紅色三角形，所以時命題也成立，由（1）（2）可知，當時，點之間的條紅色線段至少可組成個紅色三角形.4.證明：引理：設(shè)為素數(shù)，為非負整數(shù)，令，其中為互素的正整數(shù)，