青海大學(xué) 化工應(yīng)用數(shù)學(xué) 拉普拉斯變換

1、第四章 拉普拉斯變換本章主要內(nèi)容u 拉普拉斯變換拉普拉斯變換u 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換u 利用拉普拉斯變換求解微分方程利用拉普拉斯變換求解微分方程4.1 定義和性質(zhì)1.拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義2.拉普拉斯積分的收斂條件拉普拉斯積分的收斂條件3.求拉普拉斯變換的方法求拉普拉斯變換的方法4.拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)1. Laplace 變換的定義( )0f tt 設(shè)函數(shù)當(dāng)時有定義，而且積分( )0ptf t edtp在 的某一域內(nèi)收斂。p積分所得為 的函數(shù)。F(p)=( )0ptf t edt記為( )f t則稱此式為函數(shù)的拉普拉斯變換式( ) ( )F pL f t

2、( )( )( )( )F pf tf tF p為的拉氏變換，為的拉氏逆變換1( ) ( )f tLF p( )0f tt 設(shè)函數(shù)當(dāng)時有定義，而且積分p積分所得為 的函數(shù)。象函數(shù)象原函數(shù)一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換 例例1 求單位階躍函數(shù) 的拉氏變換 1(0)H tt解解 011( )Re00ptp tH tedteppp 111H tpp 2常用函數(shù)的拉氏變換例例2 求函數(shù) 的拉氏變換 ( )stf te.sR解解 ()001( )stptp s tf te edtedtRe psps 1steps 例例3 求單位斜坡函數(shù) 的拉氏變換 000ttt H ttt解解 200111( )00ptp

3、 tptttedtteedtRe pppp 21( )( )ttH tp 例例4 求正弦函數(shù) 的拉氏變換 ( )sin)f ttR ( 00020201( )sinsin1sincos0coscossin0ptptptptptptptf ttedttdepetetdtptdepetetdtp 解解 則22200sinsinptpttedttedtpp所以 22sin0tRe pp 即22sin tp同理可得22cosptp如 22sin204tRe pp 2cos309ptRe pp 1 1221122 L( )( )( )( )A f tA f tAF pA Fp一 線性性質(zhì)3.Laplac

4、e 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)其中A1，A2為常數(shù)。)0()()( fppFtf )0()0( )0( )0()()( )1()2(21)( nnnnnnfpffpfppFptfL二 微分性質(zhì)1）函數(shù)導(dǎo)數(shù)的拉氏變換特別地,當(dāng)(1)(0)(0)(0)(0)0nffff時,( )( )( )nnftp F p 2sin cos01pLtpp 221111pppp 2）拉氏變換式對參數(shù)P的導(dǎo)數(shù)f(t)F(p),L若(n)f(t)( t)( )nnndLFpLf tdp則，2）拉氏變換式對參數(shù)P的導(dǎo)數(shù)22221tcos cos ()1(1)ddppLtLtdpdp pp tcos Lt利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求解：22

5、211t()2(2)ttddL eL edpdp pp 2ttL e和即01( ) ( )tLfdL f tp三 積分性質(zhì)四 相似性定理五 位移定理：六 延遲定理： ( )()ate f tF paLt =Lu(t-a)f(t-a)=ep) (paF（ ）1 ()()pf atFaa(t)tat =0tafa若函數(shù)（ ）t =u(t-a)f(t-a)則 （ ）七 周期函數(shù)的象函數(shù)taf(t+a)=f(t)f若 （ ）是一個周期為 的周期函數(shù)，即(1)00f(t)(t)e(t)enaptptnanLfdtfdt00ee(t)apnaptnfdt01e(t)1 eaptpafdt八 初值定理和終值

