信號與系統(tǒng)系統(tǒng)的時域分析

1、系統(tǒng)的時域分析 線性時不變系統(tǒng)的描述及特點 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 連續(xù)時間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 卷積積分及其性質(zhì) 離散時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 卷積和及其性質(zhì) 單位沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性線性時不變系統(tǒng)的描述及特點線性時不變系統(tǒng)的描述及特點連續(xù)時間系統(tǒng)用N階常系數(shù)微分方程描述 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnnai 、 bi為常數(shù)。離散時間系統(tǒng)用N階常系數(shù)差分方程描述00jkfbikyajmjiniai 、 bi為常數(shù)。線性時不變系統(tǒng)的特點線性時不變系統(tǒng)的特點LTI系統(tǒng)除具有

2、線性特性線性特性和時不變特性時不變特性外，還具有:1）微分特性與差分特性：若 T f(t)=y(t)則dttydttfT)(d)(d若 Tfk= yk則 T fk -fk-1= yk - yk-1 2）積分特性與求和特性：若 T f(t)=y(t)則d)(d)(yfTtt若 Tfk= yk則nynfTknkn連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 經(jīng)典時域分析方法經(jīng)典時域分析方法 卷積法 零輸入響應(yīng)求解 零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)響應(yīng)求解方法系統(tǒng)響應(yīng)求解方法1. 經(jīng)典時域分析方法:求解微分方程2.卷積法:系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)求解齊次微分方程得到零輸入響應(yīng)利用卷積積分可求出零狀態(tài)響應(yīng))()()(tyt

3、ytyfx)(*)()(thtftyx一、 經(jīng)典時域分析方法微分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng), 由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成)()()(tytytyph齊次解yh(t)的形式由齊次方程的特征根確定特解yp(t)的形式由方程右邊激勵信號的形式確定齊次解齊次解yh(t)的形式的形式(1) 特征根是不等實根s1, s2, , sntsntstshneKeKeKty2121)(2) 特征根是相等實根s1=s2=sntsnntstshetKteKeKty 1 2 1)(3) 特征根是成對共軛復(fù)根)sincos()sin cos()(11111tKtKetKtKetyiiiitthi2/,nijs

4、iii常用激勵信號對應(yīng)的特解形式輸入信號特解KAKtA+BtKe-at(特征根 sa)Ae-atKe-at(特征根 s=a)Ate-atKsin0t 或 Kcos0tAsin0t+ Bcos0tKe-atsin0t 或 Ke-atcos0tAe-atsin0t+ Be-atcos0t例例1 1 已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程初始條件y(0)=1, y(0)=2, 輸入信號f(t)=et u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。0),()(8)( 6)(ttftytyty0862 ss4221ss，ttheKeKty3221)(特征根為齊次解yh(t)解 (1)求齊次方程y(t)+6y(

5、t)+8y(t) = 0的齊次解yh(t)特征方程為2) 求非齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)解得 A=5/2，B= 11/6由輸入f (t)的形式，設(shè)方程的特解為yp(t)=Ce-t將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。3) 求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0( BAy0,3161125)(42teeetyttt討論討論1) 若初始條件不變，輸入信號 f(t) = sin t u(t)，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t) =？2) 若輸入信號不變，初始條件y(0)=0, y(0)=1, 則系統(tǒng)的完

6、全響應(yīng)y(t)=？經(jīng)典法不足之處經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。二 卷積法系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)1. 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的 初始狀態(tài)單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。0)()( )()( 01)1(1)(tyatyatyatynnn數(shù)學(xué)模型:求解方法： 根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式，再由初始條件確定待定系數(shù)。解 系統(tǒng)的特征方程為例2 已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為: 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0)=1

7、，y (0)=3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。)(4)(6522tftydtdydtyd0t0652 ss3221ss，ttxeKeKty3221)(0,56)(32teetyttx系統(tǒng)的特征根為 y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y (0)= yx(0)= 2K13K2 =3解得 K1=6，K2=5例3 已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0)=2，y(0)= 1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。解 系統(tǒng)的特征方程為)(3 2)(4422tfdtfdtydtdydtyd0442 ss221 ssttxteKeKty2221)(0,5)(22tteetyttx系統(tǒng)的特征根

8、為（兩相等實根） y(0)=yx(0)=K1=1; y(0)= yx(0)= 2K1+K2 =3 解得 K1 =1, K2=5例4 已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0)=1，y(0)=3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)。)(3 4)(5222tfdtfdtydtdydtyd 解 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征根為0522 ssjsjs212121，)2sin2cos)(21tKtKetytx（y(0)=yx(0)=K1=1 y (0)= yx(0)= K1+2K2 =3解得 K1=1，K2=20),2sin22(cos)(tttetytx2、 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響

