第12講主從聯(lián)動(dòng)模型(解析版)(共25頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學(xué)幾何模型12：主從聯(lián)動(dòng)模型名師點(diǎn)睛 當(dāng)軌跡為直線時(shí) 思考1如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？ 揭秘：將點(diǎn)P看成主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q看成從動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線，且Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長的一半思考2如圖，點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為動(dòng)點(diǎn)，CP=CQ，且PCQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，請?zhí)骄奎c(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡. 揭秘：當(dāng)CP與CQ夾角

2、固定，且AP=AQ時(shí)，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1可以這樣理解：易知CPP1CPP1，則CPP1=CQQ1，故可知Q點(diǎn)軌跡為一條直線.思考3如圖，點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，以CP為斜邊作RtCPQ，且P=30°，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，請?zhí)骄奎c(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡. 揭秘：條件CP與CQ夾角固定時(shí)，P、Q軌跡是同一種圖形，且有可以這樣理解：由CPQCP1Q1，易得CPP1CPP1，則CPP1=CQQ1，故可知Q點(diǎn)軌跡為一條直線.軌跡是直線總結(jié)條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量結(jié)論： 主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是同樣的圖形；

3、主動(dòng)點(diǎn)路徑做在直線與從動(dòng)點(diǎn)路徑所在直線的夾角等于定角 當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離相等時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長等于主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長； 當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不相等時(shí)，.典題探究 啟迪思維 探究重點(diǎn)例題1. 如圖，在等邊ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊DPF，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長是_【分析】根據(jù)DPF是等邊三角形，所以可知F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長與P點(diǎn)相同，P從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)路徑長為8，故此題答案為8變式練習(xí)>>>1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3,0），點(diǎn)B是y

4、軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作等邊ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OP的最小值【分析】求OP最小值需先作出P點(diǎn)軌跡，根據(jù)ABP是等邊三角形且B點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，故可知P點(diǎn)軌跡也是直線取兩特殊時(shí)刻：（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，作出P點(diǎn)位置P1；（2）當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時(shí)，作出P點(diǎn)位置P2連接P1P2，即為P點(diǎn)軌跡根據(jù)ABP=60°可知：與y軸夾角為60°，作OP，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3，所以O(shè)P= 例題2. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等

5、邊EFG，連接CG，則CG的最小值為 【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻G點(diǎn)在位置，最終G點(diǎn)在位置（不一定在CD邊），即為G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡CG最小值即當(dāng)CG的時(shí)候取到，作CH于點(diǎn)H，CH即為所求的最小值根據(jù)模型可知：與AB夾角為60°，故過點(diǎn)E作EFCH于點(diǎn)F，則HF=1，CF=，所以CH=，因此CG的最小值為變式練習(xí)>>>2（2017秋江漢區(qū)校級月考）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E在AB上

6、，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，EDM為等邊三角形若點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長為6【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在B時(shí)，M在AB的中點(diǎn)N處，當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，M的位置如圖所示，所以點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑為MN的長，ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BAD30°，AB6，AD3，EDM是等邊三角形，AMAD3，DAM60°，NAM30°+60°90°，ANAB3，在RtNAM中，由勾股定理得：MN6，則M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長為6，故答案為：6例題3. 如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，ACx軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于

7、點(diǎn)N，若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，APB=30°，BAPA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是_【分析】根據(jù)PAB=90°，APB=30°可得：AP:AB=，故B點(diǎn)軌跡也是線段，且P點(diǎn)軌跡路徑長與B點(diǎn)軌跡路徑長之比也為，P點(diǎn)軌跡長ON為，故B點(diǎn)軌跡長為變式練習(xí)>>>3（2019東臺市模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，2），B（1，0），C（5，0），點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，E為AD上方一點(diǎn)，若在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持AEDAOB，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為【解答】解：如圖，

8、連接OEAEDAOD90°，A，O，E，D四點(diǎn)共圓，EOCEAD定值，點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動(dòng)，EOC是定值tanEODtanOAB，可以假設(shè)E（2m，m），當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，AC，AE2EC，EC，（2m+5）2+m2，解得m或（舍棄），E（，），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡OE的長，故答案為名師點(diǎn)睛 當(dāng)軌跡為弧線時(shí) 思考1 如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？揭秘：Q點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有AMQAOP，小結(jié)：確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半

9、徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AOQ點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；軌跡是圓根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系 思考2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQAP且AQ=AP 當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？揭秘： Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓接下來確定圓心與半徑考慮APAQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任

10、意時(shí)刻均有APOAQM思考3：如圖，APQ是直角三角形，PAQ=90°，且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？揭秘： 考慮APAQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP：AQ=2：1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APOAQM，且相似比為2推理： （1）如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為一邊作等邊APQ當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是和圓O全等的一個(gè)圓. （2）如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角APQ當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡為按AP：AQ=AO：AM=：1的比例縮放的一

11、個(gè)圓.總結(jié)： 為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”此類問題的必要條件：兩個(gè)定量，即：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP：AQ是定值）結(jié)論：（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：PAQ=OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)距離之比：AP：AQ=AO：AM，也等于兩圓半徑之比，也等于兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長之比，按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”典題探究 啟迪思維 探究重點(diǎn)例題4.