6、定理0L ( )( ),lim( )(0)lim( )lim( )1)設(shè)且存在，則ptpf tF ppF pff tpF p初值定理00L ( )( ),lim( )( )lim( )lim( )2)設(shè)且存在，則 ttpf tF pf tff tpF p終值定理4.2 Laplace逆變換的求解方法關(guān)于 t 的微分方程 關(guān)于 p的代數(shù)方程關(guān)于 p的代數(shù)方程 原微分方程的解Laplace 變換 Laplace 變換的反演一 線性性質(zhì)1.拉普拉斯逆變換的性質(zhì)二 位移性質(zhì)1 L ()( )atF pae f t111221122 L ( )( )( )( )AF pA FpA f tA f t三 延

7、遲性質(zhì)1.拉普拉斯逆變換的性質(zhì)四 相似性質(zhì)1L e(p)=u(t-a)f() t-apaF11 L()()pF apfaa五 微分性質(zhì)1.拉普拉斯逆變換的性質(zhì)六 積分性質(zhì)1 L ( )( 1)( )nnnFpt f t 11 L ( )d (t)F uuft例 已知 11F pp p求( )f t解 11111F pp ppp所以 1tf te 1,(P)stf teFPS11LP2.梅林-傅里葉定理1( )( )2jptjf tF p e dpj F(p)=( )0ptf t edt利用拉氏變換表可以求解。在系統(tǒng)分析問題中，在系統(tǒng)分析問題中，F(xiàn)(p)常具有如下形式：常具有如下形式：式中式中A

8、(p)和和B(p)是是p的多項式，的多項式， B(p)的階次較的階次較A(p)階次要高。階次要高。 對于這種稱為有理真分式的象函數(shù)對于這種稱為有理真分式的象函數(shù) F(p)，分母，分母 B(p) 應(yīng)首先應(yīng)首先進行因子分解，才能用部分分式展開法，得到進行因子分解，才能用部分分式展開法，得到 F(p) 的拉氏反變的拉氏反變換函數(shù)。換函數(shù)。 ( )( )A pF pB p3.部分分式法 將分母將分母 B(p) 進行因子分解，寫成：進行因子分解，寫成：式中，式中，ai為為B(p)的實零點或虛零點，的實零點或虛零點， ( )( )(p a )iniiA pF pB piiina為 的零點個數(shù)， 為待定系數(shù)

9、。11(p a )(n1)!iina tiiniiiLte例題例題5-13 求求11(p a )(n1)!iina tiiniiiLte21(p)(p 1)Fp的逆變換 221(p 1)p+p1ABCFPpP解：設(shè)11ABC 可得：，2-111=+pp1p上式iii-1a =0n =1=-1p對這項而言，1F(p)f(t)1t etL 例 求 的原函數(shù)3242936( )81PPPF PP解322222293611( )(3)(3)(9)2(3)2(3)393(3 )PPPF PPPPPPPPP因此原函數(shù)為tteetftt3sin313cos)(21)(33 此時，此時，F(xiàn)(p)總可以展成簡單

10、的部分分式之和。即總可以展成簡單的部分分式之和。即 1212( ).( )()()()nnAAAA pF pB ppppppp0nkkkApp如何求得如何求得A1、 A2 An這次系數(shù)？這次系數(shù)？4.海維賽德法海維賽德法k12kkk12lim( )=()( )lim()().()()()()knknA pppppB pAAApppppppppppppp等式左邊右邊求出。即求出。即k()lim( ) lim( )kkkppppppAA pB p1()1( )()nkkkkA pF ppp B p1()( )()knp tkkkA pf teB p求出。即求出。即1()()kkkAA pB p例題

11、例題1 求求F(p)的拉氏反變換，已知的拉氏反變換，已知 22bpF ppa由海維賽德法，得由海維賽德法，得12,pai pai pai 1()( )()knp tkkkA pf teB p因此因此121212()()( )()()p tp tA pA pf teeB pB p12121222p tp tbpbpeepp()cos2iia ta tbeebat 12( )( )( )F pF pFp設(shè)設(shè)P1是是B（p）的）的m階零點，階零點，pm+1,pn是是B（p）的其余）的其余互異零點，則互異零點，則F(p)的一般表達式可以分成兩部分，為的一般表達式可以分成兩部分，為121mm-11111

