平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理課件

1、平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理誤差理論與測量平差基礎(chǔ)誤差理論與測量平差基礎(chǔ) 第第4 4章章 平差數(shù)學(xué)模型平差數(shù)學(xué)模型 與最小二乘原理與最小二乘原理 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理測量平差測量平差求平差值求平差值精度評定精度評定評定指標？評定指標？建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型如何求這些指標？如何求這些指標？定義求定義求廣義傳播律廣義傳播律單位權(quán)方差、單位權(quán)方差、對應(yīng)權(quán)倒數(shù)對應(yīng)權(quán)倒數(shù)方差（陣）、方差（陣）、權(quán)（協(xié)因數(shù)陣）權(quán)（協(xié)因數(shù)陣）數(shù)學(xué)模型解算數(shù)學(xué)模型解算平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理第四章第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理本章教學(xué)內(nèi)容本章教學(xué)內(nèi)容4-1 4-1 測量平差概述測量平差概述

2、 4-2 4-2 函數(shù)模型函數(shù)模型 4-3 4-3 函數(shù)模型的線性化函數(shù)模型的線性化 4-4 4-4 測量平差的數(shù)學(xué)模型測量平差的數(shù)學(xué)模型 4-5 4-5 參數(shù)估計與最小二乘原理參數(shù)估計與最小二乘原理 4-64-6 綜合練習(xí)題綜合練習(xí)題 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理要求：要求： 掌握各類控制網(wǎng)必要元素的數(shù)目掌握各類控制網(wǎng)必要元素的數(shù)目與類型和多余元素數(shù)的計算方法；平與類型和多余元素數(shù)的計算方法；平差數(shù)學(xué)模型的概念、最小二乘原理及差數(shù)學(xué)模型的概念、最小二乘原理及其應(yīng)用其應(yīng)用 重點：重點： 必要起算數(shù)據(jù)、必要觀測個數(shù)必要起算數(shù)據(jù)、必要觀測個數(shù)的確定；平差的數(shù)學(xué)模型及其線性的確定；平差的數(shù)學(xué)模型及其線

3、性化方法；最小二乘法化方法；最小二乘法 第四章第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-1 4-1 測量平差概述測量平差概述 測量的目的：確定某些幾何量的大小測量的目的：確定某些幾何量的大小 確定相應(yīng)的幾何模型確定相應(yīng)的幾何模型*注* 確定一個幾何模型，并不需要知道該模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通過它們來確定。一、確定模型的必要元素一、確定模型的必要元素、必要元素（量）、必要元素（量）：能夠唯一確定一個幾何模型所必須知道的元素。其個數(shù)用tm表示平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理必要元素的獲取途徑：本次測量值、往次

4、測量成果 *注*例1：確定三角形形狀與大小，只需知道其中任意的兩角一邊、兩邊一角或三邊三個量就可以了 。必要元素的個數(shù)tm只取決于模型本身，個數(shù)與類型所有的必要元素都是彼此函數(shù)獨立的量，不能互替模型中所有的量都是必要元素的函數(shù)模型中作為必要元素的“量”不是唯一的平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理3 3、必要起算元素或配置元素：、必要起算元素或配置元素：在唯一確定一個幾何模型的tm個必要元素中，不能通過本次測量作業(yè)測定的量。其數(shù)目用t0表示?？梢娪校?tm t t0 2 2、必要觀測量（元素）：、必要觀測量（元素）：為了能夠唯一確定一個幾何模型所必須測量的元素。其個數(shù)用t表示，稱為必要觀測個數(shù)。 *注*