9、應(yīng)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf (t)方法：方法： 1) 直接求解初始狀態(tài)為零的微分方程。2) 卷積法： 利用信號分解和線性時不變系統(tǒng)的特性求解。 當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的外部激勵f(t)產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yf (t)表示。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf (t)的思路的思路 1) 將任意信號分解為單位沖激信號的線性組合。 2) 求出單位沖激信號作用在系統(tǒng)上的零狀態(tài)響應(yīng) 單位沖激響應(yīng)h(t) 。 3) 利用線性時不變系統(tǒng)的特性，求出單位沖激信號線性組合作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，即系統(tǒng)在任意信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t) 。卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積

10、法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf (t)推導(dǎo)推導(dǎo))()(tht)()(tht)()()()(thftf由時不變特性由均勻特性由積分特性dtftf)()()(dthftyf)()( )()()()()()(thtfdthftyf例5 已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程式為y(t)+3y(t)=2f(t)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=2e3t u(t), f(t)=3u(t), 試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。dthfthtftyf)()()()()(dtueut)(2)(3=)(3 0 00 d2e3=0)-3(-tttt解 0 00 ) 1 (2=3ttet)() 2(1=3tuet連續(xù)時間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 連

11、續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義 沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 連續(xù)時間系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義連續(xù)時間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的定義在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下，以單位沖激信號激勵系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，以符號h(t)表示。N階連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnn沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)沖激平衡法求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)由于t0+后, 方程右端為

12、零, 故nm時)()()(1tueKthnitsiinm時, 為使方程兩邊平衡, h(t)應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù),即)()()()()(01tAtueKthjjnmjnitsii將h(t)代入微分方程，使方程兩邊平衡,確定系數(shù)Ki ， Ai例例1 1 已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。0),(2)(3)(ttftydttdy解解：當(dāng)f (t)=(t)時, y(t)=h(t), 即)(2)(3)(tthdttdh動態(tài)方程式的特征根s=3, 且nm, 故h(t)的形式為)()( t3tuAeth)(2)( 3+ )( 33ttuAetuAedtdtt解得A=2)(2)(

13、3tuetht例例2 2 已知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解解：當(dāng)f (t)=(t)時, y(t)=h(t), 即)( 3)(2)(6)(ttthdttdh動態(tài)方程式的特征根s= 6, 且n=m, 故h(t)的形式為)()()( t6tBtuAeth解得A= 16, B =30),( 3)(2)(6)(ttftftydttdy)( 3)(2)()( 6+ )()( 66tttBtuAetBtuAedtdtt)(16)(3)( t6tuetth沖激平衡法小結(jié)沖激平衡法小結(jié))()()()()(01tAtueKthjjnmjnitsii1)1)由系統(tǒng)的特征根來確定由系統(tǒng)的特征

14、根來確定u(t)前前的指數(shù)形式的指數(shù)形式. .2) 由動態(tài)方程右邊由動態(tài)方程右邊 (t)的最高階導(dǎo)數(shù)與方程的最高階導(dǎo)數(shù)與方程 左邊左邊h(t)的最高階導(dǎo)數(shù)確定的最高階導(dǎo)數(shù)確定 (j)(t)項項.連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng) )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tubtubtubtubtgatgatgatgmmmmnnn求解方法:1)求解微分方程2)利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系dttdgth)()(tdhtg)()(例例3 求例1所述系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(t)。tetg03d2)()()1 (323tuet例1系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為解：利用單位沖激

15、響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系，可得h(t)=2e3t u(t)卷積積分的計算和性質(zhì)卷積積分的計算和性質(zhì) 卷積積分的計算卷積積分的計算 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 交換律、分配律 、結(jié)合律、位移特性、 展縮特性延遲特性、微分特性、積分特性、等效特性奇異信號的卷積積奇異信號的卷積積分分一一 卷積積分的計算卷積積分的計算卷積的定義定義：dthfthtfty)()()()()()()()()(ththhht平移翻轉(zhuǎn)1）將f(t)和h(t)中的自變量由t改為，成為函數(shù)的自變量；卷積的計算步驟計算步驟：2）把其中一個信號翻轉(zhuǎn)、平移；3）將f() 與h( t)相乘；對乘積后的圖形積分。)(tft)(tht)(

16、h)()(thft)()(),()(),(*)(tuethtutfthtft計算)(f)(h01)(*)(0)(tedethtfttt例1例2：計算y(t) = p1(t) p1(t)。)()(11tpp0.5t5 . 0t 5 . 01t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp01t1a) t 1b) 1 t 0tdttyt1)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0t 5 . 0t5 . 0)()(11tpp10 t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc) 0 t 1tdttyt1)(5 . 05 . 0d)