12、2212( ).()()()( ).mmmnmmnAAAF pPPPPPPAAAFpPPPPPP111111( ) ( )lim()(1)!( )mmptmppdA pLF pppemdpB p對對F(p)等式兩邊同乘以等式兩邊同乘以(P-P1)mm1112111111(P)(P).mmmmmnmnAPPAA PPPPABAAPPPPPPPP（）（）+.+（）（）（）1111( )lim()( )mppA pPPAppB p令，1121( )lim()( )mppdA pPPAppdpB p對上式求導(dǎo)，令，11m111( )lim()(1)!( )mmmppdA pAppmdpB p逐次求導(dǎo)，

13、例題例題3 已知已知F(p)，求，求L- -1F(p)。 221 2(1)pF ppp解解1,23,40,1ppm=21222011 2 ( )lim(2 1)!(1)ptpdpL F ppedppp222111 2lim(1)(2 1)!(1)ptpdppedppp5.卷積定理12011()11tttLedtepp 4.3 拉普拉斯變換應(yīng)用舉例一 步驟常微分方程初始條件常微分方程初始條件L變換代數(shù)方程代數(shù)方程降階常微分方程降階常微分方程解方程解方程象函數(shù)象函數(shù)進行L逆變換象原函數(shù)象原函數(shù)1.求解常微分方程12( )(0)(0)a ya yyf tyAyB(1)(1)利用微分性質(zhì)利用微分性質(zhì)原

14、方程化為：原方程化為：212( )(0)(0)( )(0)( )( )a p y ppyyapy pyy pF p1.求解常微分方程12( )(0)(0)a ya yyf tyAyB(2)(2)解出解出 ( )( )( )A py pB p(3)(3)求出拉氏逆變換。求出拉氏逆變換。 (4)(4)得到得到y(tǒng) y（t t） 利用拉氏變換解微分方程利用拉氏變換解微分方程2000 ( )( )( )( )( )( )( )L x ts X PxL xtsX Ps xx 微微分分定定理理：( ) ( )X PL x t 22230041019( )( )( )( )PPX PP xxX PPP 例例設(shè)

15、設(shè)對等式兩邊進行拉氏變換并考慮初始條件對等式兩邊進行拉氏變換并考慮初始條件431030203( )( )sincos( ), ( )x tx tttxx 例例222222331041494( )()()()()PPX PPPPPP2230( )sinsincos()x tttt t設(shè)設(shè)32225660202600506212615423231540( )( )( )( ), ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )()()()ttyty ty tyyY pL y tpY pp yypY pyy teeY ppppY pp ppptpp 例題：2.求解方程組)3)0(

16、, 1)0(72102222zyezydtdzezydtdytt解 方程兩邊進行拉普拉斯變換10( ) 12 ( )2 ( )27( )32 ( )( )2sy py pz ppsz py pz pp 利用拉氏變換解微分方程組利用拉氏變換解微分方程組例例設(shè)設(shè)對等式兩邊進行拉氏變換對等式兩邊進行拉氏變換2222222121122111121111211222( ) ( ),( ) ( )Y( )( )( )( )Y( )( )( )( )( )()()() ( )() ( )()() ( ) ()( )X sLx sY sL y ssssX ss X sY ssssssX ss Y sX ssY ss ssssY ss sX ss ss sY ssX ss 2222222222111211111111111111101111( )()()()()()( )()()tttsssssX ss ss ss ssssss ss ssx tt t ety tet es 2t( )( )( )( )2( )( )2 ( )( )tytxtx ty teytxty tx t 設(shè)初值為設(shè)初值為0 3.求解線性差分方程5-24例題2221111(