12、如圖，點(diǎn)P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是_【分析】M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，C點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)為定點(diǎn)考慮C是BM中點(diǎn)，可知C點(diǎn)軌跡：取BP中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，即為點(diǎn)C軌跡當(dāng)A、C、O三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段OA上時(shí)，AC取到最小值，根據(jù)B、P坐標(biāo)求O，利用兩點(diǎn)間距離公式求得OA，再減去OC即可答案為變式練習(xí)>>>4如圖，在等腰RtABC中，AC=BC=，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為_ 【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點(diǎn)，可

13、確定M點(diǎn)軌跡：取AB中點(diǎn)O，連接CO取CO中點(diǎn)D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)，則弧EF即為M點(diǎn)軌跡當(dāng)然，若能理解M點(diǎn)與P點(diǎn)軌跡關(guān)系，可直接得到M點(diǎn)的軌跡長為P點(diǎn)軌跡長一半，即可解決問題答案為例題5. 如圖，正方形ABCD中，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF求線段OF長的最小值【分析】E是主動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是從動(dòng)點(diǎn)，D是定點(diǎn)，E點(diǎn)滿足EO=2，故E點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓考慮DEDF且DE=DF，故作DMDO且DM=DO，F(xiàn)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，2為半徑的圓直接連接OM，與圓

14、M交點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí)OF最小可構(gòu)造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值答案為 變式練習(xí)>>>5ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為_ 【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個(gè)，比如固定AB，將AC看成動(dòng)線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值根據(jù)AC=2，可得C點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓接下來題目求AO的最大值，所以確定O點(diǎn)軌跡即可，觀察BOC是等腰直角三角形，銳角頂點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓，所以O(shè)點(diǎn)軌跡也是圓，以AB為斜

15、邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)M即為點(diǎn)O軌跡圓圓心連接AM并延長與圓M交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)O，此時(shí)AO最大，根據(jù)AB先求AM，再根據(jù)BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO答案為，本題或者直接利用托勒密定理可得最大值名師點(diǎn)睛 當(dāng)軌跡為其他種類時(shí)根據(jù)剛才我們的探究，所謂“瓜豆原理”，就是主動(dòng)點(diǎn)的軌跡與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線形成的夾角以及主、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比，可確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是典題探究 啟迪思維 探究重點(diǎn)例題6. 如圖，在反比例函數(shù)的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長交圖像的另一支于點(diǎn)B，在第一

16、象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，若tanCAB=2，則k的值為（ ） A2B4C6D8【分析】AOC=90°且AO：OC=1：2，顯然點(diǎn)C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接OC，易證AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8【思考】若將條件“tanCAB=2”改為“ABC是等邊三角形”，k會是多少？變式練習(xí)>>>6（2017深圳模擬）如圖，反比例函數(shù)y的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第二象限內(nèi)

17、有一點(diǎn)C，滿足ACBC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y的圖象上運(yùn)動(dòng)，tanCAB2，則關(guān)于x的方程x25x+k0的解為x11，x26【解答】解：連接OC，過點(diǎn)A作AEy軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFy軸于點(diǎn)F，如圖所示，由直線AB與反比例函數(shù)y的對稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對稱，AOBO又ACBC，COABAOE+AOF90°，AOF+COF90°，AOECOF，又AEO90°，CFO90°，AOECOF，tanCAB2，CF2AE，OF2OE又AEOE，CFOF|k|，k±6點(diǎn)C在第二象限，k6，關(guān)于x的方程x25x+k0可化為x25x60，解得x11

18、，x26故答案為：x11，x26例題7. 如圖，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），點(diǎn)P是ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角OPQ，當(dāng)點(diǎn)P在ABC邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為_【分析】根據(jù)OPQ是等腰直角三角形可得：Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與P點(diǎn)軌跡形狀相同，根據(jù)OP:OQ=，可得P點(diǎn)軌跡圖形與Q點(diǎn)軌跡圖形相似比為，故面積比為2:1，ABC面積為1/2×3×4=6，故Q點(diǎn)軌跡形成的封閉圖形面積為3【小結(jié)】根據(jù)瓜豆原理，類似這種求從動(dòng)點(diǎn)軌跡長或者軌跡圖形面積，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)軌跡推導(dǎo)即可，甚至無需作圖變式練習(xí)>>>7