5、必要觀測量的類型，與測量技術(shù)與設(shè)備有關(guān)。在同一模型中，有些量當(dāng)前測量不了例2確定三角形形狀和大小， tm3，如果只測角度，則t=2, t0 =1：若只測邊， t=， t0 =4 4、多余觀測元素、多余觀測元素( (量量) )：為及時發(fā)現(xiàn)測量中的錯誤，除必要觀測量外還要觀測的其它量。其個數(shù)用r表示，稱為多余觀測個數(shù)5 5、觀測值總數(shù)、觀測值總數(shù)用n表示, r=n-t平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 在一個幾何模型中， 除tm 個獨立量外，若再增加一個量，在必然要產(chǎn)生一個相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。如（例）中增加為3個角度，則條件方程條件方程4-1 4-1 測量平差概述測量平差概述二、多余觀測與條件方程二、多余觀

6、測與條件方程平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 *注* 一個幾何模型中， 如果有r()個多余觀測，就產(chǎn)生r個條件方程?？梢姡诹袟l件方程前，先確定必要觀測數(shù) t tmt0 111222333,LLLLLL 由于觀測值不可避免地存在觀測誤差，由觀測值組成上述條件方程必不能滿足，即o1231800LLLW造成條件方程不閉合，或者說存在閉合差。由于則有112233()()()180LLL1230W 條件方程條件方程求出一組真誤差(改正數(shù))，消除閉合差平差平差平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-1 4-1 測量平差概述測量平差概述三、常用測量控制網(wǎng)必要觀測個數(shù)的確定三、常用測量控制網(wǎng)必要觀測個數(shù)的確定 1測站方向觀

7、測目的：確定各個目標的方向（方位）觀測值（量）：角度必要起算元素：一邊的方位角t0 =1 * 若沒有已知方位角，可以假設(shè)一邊的方位角 必要觀測值個數(shù)：t= tmt0 =總方向數(shù)1（多余的起算元素個數(shù)）平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理2.(2.(平面平面) )測角三角網(wǎng)測角三角網(wǎng)v目的：確定網(wǎng)中各點在坐標系中的坐標v觀測值(量)：網(wǎng)中各內(nèi)角的角度v必要起算元素：一點坐標、一邊方位和邊長， 等價于兩點坐標。t0 =4 * 若沒有已知點和已知方位，可以假設(shè)v必要觀測數(shù)：t= 2(總點數(shù)2)多余的起算元素個數(shù)“”表示坐標為已知的固定點；“ O”表示待定點;雙線表示已知邊，虛線表示沒觀測 平差數(shù)學(xué)模型與最小二

8、乘原理3.(3.(平面平面) )測邊三角網(wǎng)測邊三角網(wǎng)v目的：確定網(wǎng)中各點的坐標v觀測值(量)：網(wǎng)中各點間距離v必要起算元素：一點坐標、一邊方位，t0 =3 * 若沒有已知點和已知方位，可以假設(shè)v必要觀測值個數(shù)：t= 2總點數(shù)3 多余的起算元素個數(shù)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4.(平面)邊角三角網(wǎng)v目的：確定網(wǎng)中各點的坐標v觀測值(量)：網(wǎng)中的角度和邊長v必要起算元素：一點坐標、一邊方位，t0 =3 若沒有已知點，可以假設(shè)一點坐標、一邊方位v必要觀測值個數(shù)：t= 2總點數(shù)3 多余的起算元素個數(shù)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理5高程控制網(wǎng)（水準網(wǎng)）v 目的：確定網(wǎng)中各點的高程v觀測值(量)：網(wǎng)中兩點間的高

9、差v必要起算元素：一點的高程，t0 =1 * 若沒有已知點，可以假設(shè)一點的高程v必要觀測值個數(shù)：t= 總點數(shù)1 多余的起算元素個數(shù)“ ”表示坐標為已知的固定點；“O”表示待定點;箭頭表示觀測方向 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理常用控制網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)個數(shù)與類型常用控制網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)個數(shù)與類型控制網(wǎng)必要元素個數(shù)必要起算數(shù)據(jù)個數(shù)與類型(確定網(wǎng)的位置、方向、尺度）水準網(wǎng)點數(shù)t0=1 一個點的高程測角三角網(wǎng)點數(shù)2t0=4一個點的坐標、一邊邊長和方位角 兩個已知點測邊三角網(wǎng)點數(shù)2t0=3一個點的坐標、一邊方位角邊角三角網(wǎng)點數(shù)2t0=3一個點的坐標、一邊方位角平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理據(jù)起算數(shù)據(jù)情況，把控制