17、1 t 0圖形右移，k0圖形左移。 4)將f n與 hkn重疊部分相乘； 5)對乘積后的圖形求和。nkhnfkhkfn卷積和卷積和定義定義為為例例1 1 已知f k=uk, hk=akuk,0a1, 計算yk=fk*hk10kh k n或 h n f k 0k1n或 f n 0n1h - n k 0, f n與h k-n圖形沒有相遇01nf n h k - n , k 0k01nf n kh k - n ,0k0k1y k k 0, f n與hk-n圖形相遇yk=0nkknaky0otherwise010 1NkkRN例2計算yk=RNk* RNk。knN-101RNk 或 RNkn-(N-1

18、)01RN-nnN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k k 0k 0時, RN n與RN k-n圖形沒有相遇yk=0nN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k10NknN-101RNnk-(N-1)RNk -n ,k221NkNN-101kRNk*RNk2N-2N2341230 k N 1時,重合區(qū)間為0，k 110kkyknN1 k 2N 2時, 重合區(qū)間為(N1)+k，N1kNkyNNkn1211)1(k2N2時, RN n與RN k-n 圖形不再相遇yk =0二二. . 列表法計算序列卷積和列表法計算序列卷積和設(shè)fk和hk都是因果序列因果序列，則有0,0knkhnfkh

19、kfkn當(dāng)k = 0時，000hfy當(dāng)k = 1時，當(dāng)k = 2時，當(dāng)k = 3時，0 1 1 0 1 hfhfy02 1 1 202hfhfhfy03 1 22 1 303hfhfhfhfy以上求解過程可以歸納成列表法。列表法列表法將hk 的值順序排成一行，將f k的值順序排成一列，行與列的交叉點記入相應(yīng)fk與hk的乘積，對角斜線上各數(shù)值就是 fnhk-n的值。對角斜線上各數(shù)值的和就是yk各項的值。例例3 3 計算 與 的卷積和。2, 3, 0, 2, 1kf3, 2, 4, 1khh -1 h 1 h 0 h 2 1023102340812204630691423f -2 f 1 f 0

20、f 2 f -1 228466 ,13,14,20,10,10, 6, 1ky三三. . 卷積和的性質(zhì)卷積和的性質(zhì) 交換律交換律:fk hk = hk fkfk h1k h2k f k h1 k h2 kf k h1 k + h2 k f k h1 k + f k h2 k結(jié)合律結(jié)合律:分配律分配律:卷積和的性質(zhì)（續(xù)）卷積和的性質(zhì)（續(xù)） 位移特位移特性：性：*kykhkfkhkf*)(*nykhnfnhkfknknknf k kn = f kn推論：推論：若fkhk=yk，則f kn hk l = yk (n+l)差分與求和特：差分與求和特： 若fkhk=yk例例4 4 計算 與 的卷積和4,

21、 2, 0, 1kf3, 5, 4, 1kh解：解： 1422kkkkf利用位移特性*1422*khkkkkhkf 1422khkhkh12,26,26,15, 7, 4, 1*khkfky單位沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性單位沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性 級聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 因果系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)1. 1. 級聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)級聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng))(*)()(1thtftx)(*)(*)()(*)()(212ththtfthtxty根據(jù)卷積積分的結(jié)合律性質(zhì)，有)(*)(*)()(*)(*)()(2121ththtfththtftyh(t)結(jié)論結(jié)論:1)級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩

22、個子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。2)交換兩個級聯(lián)系統(tǒng)的先后連接次序不影響系統(tǒng)總的沖激響應(yīng)。交換兩個級聯(lián)系統(tǒng)的先后連接次序不影響系統(tǒng)總的沖激響應(yīng)。兩個離散時間系統(tǒng)的級聯(lián)也有同樣的結(jié)論。2. 2. 并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng))(*)()(11thtfty)(*)()(22thtfty)(*)()(*)()(21thtfthtfty應(yīng)用卷積積分的分配律性質(zhì)，有)()(*)()(21ththtftyh(t)結(jié)論結(jié)論并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于兩個子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。 兩個離散時間系統(tǒng)的并聯(lián)也有同樣的結(jié)論。例1 求圖示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。其中h1(t)=e3t u(t)， h2(t)=(t 1) ，h3(t)=u(t)。解解： 子系統(tǒng)h1(t) 與h2(t) 級聯(lián)， h3(t)支路與h1(t) h2(t) 級聯(lián)支路并聯(lián)。)()(*)()(321thththth)()(*) 1(3tutuett)() 1()1(3tutuet例2 求圖示系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。其中h1k =2k uk， h2 k = k 1 ， h3 k = 3k u k ， h4 k =u k 。解解： 子