19、（2017春工業(yè)園區(qū)期末）如圖，ABC的面積為9，點(diǎn)P在ABC的邊上運(yùn)動(dòng)作點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)Q，再以PQ為邊作等邊PQM當(dāng)點(diǎn)P在ABC的邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)所形成的圖形面積為（）A3B9C27D【解答】解：如圖，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABC的邊從ABCA運(yùn)動(dòng)一周，且點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)O與點(diǎn)P對稱，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是ABC關(guān)于O的中心對稱圖形，以PQ為邊作等邊PQM，M點(diǎn)對應(yīng)的A，B，C的點(diǎn)分別為Ma，Mb，Mc，MbQbB是等邊三角形，MbOOB，同理McOOC，COB+BOMc90°，McOMb+BOMc90°COBMcOMb，McOMbCOB，MbMcBC，

20、同理，MaMbAB，MaMcAC，MaMbMcABC，MaMbMc的面積9×（）227，即點(diǎn)M隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形的面積為27故選：C例題8. 如圖所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點(diǎn)P，使AD=PD，則PB的取值范圍為_ 【分析】固定AB不變，AC=2，則C點(diǎn)軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD，則D點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)M為圓心、為半徑的圓考慮到AP=2AD，故P點(diǎn)軌跡是以N為圓心，為半徑的圓，即可求出PB的取值范圍答案為變式練習(xí)>>>8（2018秋新吳區(qū)期末）如圖已知：正方形OCAB，A（

21、2，2），Q（5，7），ABy軸，ACx軸，OA，BC交于點(diǎn)P，若正方形OCAB以O(shè)為位似中心在第一象限內(nèi)放大，點(diǎn)P隨正方形一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PQ達(dá)到最小值時(shí)停止運(yùn)動(dòng)以PQ的長為邊長，向PQ的右側(cè)作等邊PQD，求在這個(gè)位似變化過程中，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長（）A5B6C2D4【解答】解：如圖，連接OQ，以O(shè)Q為邊向下作等邊OQH，連接DH，作QEOA交OA的延長線于EOQH，PQD都是等邊三角形，QOQH，QPQD，OQHPQD60°，OQPHQD，OQPHQD（SAS），OPDH，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長，直線OA的解析式為yx，Q（5，7），QEOA，直線EQ使得解析式為yx+1

22、2，由，解得，E（6，6），P（1，1），PE5，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PQ的長最短，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長為5，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長為5，故選：A例題9. （2019秋硚口區(qū)期中）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一個(gè)平面上，邊AC與EF重合，BC4cm當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為（2412）cm【解答】解：BC4cm，A30°，DEF45°，ACBC12cm，AB2BC8cm，EDDFAC6cm，當(dāng)點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，得E

23、9;D'F'，過點(diǎn)D'作D'NAC于點(diǎn)N，作D'MBC于點(diǎn)M，如圖所示：MD'N90°，且E'D'F'90°，E'D'NF'D'M，在D'NE'和D'MF'中，D'NE'D'MF'（AAS），D'ND'M，且D'NAC，D'MCM，CD'平分ACM，即點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，點(diǎn)D'在射線CD上移動(dòng)，當(dāng)E'D'AC時(shí)，DD'值最大，最大值ED

24、CD（126）cm，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長2×（126）（2412）cm；故答案為：（2412）變式練習(xí)>>>9（2018金華模擬）如圖，RtABC中，BC4，AC8，RtABC的斜邊在x軸的正半軸上，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，隨著頂點(diǎn)A由O點(diǎn)出發(fā)沿y軸的正半軸方向滑動(dòng)，點(diǎn)B也沿著x軸向點(diǎn)O滑動(dòng)，直到與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中（1）AB中點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長（2）點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長是812 【解答】解：（1）如圖1，AOB90°，P為AB的中點(diǎn)，OPAB，AB4，OP2，AB中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑的圓弧，即AB中點(diǎn)P經(jīng)過的

25、路徑長×2×2；（2）當(dāng)A從O到現(xiàn)在的點(diǎn)A處時(shí)，如圖2，此時(shí)CAy軸，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長是CC的長，ACOC8，ACOB，ACOCOB，cosACOcosCOB，OC4，CC48；當(dāng)A再繼續(xù)向上移動(dòng)，直到點(diǎn)B與O重合時(shí)，如圖3，此時(shí)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑是從C到C，長是CC，CCOCBC44，綜上所述，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長是：48+44812；故答案為：（1）； （2）812達(dá)標(biāo)檢測 領(lǐng)悟提升 強(qiáng)化落實(shí)1. （2018秋黃岡期中）在ABC中，BAC90°，ABAC2cm，線段BC上一動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)停止，以AP為邊在AC的右側(cè)作等邊APQ，則Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為2cm【