10、網(wǎng)分為：自由控制網(wǎng)：不足或僅有必要的起算數(shù)據(jù)附和控制網(wǎng)：有多余的起算數(shù)據(jù)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-1 4-1 測量平差概述測量平差概述四、計算四、計算t和和r的例題的例題 1 1水準網(wǎng)水準網(wǎng)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理2. 2.測角網(wǎng)測角網(wǎng)ABCD12345678(a)ABC198623475D(b)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理多余觀測個數(shù)：r =n - t 當(dāng) n t 時，不能確定平差問題的模型 n = t 時，能確定模型，但無檢核、有無粗差不知 n t 時，有多余觀測，因觀測誤差使觀測值間產(chǎn) 生矛盾，使模型出現(xiàn)多解。 通過平差處理，讓觀測值的平差值之間滿足相應(yīng)的條件關(guān)系，消除矛盾，獲取模型

11、的唯一最優(yōu)解。五、多余觀測與平差的關(guān)系五、多余觀測與平差的關(guān)系 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-2 4-2 測量平差的數(shù)學(xué)模型測量平差的數(shù)學(xué)模型平差數(shù)學(xué)模型包括：平差數(shù)學(xué)模型包括： 函數(shù)模型函數(shù)模型和和隨機模型隨機模型兩個部分。兩個部分。函數(shù)模型函數(shù)模型是指模型是指模型( (幾何、物理幾何、物理) )中量中量( (觀測量、未知參數(shù)觀測量、未知參數(shù)) )的的真值真值( (或期望值或期望值) )之間的函數(shù)關(guān)系式。之間的函數(shù)關(guān)系式。隨機模型隨機模型是指描述觀測值的先驗精度及其相關(guān)性的特是指描述觀測值的先驗精度及其相關(guān)性的特征。常用觀測值的征。常用觀測值的方差陣方差陣或或協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣或或權(quán)陣權(quán)陣表示

12、。表示。 函數(shù)關(guān)系式有線性非線性之分； 線性函數(shù)模型與非線性函數(shù)模型(線性化后處理)。平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型1. .條件平差條件平差的函數(shù)模型的函數(shù)模型3,2,1ntr條件方程1230W 01231800LLL一般的：一般的：平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型1. .條件平差條件平差的函數(shù)模型的函數(shù)模型 若有平差問題，觀測向量為L、權(quán)陣為P，其中必要觀測個數(shù)為t個，多余觀測個數(shù)為r=nt，則產(chǎn)生r個條件式： 值得注意值得注意：條件方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)條件方程的個數(shù)等于多余觀測數(shù)r r各條件式之間必需是線性無關(guān)的（獨立）各條件式之間必需是線性無關(guān)的

13、（獨立）一個平差問題中一個平差問題中, ,條件形式不唯一條件形式不唯一, ,選取形式最簡為易。選取形式最簡為易。01( )00r n nF LA LA%線性形式00AWWALA，閉合差閉合差平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理t=2，選2個參數(shù)，這兩個參數(shù)可以確定模型。函數(shù)模型：1X2X一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型2. .間接平差間接平差( (參數(shù)平差參數(shù)平差) )的函數(shù)模型的函數(shù)模型11220312180LXLXLXX 一般的：一般的：平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 選擇t個函數(shù)獨立的參數(shù)： ，這些參數(shù)剛好能夠確定模型。則函數(shù)模型為： 12(,)tXXX1()nLF X線性情況下111nn t tnLB Xd

14、111111()nn t tnnnnB XlldL 一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型2. .間接平差間接平差( (參數(shù)平差參數(shù)平差) )的函數(shù)模型的函數(shù)模型平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型3. .附有參數(shù)的條件平差附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型的函數(shù)模型X3,2,1,1ntru條件方程個數(shù)r+u=c個12310cWXW 0123118000LLLLX一般的：一般的：平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 在具體平差問題中,觀測次數(shù)n，必要觀測次數(shù)t，則多余觀測次數(shù)r,再增加u個獨立參數(shù),且 0 u t ，則總共有r +u = c個條件方程，一般形式是：線性情況下011110c n nc u ucc

15、A LB XA11110c n nc u uccAB XW1 ( ,)0cF L X一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型3. .附有參數(shù)的條件平差附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型的函數(shù)模型平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4 4、附有限制條件的間接平差法附有限制條件的間接平差法的函數(shù)模型的函數(shù)模型 選擇u個參數(shù)： ，u t，且包含t個函數(shù)獨立的參數(shù)。則多選擇的s =ut 個參數(shù)必然是 t個獨立參數(shù)的函數(shù)，亦即u 個參數(shù)之間存在s 個函數(shù)關(guān)系 。函數(shù)模型為： 12(,)uXXX1111()()0nusuLF XX線性形式是 11101110nn u unus ussLB XdC XCo1111o001111()0()n

16、n u unnxus usssB XllBXdLLLC XCWCXC 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 選擇u個參數(shù)： ，其中有s個不獨立參數(shù)，且不包含t個函數(shù)獨立的參數(shù)。則u 個參數(shù)之間存在s 個函數(shù)關(guān)系 。函數(shù)模型為：12(,)uXXX111 ( ,)0()0csuF L XX線性形式01111011100c n nc u uccus ussA LB XAC XC0111101110()0c n nc u uccus ussAB XWWALBXAC XC5 5、附有限制條件的條件平差法附有限制條件的條件平差法模型模型平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-2 4-2 測量平差的數(shù)學(xué)模型測量平差的數(shù)學(xué)模型平

17、差數(shù)學(xué)模型包括：平差數(shù)學(xué)模型包括： 函數(shù)模型函數(shù)模型和和隨機模型隨機模型兩個部分。兩個部分。函數(shù)模型函數(shù)模型是指模型是指模型( (幾何、物理幾何、物理) )中量中量( (觀測量、未知參數(shù)觀測量、未知參數(shù)) )的的真值真值( (或期望值或期望值) )之間的函數(shù)關(guān)系式。之間的函數(shù)關(guān)系式。隨機模型隨機模型是指描述觀測值的先驗精度及其相關(guān)性的特是指描述觀測值的先驗精度及其相關(guān)性的特征。常用觀測值的征。常用觀測值的方差陣方差陣或或協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣或或權(quán)陣權(quán)陣表示。表示。 函數(shù)關(guān)系式有線性非線性之分； 線性函數(shù)模型與非線性函數(shù)模型(線性化后處理)。平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理設(shè)有函數(shù) 1111(,)ccnu

18、FF L X設(shè)0XXxLL同時有 由于 和是微小量。對非線性函數(shù)進行Talay展開，只保留一階項，于是有： x0000,(,)( ,)L XL XFFFF LXxF L XxLX若令4-3 4-3 函數(shù)模型的線性化函數(shù)模型的線性化平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理00,212221211111,XLncccnnXLncLFLFLFLFLFLFLFLFLFLFA00,212221212111,XLucccuuXLucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFB則函數(shù)F 的線性形式是：0111( ,)cc n nc u uFF L XAB x線性化方法：把L和X0代入式子算出常數(shù)項，再加微分。平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 平差的最終目的都是對參數(shù) 和觀測量 （或）作出某種估計，并評定其精度。X一、參數(shù)估計及其最優(yōu)性質(zhì)4-4 4-4 最小二乘原理最小二乘原理L 設(shè)有參數(shù) ，其真值為 、估計值為 。最優(yōu)估計量具有的性質(zhì)：無偏性無