26、解答】解：如圖，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為QQ的長，ACQ和ABQ是等邊三角形，CAQBAQ60°，AQACAQ2cm，BAC90°，QAQ90°，由勾股定理得：QQ2，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為2cm；故答案為：22如圖，在矩形ABCD中，AB4，DCA30°，點(diǎn)F是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作DFE30°的直角三角形DEF，使點(diǎn)E和點(diǎn)A位于DF兩側(cè)，點(diǎn)F從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長是【解答】解：E的運(yùn)動(dòng)路徑是線段EE'的長；AB4，DCA30°，BC，當(dāng)F與A點(diǎn)重合時(shí)，在RtADE'中，AD，DAE&

27、#39;30°，ADE'60°，DE'，CDE'30°，當(dāng)F與C重合時(shí)，EDC60°，EDE'90°，DEE'30°，在RtDEE'中，EE'；故答案為3（2019銅山區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)M（0，4），N（4，0），開始時(shí)，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別與點(diǎn)M、N、O重合，點(diǎn)A在y軸上從點(diǎn)M開始向點(diǎn)O滑動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O結(jié)束運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B沿著x軸向右滑動(dòng)，則在此運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長4【解答】解：過點(diǎn)C'作C'Dx軸，C'Ey軸點(diǎn)M（0，4），N（4，0）

28、，OMON，CA'C'+45°EAB+MGB45°+MGB，EA'C'B'GB，B'GB+GB'B45°，GB'B+DB'C'45°，EA'C'DB'C'，又A'C'B'C'，RtA'C'ERtB'C'D（HL），EC'DC'，C'在第四象限的角平分線上，C的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段AC，C的運(yùn)動(dòng)路徑長為4；故答案為4；3（2018寶應(yīng)縣三模）在RtABC中，C90&

29、#176;，AC2，BC2，若P是以AB為直徑所作半圓上由A沿著半圓向B運(yùn)動(dòng)的一點(diǎn)，連接CP，過P向下作PMCP，且有PM0.5CP，如圖示，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長是【解答】解：如圖，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是半圓，PMCP，且有PM0.5CP，可見點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是半圓當(dāng)PC是直徑時(shí)，CM也是的直徑，PCAB4時(shí)，PM2，CM2，的長，故答案為4如圖，已知線段AB8，O為AB的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中保持OP2不變，連結(jié)BP，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PC，連結(jié)BC、AC，則線段AC長的最大值是2【解答】答案為：5（2017江陰市二模）如圖，線段AB為O的直徑，

30、點(diǎn)C在AB的延長線上，AB4，BC2，點(diǎn)P是O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作RtPCD，且使DCP60°，連接OD，則OD長的最大值為2+1【解答】解：如圖，作COE，使得CEO90°，ECO60°，則CO2CE，OE2，OCPECD，CDP90°，DCP60°，CP2CD，2，COPCED，2，即EDOP1（定長），點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長，點(diǎn)D在半徑為1的E上，ODOE+DE2+1，OD的最大值為2+1，故答案為6（2018建湖縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0）、B（0，3），以點(diǎn)B為圓心、2為半徑的B上有一動(dòng)點(diǎn)P

31、連接AP，若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，連接OC，則OC的最小值為1.5【解答】解：解法一：如圖，取點(diǎn)D（4，0），連接PD，C是AP的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，OC是APD的中位線，OCPD，連接BD交B于E，OD4，OB3，BD5，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PD最小為523，故OC的最小值為1.5；解法二：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的延長線上時(shí)，即如圖中點(diǎn)P1，C1是AP1的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，C2是中點(diǎn)，取C1C2的中點(diǎn)為D，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是以D為圓心，以DC1為半徑的圓，當(dāng)O、C、D共線時(shí)，OC的長最小，設(shè)線段AB交B于Q，RtAOB中，OA4，OB3，AB5，B的半徑為2，BP12，AP15+27，C1是AP1的中點(diǎn)，AC13.5，AQ523，C2是AQ的中點(diǎn)，AC2C2Q1.5，C1C23.51.52，即D的半徑為1，AD1.5+12.5AB，ODAB2.5，OC2.511.5，故答案為：1.57（2016江岸區(qū)校級模擬）如圖，線段AB2，C是AB上一動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊在AB同側(cè)作正ACE、正BCF，連EF，點(diǎn)P為EF的中點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)C從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長為1【解答】解：如圖，分別延長AE、BF交于點(diǎn)HAFCB60°，AHCF，BECA60°，CEBH，四邊形ECFH為平行四邊形，EF與HC互相平分P為CH的中點(diǎn)，P正好為EF中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過程中，P始終